1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Поле лазера являетсяпримером, близким к этой ситуации.12.7 Двухквантовый источникСостояние, отличающееся от когерентного, может быть порождено источником, который создаёт и поглощает кванты попарно. По аналогии с (12.42)12.7 Двухквантовый источникмы можем написать модельный гамильтониан в виде)︂(︂1†^+ ^^ + * ^† ^† , = ~ ^ ^+2409(12.71)где характеризует интенсивность источника. По сути это наиболее общаяэрмитова однородная (без линейных членов) квадратичная форма, построенная из операторов рождения и уничтожения; линейные члены всегдамогут быть устранены смещением (12.43).Гамильтониан типа (12.71) может быть точно диагонализован с помощьюоператорного канонического преобразования Боголюбова.
Здесь диагонализация означает сведение к простой форме гармонического осциллятора дляновых квантов, т. е. определение стационарных состояний для системы исходных осцилляторов при наличии источника. Преобразование объединяетв общей форме операторы рождения и уничтожения,^ = ^ + ^† ,^† = *^† + *^.(12.72)Здесь и — неизвестные комплексные амплитуды, а преобразованиесохраняет эрмитовость соотношений. Для того, чтобы сделать преобразование каноническим, мы должны гарантировать те же коммутационныесоотношения для новых операторов,[^, ^† ] = [^, ^† ] = 1.(12.73)Тогда, как легко найти, свобода выбора амплитуд преобразования ограничена условием||2 − ||2 = 1.(12.74)Задача 12.11Показать, что преобразование, обратное к (12.72), имеет вид^ = * ^ − ^† ,^† = ^† − * ^.(12.75)Преобразованный гамильтониан содержит члены с различными комбинациями новых операторов рождения и уничтожения,^ =^ 20 + ^ 02 + ^ 11 + 1 ~,2(12.76)410Глава 12 Когерентные и сжатые состояниягде^ 20 = ^ † = ^^(~ * + 2 + * *2 )02(12.77)и^ 11 = ^†^(~||2 + + * * * ) + ^^† (~||2 + + * * * ).
(12.78)Состояние с определённым количеством новых квантов будет стационарным, если опасные члены рождения и уничтожения пар квантов сокращаются. Это приводит к условию^ 20 = ^ 02 = 0(12.79)или в явном виде к~ * + 2 + * *2 = 0.(12.80)Если ввести фазы комплексных амплитуд, = Λ , = , = ,(12.81)условие компенсации (12.80) принимает вид~ ( − ) + Λ 2 ( +2 ) + Λ 2 −( +2 ) = 0.(12.82)Теперь мы можем выбрать фазы согласно1 = = − 2(12.83)и работать с действительными амплитудами Λ, и .Для решения полученных уравнений удобно параметризовать амплитудытаким образом, чтобы учесть условие нормировки (12.74):(︁ )︁(︁ )︁ = cosh, = sinh.(12.84)2212.7 Двухквантовый источник411Гиперболический угол определяется из уравнения (12.82),~Λ cosh +sinh = 0,)︂(︂ 21~ − 2Λ.
= ln2~ + 2Λtanh = −2Λ,~(12.85)Это определяет2Λsinh = − √︀,(~)2 − 4Λ2cosh = √︀~(~)2 − 4Λ2.(12.86)Заметим, что стационарное состояние возможно, если источник не слишкоминтенсивный,Λ2 <(~)2.4(12.87)^ 11 (уравнение (12.78)) опредеВ области стабильности оставшийся член ляет новую частоту и смещение спектра (оператор ^^† должен быть записанв виде ^†^ + 1),~ = 4Λ + ~( 2 + 2 ) = 2Λ sinh + ~ cosh .(12.88)С помощью простых алгебраических преобразований, используя уравнения (12.84) и (12.85), находим√︀~ = (~)2 − 4Λ2 .(12.89)Мы видим опять, что стационарность спектра требует такое же условиестабильности (12.86). С подобной алгеброй мы также можем вычислитьэнергию нулевых колебаний нового спектра(︂)︂1120 = ~++ 2Λ = ~ .(12.90)22Задача 12.12Рассмотреть задачу (12.71) в (, )-представлении и интерпретироватьфизическую причину нестабильности, когда (12.87) нарушается.412Глава 12 Когерентные и сжатые состоянияЗадача 12.13Записать операторные уравнения движения для ^и^† , найти нормальныемоды ^(), ^† () с монохроматической зависимостью от времени, как собственные операторы гамильтониана, аналогично (12.60) для осцилляторабез внешнего источника, а также установить эквивалентность результатамканонического преобразования.Задача 12.14Рассмотреть систему с линейной связью двух одинаковых гармоническихосцилляторов,^ = ~(^† ^ + ^†^) + (^†^ + ^† ^).(12.91)Найти энергетический спектр системы; выразить стационарные состоянияв терминах исходных операторов.Решение.Гамильтониан задачи диагонализуется переходом к новым нормальныммодам,^ + ^^= √ ,2− ^^ = ^√.2(12.92)Преобразованный гамильтониан имеет две независимых колебательныхмоды,^^ = (~ + )^† ^ + (~ − )^† .(12.93)Вырождение снимается отталкиванием уровней, ~ ⇒ ~ ± .
Заметим,что при || > ~ одна из новых частот отрицательна (система неустойчива).В области устойчивости новые стационарные состояния можно записатькак| ⟩ =(^† ) (^† )√|0 0 ⟩, ! !(12.94)но вакуум для - и -мод такой же, как старый вакуум для - и -мод.Поэтому| ⟩ =(^† + ^† ) (^† − ^† )1√|00⟩(+)/22 ! !(12.95)12.8 Сжатые состояния413и биномы можно алгебраически раскрыть, так как операторы рождениякоммутируют друг с другом.12.8 Сжатые состоянияКаноническое преобразование (12.72), (12.74), используемое для состояний, порожденных парным источником, создаёт так называемые сжатыесостояния.
Как указывается в [58], в отличие от квазиклассических когерентных состояний, «сжатые состояния света лежат вне области любойклассической теории поля». Рассмотрим собственное состояние |⟩ оператора ^, определённого формулой (12.72),^|⟩ = |⟩,(12.96)с комплексным собственным значением . Это когерентное состояние, нопо отношению к новому оператору в отличие от когерентных состояний|⟩ исходного оператора ^.Состояния, такие как (12.96), являются сжатыми по отношению к исходным состояниям гармонического осциллятора, порожденным операторамирождения ^† .
Координаты и импульсы подвергаются масштабному преобразованию,√︂~[( + * )^ + (* + )^† ],^=2(12.97)√︂~* ^*†^^ = −[( − ) + (− + ) ].2Как и в когерентных состояниях, средние значения ^ и ^ в сжатом состоянии определяются по формулам (12.97) с заменой ^ → , ^† → * .Неопределенности и равны√︂√︂~~Δ =| + |, Δ =| − |.(12.98)22Эти результаты следуют из коммутатора (12.73), и поэтому они справедливы для любого выбора сжатого состояния (значение ).
Произведениенеопределённостей равно(Δ)(Δ) =~ 2| − 2 |.2(12.99)414Глава 12 Когерентные и сжатые состоянияПредел когерентного состояния соответствует || = 1, = 0, когда состояниеимеет минимум неопределённости ~/2. В общем случае комплексных и |2 − 2 | > ||2 − ||2 = 1.(12.100)(Это становится очевидным, если явно ввести относительные фазы между и ; в примере раздела 12.7 эта фаза была исключена (12.83).) Такимобразом, в общем сжатом состоянии неопределённость произведения (12.99)превышает квантовый предел ~/2. Тем не менее неопределённость только вкоординате (или импульсе) может быть сделана меньше, чем для основногосостояния гармонического осциллятора, выбором и , эта неопределённость сжата.Общее определение сжатого состояния |; ⟩ включает в себя как сдвиг^(),так и и сжатие с помощью оператора* ^^^()= + − − ,(12.101) = || ≡ —(12.102)гдепроизвольное комплексное число, и мы ввели операторы для парного источника,^− = 1 ^^,2^+ = 1 ^† ^† .2(12.103)Тогда сжатое состояние определяется двумя комплексными параметрами и как^^ ()|0⟩;^|; ⟩ = ()|⟩= ()(12.104) = 0 соответствует когерентному состоянию |; 0⟩ = |⟩.
Оператор (12.101)^является унитарным по построению, ^† () = ^−1 () = (−),и, следова†^^тельно, новые операторы , , полученные сжатием,(︂)︂(︂)︂^^†^^ = ^† ,(12.105)^†удовлетворяют тем же каноническим коммутационным соотношениям, чтои^, ^† .12.8 Сжатые состояния415Задача 12.15Показать, что операторы (12.103) вместе с оператором(︂)︂(︂)︂111 ^ 1†^0 =^ ^+≡+2222(12.106)удовлетворяют замкнутой алгебре коммутационных соотношений^ 0, ^ ± ] = ±^ ±,[^ −, ^ + ] = 2^0[(12.107)так называемой (1, 1) алгебры, которая близка к алгебре углового момента, но отличается от неё (см.
главу 1 том II).Теперь очевидно, что оператор ^, полученный преобразованием (12.105),действительно имеет состояние |; ⟩ в качестве своего собственного состояния (см. уравнение (12.96)), с собственным значением = ,^|; ⟩ = ()^^ ^† ()()|⟩^^ |⟩ = |; ⟩.= ()^(12.108)Однако как мы видели в (12.99), сжатое состояние не является состояниемc минимальной неопределённостью.Задача 12.16Найти явный вид нового оператора ^, полученного путём преобразования,заданного формулами (12.101), (12.102) и (12.105).Решение.С использованием алгебраических методов распутывания операторов(раздел 4.8), найдите коэффициенты соответствующего канонического преобразования (сравните с (12.75))^ = cosh()^ − sinh()− ^† .(12.109)Задача 12.17Найти произведение неопределённостей в состоянии |; exp()⟩.Решение.(Δ)2 (Δ)2 =~2[1 + sinh2 (2) sin2 ].4(12.110)416Глава 12 Когерентные и сжатые состоянияЭто выражение при = 0 сводится к минимальному значению, как должнобыть в когерентном состоянии.
Минимальное значение также достигаетсядля вещественного параметра сжатия = .Задача 12.18^ эквивалентДокажите, что для вещественного = преобразование ()но сжатию вдоль оси координат в фазовом пространстве,^ ⇒ ^− .^⇒^ ,(12.111)12.9 Подробнее о сжатых состоянияхРассмотрим чистое сжатое состояние^()|0⟩= |0; ⟩.(12.112)Парный источник преобразует вакуум |0⟩ в сложную суперпозициюразличного, но только чётного количества квантов,∑︁|0; ⟩ = (, )|2⟩.(12.113)Эта комбинация является вакуумом новых операторов ^, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
