1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Перекрытие двух когерентных состояний равно⟨|⟩ = −(||2 +||2 )/2∑︁ * ′√ √ ⟨|′ ⟩! ′ !′(12.27)или из-за ортогональности состояний с определённым ⟨|⟩ = −(||2 +||2 )/2∑︁ ( * )!= −(||2 +||2 )/2+ * .(12.28)Квадрат перекрытия,|⟨|⟩|2 = −||2 −||2 + * +*2= −|−| ,(12.29)падает как экспонента от квадрата расстояния между соответствующимиточками комплексной плоскости, так что когерентные состояния, локализованные далеко друг от друга, почти ортогональны.12.3 Свойства когерентных состояний401Из-за неортогональности у нас слишком много независимых когерентныхсостояний: по построению они определены в каждой комплексной точке.Их набор переполнен. Тем не менее можно записать разложение единицы,аналогичное условию полноты (6.49). Начиная с полного набора состоянийс определённым , мы можем вычислить интеграл по всей комплекснойплоскости∫︁∫︁∑︁ ′ * 22−||2√|′ ⟩⟨|(12.30) |⟩⟨| = ′!!′или, переходя к полярным координатам: || ≡ и ,∫︁2 |⟩⟨| =∫︁0∞ −2∑︁ +′ ∫︁ 2′√ ( −) |′ ⟩⟨|.

(12.31)′! ! 0′Интеграл по углу даёт 2′ , а интеграл по равен∫︁ ∞∫︁1 ∞12 − 2+1 = − = !.2 020Наконец,∫︁^2 |⟩⟨| = |⟩⟨| = 1,и разложение единицы в терминах когерентных состояний есть∫︁ 2 ^|⟩⟨| = 1.(12.32)(12.33)(12.34)Это согласуется с образом классической фазовой плоскости, что мыуже обсуждали (уравнение (12.3)) в начале этого раздела: в классическихпеременных (, ) этот результат эквивалентен∫︁ ^|, ⟩⟨, | = 1.(12.35)2~Если бы мы хотели охарактеризовать квазиклассические квантовые состояния с помощью центров локализации соответствующих когерентныхсостояний, то правильный рецепт подсчёта этого избыточного набора былбы приписать по одному представителю для каждого элемента площади402Глава 12 Когерентные и сжатые состояния = 2~ в плоскости (, ), т. е.

рецепт, с которым мы уже неоднократносталкивались.12.4 Когерентные состояния гармонического осциллятораИдентифицируя — параметр масштаба в определении (11.107) опера√торов рождения и уничтожения − с величиной физического гармонического осциллятора, мы определяем его когерентные состояния какволновые пакеты (12.8).Главной особенностью этих состояний является простая зависимостьот времени. В соответствии с общим правилом эволюция когерентногосостояния, которое не есть стационарное состояние осциллятора,|Ψ( = 0)⟩ = |⟩,(12.36)идёт через независимое изменение фаз монохроматических компонент,|Ψ()⟩ = −||2 /2∑︁ √ −(/~) |⟩,!(12.37)что для гармонического осциллятора сводится к|Ψ()⟩ = −||2 /2−(/2)∑︁ (− )√|⟩.!(12.38)Таким образом, когерентное состояние развивается как|; ⟩ = −(/2) |− ; 0⟩.(12.39)За исключением несущественной общей фазы, центр когерентного состояния просто вращается вокруг начала координат по окружности радиуса = || с угловой скоростью, равной частоте осциллятора.

Состояниеостаётся когерентным с вращающейся фазой. Это ближайшая аналогияклассической траектории на фазовой плоскости гармонического осциллятора.Средние значения координаты и импульса осциллируют, как в классической механике,√︂2~⟨Ψ()|^|Ψ()⟩ =|| cos( − ),(12.40)12.5 Линейный источник⟨Ψ()|^|Ψ()⟩ =√2~ || sin( − ).403(12.41)Волновой пакет постоянно минимизирует соотношение неопределённостей.12.5 Линейный источникКогерентное состояние может быть физически порождено действиемлинейного источника, который излучает отдельные кванты поодиночке.В эрмитовой ситуации источник должен быть способен также и поглощатькванты с сопряженной амплитудой. Модель такого источника, в применениик гармоническому осциллятору, может быть описана гамильтонианом(︂)︂1†^ = ~ ^ ^++ ^ + * ^† .(12.42)2Естественно предположить, что стационарное состояние такого осцилляторабудет иметь другую точку равновесия по сравнению со случаем отсутствияисточника.Математически мы выразим эту идею, совершая каноническое преобразование к новым операторам ^ и ^† , которые подчиняются той же алгебре:^ = ^ + ,^† = ^† + * ,(12.43)где — неизвестная комплексная постоянная.

Канонический характер преобразования очевиден, так как добавленная постоянная не меняет коммутационные соотношения.Преобразованный гамильтониан имеет вид)︂(︂1†^^^ = ~ ++^(~* +)+^† (~+* )+~||2 ++* * . (12.44)2Для того чтобы учесть присутствие источника в новых стационарных состояниях, мы выбираем параметр таким образом, чтобы исключить опасныечлены и сделать количество новых квантов сохраняющимся. Очевидно, чтоэто может быть сделано, если=−*,~* = −.~(12.45)404Глава 12 Когерентные и сжатые состоянияНовый гамильтониан опять принимает форму гамильтониана гармонического осциллятора без источника,(︂)︂1||2 = ~ ^†^ +−.(12.46)2~Новые стационарные состояния являются состояниями с определённымколичеством -квантов. В частности, основное состояние, будучи вакуумомпо отношению к -квантам, удовлетворяет уравнению^|0 ⟩ = 0.(12.47)Тогда уравнение (12.43) показывает, что новый вакуум является когерентным состоянием старых квантов, локализованных около точки , котораяопределяется интенсивностью источника с помощью уравнения (12.45),^|0 ⟩ = |0 ⟩.(12.48)Хотя частота стационарных квантов («-квантов»), которые описываютколебания вокруг нового центра, не изменилась, энергия всего спектравсегда понижается наΔ = −||2~(12.49)и переход к новой точке равновесия делает систему более стабильной.Задача 12.8Постоянное однородное электрическое поле ℰ = ℰ приложено к гармоническому осциллятору, несущему электрический заряд .

Найти новоеосновное состояние, показать, что это состояние является когерентным, ивычислить равновесный дипольный момент ⟨^⟩ частицы и поляризуемость(отношение индуцированного дипольного момента к полю).Решение.Поле действует как линейный источник: возмущение в гамильтонианеимеет вид√︂~−ℰ ^ = −ℰ(^+^† ),(12.50)212.5 Линейный источник405который определяет фактическое значение в (12.42). В результате имеетместо сдвиг положения равновесия и спектра в целом,2^212 ℰ 2^ = ^ + 1 2 ^2 − ℰ ^=+ 2 ( − 0 )2 −,2 22 22 2(12.51)ℰ,(12.52) 2в соответствии с общими результатами. Новое основное состояние являетсякогерентным состоянием с0 =ℰ= √.2~ 3(12.53)Это соответствует среднему числу исходных -квантов, поглощённых полем,⟨⟩ = 2 =2 ℰ 2,2~ 3(12.54)а их энергия даётся уравнением (12.49):Δ = −2 ℰ 2= −⟨⟩~.2 2(12.55)Индуцированный дипольный момент определяется смещением (12.52),2 ℰ, 2 = 0 =(12.56)что соответствует электрической поляризуемости=2=.ℰ 2(12.57)Выигрыш энергии (12.55) можно классически интерпретировать в терминахработы, произведённой источником электрического поля на перемещении0 (ℰ) точки равновесия,∫︁Δ = −ℰℰ0 (ℰ).0(12.58)406Глава 12 Когерентные и сжатые состояния12.6 Квазиклассический предел, число квантов и фазаДаже для произвольного (негармонического) гамильтониана (^, ^) когерентные состояния могут нередко обеспечивать хорошее приближение дляквазиклассического движения, по крайней мере в течение не очень большихпромежутков времени.

Точные операторные уравнения движения могутбыть записаны для операторов рождения и уничтожения в символическомвиде:~^^ = ,^ = [^, ]^†~^ †^ = − ,^ = [^† , ]^(12.59)где вместо обычных производных, как в классическом уравнении Гамильтона, мы использовали символ , показывая, что берём производные по^ но сохраняем порядок всехкаждому оператору, встречающемуся в ,остальных операторов. Например, в гармоническом случае это должнопривести к^ = −^, †^ = ^† ,(12.60)так что эти операторы представляют собой нормальные моды с собственными частотами ±,^() = ^− ,^† () = ^† ,(12.61)в соответствии с (12.39).В квазиклассической области больших || ≫ 1 правая сторона комму^ илитатора (11.113) мала по сравнению со средними значениями ^† ^=^ + 1. Игнорируя коммутаторы с погрешностью ∼ 1/⟨⟩, мы можем^^† = всегда поставить операторы в уравнениях движения в нормальной формеи взять матричные элементы в пробном когерентном состоянии |⟩ с√ = ,(12.62)где мы теперь используем классическую переменную ≫ 1 вместо ⟨⟩.Затем вариационные производные в уравнении (12.59) могут быть замененыобычными производными по отношению к классическим переменным.Задача 12.912.6 Квазиклассический предел, число квантов и фаза407Выразив в терминах и и рассматривая последние как классическиефункции времени, вывести уравнения движения1 ˙ =,~ (12.63)1 .(12.64)~ Уравнения (12.63) и (12.64) показывают, что переменные и , числоквантов и фаза являются канонически сопряжёнными для квазиклассических волновых пакетов.

Как это было для гармонического осциллятора,любой гамильтониан, который не зависит от фазы , = ( ) (фазаявляется циклической переменной), сохраняет число квантов. Это можетпроизойти только тогда, когда операторы рождения и уничтожения входятв каждый член гамильтониана в одинаковых степенях. Как и любой глобальный закон сохранения (7.10), данный также связан с непрерывным унитарным преобразованием, которое оставляет гамильтониан инвариантным.В этом случае мы должны рассмотреть преобразование фазы операторов,˙ = −^ → ^ = ^ ,^† → ^† = ^† − .(12.65)Это преобразование является каноническим, сохраняя коммутационныесоотношения (11.113) неизменными. Операторное выражение (^, ^† ) неменяется при фазовом преобразовании тогда и только тогда, когда оносодержит равное количество операторов рождения и уничтожения.Задача 12.10^ , которое приводит к (12.65),Найти унитарное преобразование ^^ −1 = ^,^^^ −1 = ^† .^† (12.66)Решение.^ является генератором этого преобразования (разОператор числа дел 6.10),^ () = −^ .(12.67)Как всегда в таких случаях, генератор непрерывного преобразования симметрии сохраняется.Из-за формальной аналогии между парой (, ~) канонически сопряжённых переменных и парой (, ) может возникнуть идея ввести соответ-408Глава 12 Когерентные и сжатые состояния^ и .ствующие квантовые операторы ^ Их коммутационное соотношениебыло бы^ ] = .[,^ (12.68)^ и егоТем не менее, это невозможно: нам известен квантовый оператор собственные состояния |⟩; взяв матричный элемент ⟨|...|′ ⟩ в операторномтождестве (12.68), мы приходим к⟨||^ ′ ⟩(′ − ) = ′ .(12.69)При = ′ правая часть равна , в то время как левая часть обращаетсяв нуль, за исключением возможности бесконечно больших диагональныхматричных элементов .^ Но фаза представляет собой компактную переменную с нетривиальным диапазоном изменения только от 0 до 2.

Поэтомуформальное соотношение неопределённостейΔ · Δ >12(12.70)также не имеет смысла, так как неопределённость фазы не может бесконечно расти, когда мы переходим в состояние с определённым значением . Уравнение (12.70) нарушается уже для когерентного состояния, которое имеет определенное значение фазы, Δ = 0, и конечную дисперсиюколичества квантов (см. уравнение (12.25)).В разделе 4.7 мы уже обсуждали похожую ситуацию, касающуюся орбитального момента и сопряжённого угла. В нашем распоряжении нетфазовой переменной с бесконечным диапазоном значений. По сути мыдолжны ограничиться периодическими функциями фазы с периодом 2.Тем не менее в квазиклассическом случае мы можем говорить о состояниях,похожих на когерентные, с почти точно определённой фазой и малыми относительными флуктуациями числа квантов (12.26).

Характеристики

Список файлов книги