1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Ландау [67],имеет крайне важное значение для квантовой теории и многочисленныхприложений. Напомним сначала классическое решение.432Глава 13 Включение магнитного поляНаправим ось вдоль магнитного поля, ℬ = ℬ . Уравнение движения (13.8), которое можно записать в видеv̇ = [ × v],(13.37)описывает круговое движение частицы в плоскости, перпендикулярной квектору угловой скорости,=−ℬ,(13.38)и свободное движение вдоль направления поля, т. е. по оси в нашейгеометрии. Вращение происходит с циклотронной частотой| = = |||ℬ.(13.39)Интегрируя (13.37) по времени, получаем × (r − r0 )] + v0 ,v = [(13.40)где мы предполагаем траекторию с центром в точке r0 = (0 , 0 ) и продольной скоростью 0 = . В координатах это решение имеет вид =ℬ( − 0 ), = −ℬ( − 0 ), = 0 .(13.41)Чтобы выразить это через канонический импульс (13.2), мы должны выбрать калибровку векторного потенциала.
Например, при выборе (13.12)имеем = +ℬ, = , = (13.42)или, сравнивая с (13.41),ℬℬ+=( − 0 ), ℬ=−( − 0 ),(13.43)где фиксированные координаты центра орбиты теперь могут быть связаныс текущими координатами и компонентами импульса,0 = +,ℬ0 = −.ℬ(13.44)13.4 Уровни Ландау: энергетический спектр433Следовательно, эти комбинации (13.44) являются интегралами движенияв калибровке (13.12).Переходя к квантовому описанию, мы имеем гамильтониан, которыйможет быть записан либо в терминах канонического импульса (13.16), либо,что эквивалентно, через операторы скорости (13.15),v2^ = ^.2(13.45)Эта форма позволяет легко определить энергетический спектр.
Действительно, продольная часть,2^2^ = ^= ,22(13.46)сама по себе определяет свободное движение вдоль поля с сохраняющимсяимпульсом и непрерывным энергетическим спектром, =2.2(13.47)Поперечная часть,⊥ = 2(^ + ^2 ),2 (13.48)содержит некоммутирующие операторы ^ и ^ : согласно (13.20)[^ , ^ ] =~ℬ.2 (13.49)^ и эффекСледуя [67], мы можем определить эффективную координату ^тивный импульс ,^ = ^ ,ℬ^ = ^ ,(13.50)с каноническим коммутатором^ ^ ] = ~.[,(13.51)434Глава 13 Включение магнитного поля"ωc"ωc"ωcB=0B≠0Рис. 13.2: Происхождение вырождения уровней ЛандауПоперечный гамильтониан тогда сводится к гамильтониану гармоническогоосциллятора,^2^ 2,^ ⊥ = + 1 2 2 2(13.52)с циклотронной частотой (13.39).
Энергетический спектр поперечного движения является дискретным,(︂)︂1⊥ () = ~ +,(13.53)2и эти квантовые состояния называются уровнями Ландау.13.5 Уровни Ландау: вырождение и волновые функцииПолный спектр, таким образом, определяется двумя квантовыми числами, дискретным и непрерывным . Но в отсутствие магнитного поля мыбы имели трёхмерный непрерывный спектр свободного движения с тремяинтегралами движения ,, . Это означает (рис. 13.2), что состояниясвободного движения в поперечной плоскости объединились в группы, соответствующие дискретным уровням Ландау. Собственные значения энергии(13.53) на самом деле вырождены.Для того чтобы найти недостающее квантовое число, выберем явноконкретную калибровку, например (13.12), использованную ранее в классическом решении (13.42).
Как и в (13.44), определим операторы ^0 и ^0 ,соответствующие центру орбиты.Задача 13.3Докажите, что операторы ^0 и ^0 являются квантовыми интеграламидвижения (коммутируют с гамильтонианом), но не коммутируют друг13.5 Уровни Ландау: вырождение и волновые функции435с другом,[^0 , ^0 ] =~.ℬ(13.54)- и -координаты центра орбиты не могут иметь одновременно определенные значения. Только в пределе очень сильного магнитного поля ℬнеопределённость, связанная с (13.54), пренебрежимо мала; в классическомслучае это будет соответствовать исчезающе малому циклотронному радиусу.
В качестве недостающего третьего квантового числа можно взятьодну из координат центра циклотронной орбиты (этот выбор не является единственным, любая комбинация вырожденных состояний, которыепринадлежат к данному уровню Ландау, снова является возможным стационарным состоянием). Это хорошо видно при непосредственном решенииуравнения Шредингера для (, , ) в выбранной калибровке.Используя гамильтониан (13.16) в магнитном поле (без электростатического потенциала, = 0), уравнение, которое надо решить, имеет вид{︃(︂}︃)︂1ℬ 222^ +^ + ^ + ^ = .(13.55)2В этой калибровке -координатa циклическая, и сопряженный импульс сохраняется.
Разделение и переменных приводит к волновой функциив виде произведения(, , ) = (/~)( + ) (),(13.56)где теперь и — собственные значения соответствующих сохраняющихся операторов, а () – собственная функция гармонического осциллятора.Мы видим, что в этой калибровке роль отсутствующего квантового числаиграет или -координата центра орбиты,0 = −.ℬФункция () удовлетворяет уравнению{︂}︂(︂)︂1 2 1222^ + ( − 0 ) () = −().2 22(13.57)(13.58)436Глава 13 Включение магнитного поляyxРис. 13.3: Соответствие между -положением центра орбиты и -импульсом (приусловии < 0)Подтверждаются спектр гармонического осциллятора с циклотронной частотой и интерпретация 0 (выражение (13.57)) как -координаты центраорбиты, () = harm.
osc. ( − 0 ).Размер орбиты в -направлении есть√︃√︂√︀~~≈ 3 · 10−4 cm/ ℬGs .| − 0 | ∼=||ℬ(13.59)(13.60)Решение в выбранной калибровке соответствует фиксированному 0 иравномерному движению (плоская волна) в -направлении. Посколькуимпульс и координата 0 взаимосвязаны через уравнение (13.57), тополучаем пример описания общего циклотронного вращения (см. рис. 13.3).Теперь мы имеем три квантовых числа и энергетический спектр, которыйзависит от двух из них и не зависит от или 0 ,(︂)︂12(, , ) = ~ ++ .(13.61)22Чтобы оценить степень вырождения уровней Ландау, предположим, какв разделе 3.8, что частица находится в большом ящике с размерами ,, ,которые гораздо больше, чем размер орбиты (13.60).
Число различныхквантованных значений в интервале Δ равно Δ /(2~). Однакополный интервал возможных значений ограничен требованием, чтобыкоордината 0 лежала внутри ящика, 0 < 0 < . Согласно (13.57) этоозначает 0 < |( )/(ℬ)| < , т. е. интервал Δ допустимых значенийквантового числа составляет ||ℬ /, а число возможных квантованных13.5 Уровни Ландау: вырождение и волновые функции437значений может быть оценено как⊥ = ||ℬ||ℬ=,2~2~(13.62)где = — площадь поперечного движения.
Принимая также во внимание интервал Δ продольного импульса, который квантуется с площадьюфазового пространства Δ /(2~) на одно квантовое состояние, мы находим общее число вырожденных состояний в объёме , соответствующихданному уровню Ландау и интервалу Δ (результат один и тот же для любого уровня ),Δ =||ℬΔ .2(2~) (13.63)Степень вырождения растёт линейно с величиной магнитного поля.
Следуетотметить, что квантование поперечного движения (13.62) соответствуетполному магнитному потоку через площадь, равномуΦ = ℬ = ⊥2~= ⊥ Φ0 ,||(13.64)каждое состояние поперечного движения покрывает область, которая пронизана одним квантом (13.36) магнитного потока. Приведённая выше оценкахороша для достаточно большого объёма , когда можно пренебречь вкладами от сравнительно небольшого числа траекторий, которые достигаютграницы объёма или локализованы вблизи поверхности. Однако подобные поверхностные состояния представляют особый интерес в некоторыхприложениях.Задача 13.4Заряженная частица движется в присутствии статического однородногомагнитного поля ℬ = ℬ и статического однородного электрического поляℰ = ℰ . Найти энергетический спектр и стационарные волновые функцийчастицы.Решение.Удобным выбором калибровки в этой геометрии является (13.13).
Гамильтониан частицы принимает вид(︁ ^ )︁2p^2 + p^ 2x1 (︁e )︁2^ = 1 p^− A−(ℰ ·^r) = z+p^ y − ℬ^x −eℰ x^. (13.65)22m2mc438Глава 13 Включение магнитного поляВ этой калибровке гамильтониан не содержит - и -координат, поэтомузависимость от этих координат может быть факторизована в виде плоскихволн(, , ) = (/~)( + ) (),(13.66)где и — собственные значения соответствующих компонент импульса,^ и ^ .
Вводя -координату центра ларморовской окружности,0 =,ℬ(13.67)и циклотронную частоту (13.39), перепишем уравнение Шрёдингера дляфункции () в виде{︂ 2}︂{︂}︂^1222+ ( − 0 ) − ℰ () = −().(13.68)2 22Новый центр орбиты смещается под действием электрического поля,¯ = 0 +ℰ2 ℰ=+.02 ℬ2(13.69)Мы приходим к уравнению гармонического осциллятора:{︂{︃}︂(︂ )︂ }︃2^212 ℰ 222().+ ( − ¯) () = −+ ℰ0 +2 222ℬ(13.70)Таким образом, полный набор собственных функций такой же, как для гармонического осциллятора в -направлении с центром в точке = ¯, на который накладывается свободное движение вдоль осей и ,√︂ℬ = (/~)( + ) harm.osc.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
