1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В применении к гармоническому осциллятору этот способ приводит к полному решению проблемы, которое проще,чем с помощью дифференциального уравнения второго порядка.Задача 11.10Вывести альтернативную форму соотношения неопределённостей,⟨⟩2 2 2 + 2 > ~,(11.123)где среднее значение берётся в произвольном состоянии и 2 − произвольный положительный параметр размерности [].Решение.^ через операторы координаты и импульса (11.107):Выразить оператор (︂)︂^2112 2^ ^ + 2 − .(11.124)=2~2Задача 11.11Показать, что для любого нормированного состояния частицы имеетместо неравенство⟨(^ − 0 )2 ⟩ ⟨(^ − 0 )2 ⟩ − ⟨(^ − 0 )(^ − 0 )⟩2 >~2,4(11.125)где0 = ⟨^⟩,0 = ⟨^⟩.(11.126)√Выбрав параметр масштаба = с фактическими массой и частотойгармонического осциллятора, из (11.124) получаем выражение для гамильтониана гармонического осциллятора через оператор числа квантов с этимипараметрами,(︂)︂11 2 12 2^^=^ + ^ = ~ +.(11.127)22211.9 Операторное решение для гармонического осциллятора393Квантование оператора числа квантов эквивалентно квантованию (11.15)спектра энергии гармонического осциллятора.
Стационарные состояния —это найденные выше состояния с определённым числом квантов.Теперь легко найти собственные функции в координатном или импульсном представлении. В координатном представлении оператор уничто√жения (11.107) имеет вид ( = )(︂)︂11^= √(^ + ^) = √~+ .(11.128)2~2~Вакуумное состояние | = 0⟩ уничтожается этим оператором, что даётв координатном представлении уравнение для ⟨|0⟩ ≡ 0 (),(︂)︂~+ 0 () = 0.(11.129)Гораздо проще решать это уравнение первого порядка, чем задачу Шрёдингера второго порядка на собственные значения (энергетический спектруже найден в (11.127) и (11.118)).
Решение (11.129) с точностью до нормировочной константы очевидно:2 /2~0 () = const · −,(11.130)как мы уже знаем из уравнений (11.6) и (11.16). Используя общий результат (11.121) и оператор рождения, сопряжённый с (11.128), мы можемпостроить возбуждённые состояния)︂(︂11 () = √−~+ 0 ().(11.131)! (2~)/2Все состояния будут автоматически нормированы, если вакуумное состояние было нормировано выбором постоянной в (11.130). Мы можем такжерассматривать уравнение (11.131) как конструктивный способ полученияполиномов Эрмита.Задача 11.12Найти оператор, который, действуя на состояние вакуума, создаёт локализованное состояние |⟩.Решение.Используя полный набор координатных волновых функций () =⟨|⟩ (уравнение (11.58), операторное представление вектора состояния394Глава 11 Дискретный спектр и гармонический осциллятор|⟩ (уравнение (11.121)) и производящую функцию полиномов Эрмита(уравнение (11.44)), находим|⟩ =∑︁|⟩⟨|⟩ =(︁ )︁1/4~2 /2~)+−(√2/~ ^† −(^† )2 /2|0⟩.
(11.132)Вся конструкция с операторами рождения и уничтожения тривиальнопереносится на многомерные случаи. Для каждой декартовой степенисвободы операторы ^ ^† определены как в уравнении (11.127) с правиламикоммутации[^ , ^ ] = [^† , ^† ] = 0,[^ , ^† ] = .(11.133)Например, в двумерном случае гамильтониан (11.66) принимает вид(︂)︂)︂(︂11^^^ = ~ ++ ~ +,(11.134)22где мы вводим операторы числа квантов с неотрицательным целочисленным спектром для каждой моды ,^ = ^† ^ .(11.135)Задача 11.13Для двумерного гармонического осциллятора в плоскости с различными частотами ̸= выразить оператор углового момента ℓ^ черезоператоры рождения и уничтожения.
Рассмотреть предельный переходк изотропному случаю = и показать, что этот оператор становитсяинтегралом движения в соответствии с разделом 11.6.Дополнительная литература: [24, 25, 57].Глава 12Будучи результатом предсказаний инаблюдений, состояния света, включая такназываемый «сжатый свет», порождаюткорреляционные эффекты, совершеннонеобъяснимые с точки зрения классическойволновой теории.М. П. Сильверман, «Далеко не одна тайна»Когерентные и сжатые состояния12.1 Определение когерентных состоянийОператоры рождения и уничтожения, использовавшиеся в главе 11,связаны с образом классической фазовой плоскости (, ).
Если бы онибыли комплексными числами и * , а не операторами ^ и ^† , можнобыло бы ввести абсолютное значение и фазу, = || exp(), и найтиклассическую координату и сопряжённый импульс (11.109) как реальнуюи мнимую части изображающей точки на комплексной плоскости,√√2~=|| cos , = 2~ || sin .(12.1)Элемент площади на фазовой плоскости может быть выражен как = = 2~ (Re ) (Im ) = 2~2 ,(12.2)поэтому величина 2 =2~(12.3)имеет очевидный смысл — она подсчитывает (раздел 3.8) число квантовыхсостояний, квазиклассически соответствующих площади .
Таким образом, комплексная плоскость — это, по существу, классическая фазоваяплоскость. Наша задача будет заключаться в том, как найти её квантовыйаналог.Ближе всего к классическому движению находятся когерентные состояния, которые определяются как собственные состояния операторауничтожения. Такому состоянию |⟩ может быть сопоставлено произ-396Глава 12 Когерентные и сжатые состояниявольное комплексное число , которое является собственным значениемоператора ^,^|⟩ = |⟩.(12.4)Теперь покажем, что можно построить хорошее (нормируемое) состояние(12.4) для любого . Все эти состояния могут быть разложены по полномунабору состояний с определённым числом квантов,∑︁|⟩ = ()|⟩,(12.5)с∑︁| ()|2 = 1.(12.6)Легко убедиться, что ряд (12.5) должен быть бесконечным: оператор ^перемещает каждый член ряда на один шаг вниз и только бесконечныйряд может воспроизводить себя после этого.
Это сразу показывает, чтонормируемые собственные векторы оператора рождения ^† не существуют:†все члены ряда переходят на шаг вверх под действием ^ и низшая ступеньлестницы никогда не может быть восстановлена.Задача 12.1Покажите, что с точностью до общей фазы, которая не зависит от ,решение уравнений (12.4)–(12.6) есть2 () = √ 0 () = −|| /2 √ .!!(12.7)Состояния (12.4) для всех комплексных точек называются когерентными состояниями одномерного движения.
Объединяя уравнения (11.121)и (12.7), мы можем генерировать эти состояния из вакуума:|⟩ = −||2 /2∑︁ ∑︁ (^† )22†√ |⟩ = −|| /2|0⟩ = −|| /2+^ |0⟩. (12.8)!!Следует отметить, что фаза амплитуды () (см. уравнение (12.7)) равна, где — фаза собственного значения . Компоненты волнового пакета (12.8) являются полностью синхронизированными с равными разностями12.2 Сдвиги на фазовой плоскости397фаз между всеми смежными компонентами.
Это объясняет термин «когерентное состояние».12.2 Сдвиги на фазовой плоскости^Мы уже рассматривали в разделе 4.5 операторы сдвига ()вдолькоординатной оси. Обобщение этого оператора позволяет производить сдвигв произвольном направлении на фазовой плоскости. Соответствующийпараметр сдвига является комплексным числом, а оператор может бытьопределён согласно†*^()= ^ − ^ .(12.9)Для√︀ действительных это наш старый оператор (4.54) с параметром сдвига2/~(/). Общий оператор сдвига (12.9) с комплексным по-прежнемуунитарен,^ † () = ^ −1 () = (−).^(12.10)В выражении (12.9) операторы рождения и уничтожения запутаны, чтоприводит к сложному степенному ряду.
Это выражение можно упростить,распутав ^ и^† , т. е. представляя этот оператор с помощью экспонент,которые содержат ^и^† по отдельности.Задача 12.2Покажите, что операторы, преобразуемые с помощью (12.9), действительно сдвигаются на комплексную постоянную,^ ^ −1 () = ()^^ − ,^ † ^ −1 () = ()^^ † − * .(12.11)Решение.Стандартный способ решения таких задач начинается с введения вспомогательного параметра таким образом, что^ )^^ −1 ( ),^( ) ≡ (^(0) = ^.(12.12)Теперь мы можем вычислить производную по . Производная правой частисодержит коммутатор[^† − * ^, ^] = −,(12.13)398Глава 12 Когерентные и сжатые состояниятак что^( )= −^( ) = ^(0) − = ^ − .(12.14)При = 1 мы приходим к первому равенству (12.11).Задача 12.3Вывести распутанные формы оператора сдвига (12.9),2†*2*†^()= −|| /2 ^ − ^ = || /2 − ^ ^ .(12.15)Первая форма (12.15) соответствует нормальному упорядочению операторов рождения и уничтожения, когда все операторы ^ помещаются справаот операторов ^† ; вторая форма производит анти-нормальное упорядочение.Задача 12.4Установить правило умножения двух комплексных смещений,*^^^ + ).D()D()= Im( ) D((12.16)Возвращаясь к виду (12.8) волновых функций когерентных состояний,мы видим, что когерентное состояние, соответствующее началу координатфазового пространства, | = 0⟩, совпадает с состоянием вакуума | = 0⟩,тогда как произвольное когерентное состояние |⟩ появляется в результате^сдвига ()вакуумного состояния.
Действительно, с помощью первой(нормальной) формы уравнения (12.15), когда все операторы уничтожения, расположенные справа, дают нуль, действуя на вакуумное состояние,получаем^|⟩ = ()|0⟩.(12.17)Согласно (12.16) любое комплексное смещение преобразует когерентноесостояние в другое когерентное состояние с фиксированной фазой,*^ + )|0⟩ = − Im( * ) ()|⟩^^| + ⟩ = (= Im( ) ()|⟩.(12.18)Фаза была фактически зафиксирована в первоначальном определении (12.9)оператора сдвига, поэтому она уже не произвольна в произведении (12.18).12.3 Свойства когерентных состояний399Согласно нашему определению среднее значение оператора смещения ввакуумном состоянии есть^⟨0|()|0⟩= −||2 /2.(12.19)12.3 Свойства когерентных состоянийПрежде всего мы замечаем, что средние значения различных операторовв когерентном состоянии могут быть сразу же найдены, если операторприведён к нормальной форме; пример мы уже видели в (12.19).
Нормальная форма любой операторной функции возникает от последовательностикоммутаторов, переносящейвсе операторы ^ вправо. В итоге мы приходим∑︀†к выражению типа (^ ) ℎ , так что∑︁∑︁⟨| (^† ) ℎ |⟩ = (* ) .(12.20)В частности, среднее значение числа квантов просто равно^ |⟩ = ||2 .⟨⟩ ≡ ⟨|(12.21)Оно зависит только от величины сдвига от начала координат, но не от угла.Задача 12.5Докажите тождество для среднего значения произведения операторовв когерентном состоянии,^ (^ − 1)(^ − 2)...(^ − + 1)|⟩ = ⟨|(^⟨|† ) (^) |⟩ = ||2 .
(12.22)Из основного результата (12.8) находим распределение вероятностей для числа квантов в когерентном состоянии |⟩, () = | ()|2 = −||2||2;!(12.23)это волновой пакет с распределением Пуассона, = −⟨⟩Задача 12.6⟨⟩.!(12.24)400Глава 12 Когерентные и сжатые состоянияВычислить неопределённость числа квантов в когерентном состоянии|⟩.Решение. Для распределения Пуассона характерно, что дисперсия равнасреднему числу ⟨⟩,(Δ)2 = ⟨2 ⟩ − ⟨⟩2 = ⟨⟩.(12.25)Для когерентных состояний, локализованных далеко от начала координат,среднее число квантов велико, ⟨⟩ = ||2 ≫ 1, и неопределённость этогочисла, хотя и растёт с числом квантов, становится относительно малой,√︀⟨⟩1Δ== √︀ .(12.26)⟨⟩⟨⟩⟨⟩√Зависимость 1/ характерна для статистических явлений в макроскопических системах с большим количеством компонентов, где роль флуктуацийотносительно подавлена.Задача 12.7Для произвольного когерентного состояния найти дисперсии координатыи импульса и показать, что соотношение неопределённостей (6.163) междукоординатой и импульсом достигает своего минимума.Когерентные состояния, локализованные в разных точках, не ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
