1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Таким образом, с математическойточки зрения квазиклассическое приближение является разновидностьюметода стационарной фазы [47]. С точки зрения континуального интеграла (разделы 7.11–7.13) виртуальные траектории интерферируют и, вквазиклассической ситуации, компенсируют друг друга, так что толькообласть стационарной фазы выживает, а это обеспечивает доминированиеклассической траектории и малость квантовых поправок. В общем случаенужно тщательно учитывать все виртуальные траектории.15.5 Условия сшивкиТак как потенциал наиболее общего вида (рис.
15.1) включает в себяне только классически разрешённые области, нам нужно также решениев запрещённой области под барьером, () > . С тем же разложением (15.29) достаточно рассмотреть импульс как мнимую величину, () == |()| ≡ ~(). Это приводит к квазиклассическому решению(︁)︁∫︀ ∫︀ 1− () + () −(/~) .Ψ(, ) = √︀|()|(15.40)Имея в наличии области обоих типов, разрешённые и запрещённые, как() и () на рис.
15.1, мы должны согласовать коэффициенты волновойфункции по обе стороны от точки поворота. Как мы помним из простейшихпримеров гл. 2, это в действительности и есть основная часть решения. Ранее мы могли это сделать прямым способом непрерывной сшивки функциии её производной. Но здесь это невозможно, так как квазиклассическиерешения неверны в непосредственной близости от точки поворота из-занефизической особенности, нарушающей неравенство (15.27) (см. задачу 15.2).486Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеНиже мы разработаем несколько подходов, чтобы избежать этих трудностей и выполнить корректную сшивку. Прежде всего, как мы видели вразделе 9.4, решения, найденные в разных частях пространства, связаныиз-за инвариантности относительно обращения времени и сохранения тока.Здесь можно получить аналог переходной матрицы (9.37) для связи решений через точку поворота.
Используя квазиклассические выражения (15.6)и (15.40), получаем из сохранения тока||2 − ||2 = 2 Im( * )(15.41)вместо полученного ранее уравнения (9.41). Теперь амплитуды и должны быть выражены через матрицу перехода (9.40):||2 − ||2 = 2 Im(* )(||2 − ||2 ),(15.42)что в конечном итоге приводит к1Im(* ) = .2(15.43)Однако этого всё ещё недостаточно для полного определения амплитуд.Рассмотрим простейший способ нахождения условий сшивки, которыйработает в окрестности изолированной точки поворота для потенциала (), регулярного в этой окрестности.
Так как в точке поворота, скажем,при = 0, имеем (0) = , то вблизи этой точки потенциал можнопредставить в линейном приближении как(︂)︂≡ − 0 .(15.44) () ≈ + =0Таким образом, в этой области мы сводим нашу задачу к точно решаемойзадаче для однородного поля, решение которой не сингулярно в точкеповорота и имеет асимптотику, найденную в разделе 9.9. Заметим, чтоасимптотика функции Эйри имеет как раз нужный нам квазиклассическийхарактер.
Следовательно, наша программа выглядит так: найти точноерешение в окрестности (15.44) через функцию Эйри, а затем склеить егонепрерывно с квазиклассическими асимптотиками с обеих сторон.Задача 15.2Используя метод фазовых интегралов задачи 15.1, показать, что точноерешение не имеет особенности в точке поворота [93].Решение.15.5 Условия сшивки487С использованием (15.11) получаем, что в классически разрешённойобласти, например, справа от точки поворота, > 0,() = − √︀ ()() ,()() = √︀ ()−() ,()где является константой, а{︁ ∫︁ }︁ () = exp 2′ (′ ) sin2 [(′ ) + (′ )] .(15.45)(15.46)0В этой области волновая функция и ее производная имеют вид () sin[() + ()],() ′ () = () cos[() + ()].() =(15.47)Теперь рассмотрим → 0, когда√() = ,() =2 3/2 ,3 () =1.4Тогда фаза () удовлетворяет с точностью до членов ∼′ () = () sin[2()](15.48)√(15.49)и эта часть полной фазы (15.47) является более важной, чем квазиклассическое действие ().
Следовательно, в непосредственной близости около→0√tan[()] = const () ∝ .(15.50)Слабым местом в нашей программе сшивки является вопрос существования области перекрытия, где квазиклассическое решение уже применимо,а разложение (15.44) тоже ещё остается в силе. Нам нужна область ≈ ¯такая, что потенциал ещё линейный, ¯ ≪ , где — типичный масштабизменения потенциала, и в то же время (/)=¯ ≪ 1 (уравнение (15.24)).488Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеEaEx(a)bx(b)Рис.
15.3: Два случая для потенциала вблизи точки поворотаТипичным импульсом в области (15.44) является√︂√︂√︂√︀2 ( = 0)2∼≡ 0. = 20 ∼(15.51)Это соответствует длине волны√︂√︂~~ ~= ∼,∼,0 0 3(15.52)и квазиклассическое условие (15.24) принимает вид3/2≫√~0≫1/3(︂~0)︂2/3(︂=~0 )︂2/3.(15.53)Благодаря главному условию (15.23), (~/0 ) ≪ 1, видим, что можновыбрать окрестность ∼ ¯, в которой удовлетворяется двойное неравенство(︂~0 )︂2/3≪¯ ≪ .(15.54)Тогда мы можем провести сшивку в точке = ¯.Задача 15.3Выполните сшивку функции Эйри (раздел 9.9) с квазиклассическимирешениями по обе стороны от точки поворота. Выразите результат черезматрицу перехода (9.40) и покажите, что параметры и равны=1 −/4,2 = /4 ,в соответствии с формулой (15.43).(15.55)15.5 Условия сшивки489Согласно последней задаче формулы сшивки для точки поворота типаизображённой на рис.
15.3b, когда запрещенная область находится справаот классической области, имеют вид = /4 +1 −/4,2 = −/4 +1 /4.2(15.56)Вблизи точки поворота типа изображённой на рис. 15.3a, когда барьеррасположен слева от классической области, можно поступить таким жеобразом, и ответ может быть получен из (15.56) заменой ⇔ , ⇔. Теперь можно явно сформулировать правила связи для различныхвозможных ситуаций.I.
Точка поворота типа рис. 15.3b.(i) Дано, что при > волновая функция убывает ( = 0, = 1).Правило соответствия между решениями с двух сторон от точки = имеет вид)︂)︂(︂∫︁ (︂ ∫︁ 2 1||⇐→ √︀exp −.(15.57) −√ cos~ 4~||(ii) Дано, что при > волновая функция растёт ( = 0, = 1):1√ sin(︂∫︁ −~ 4)︂←⇒1exp− √︀||(︂∫︁||~)︂.II. Точка поворота типа рис.
15.3a.(i) Дано, что при < волновая функция убывает:(︂ ∫︁ )︂(︂∫︁ )︂12|| √︀exp −cos −←⇒ √︀.~~ 4||||(ii) Дано, что при < волновая функция растёт:(︂∫︁ )︂(︂∫︁ )︂||1 1− √︀exp⇐→ √ sin −.~~ 4||(15.58)(15.59)(15.60)Вообще говоря, эти формулы сшивки можно уверенно использовать тольков одном направлении, а именно в направлении, которое указано двойнымистрелками. В самом деле, предположим, что в уравнении (15.57) мы продолжили решение слева направо и в области < совершили небольшуюошибку в фазе.
Это эквивалентно небольшой примеси синуса из урав-490Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеabxE Рис. 15.4: Иллюстрация к выводу квазиклассического правила квантованиянения (15.58) к левой части (15.57). При дальнейшем продолжении, этапримесь приводит, в соответствии с (15.58), к растущей экспоненте. Какимбы малым ни был коэффициент перед этой растущей экспонентой, онапревысит основную (падающую) экспоненту на достаточном расстоянииот точки поворота. Это означает, что гарантировано только продолжениев направлении растущей вещественной экспоненты.15.6 Квантование Бора — ЗоммерфельдаВ качестве приложения наших общих результатов выведем правилоквантования Бора — Зоммерфельда, которое раньше использовалось безсерьезного обоснования, в частности, в упрощенной форме для атомаводорода (раздел 1.6) и для частицы в магнитном поле (раздел 13.7).Мы ищем энергетический спектр связанных состояний в квазиклассическом потенциале (рис.
15.4). Для связанного состояния в подбарьерныхобластях < и > волновая функция должна иметь только экспоненциально затухающее поведение. Под левым барьером(︂ ∫︁ )︂||() = √︀exp −, < .(15.61)~||Согласно (15.59) внутри потенциальной ямы имеем квазиклассическоерешение(︂∫︁ )︂ 2() = √ cos −, < < .(15.62)~ 4Это решение должно быть продолжено в область > .
Для удобстваперепишем (15.62), изменяя начало отсчёта фазы:2() = √ cos(︂∫︁ −~∫︁ −~ 4)︂(15.63)15.6 Квантование Бора — Зоммерфельдаили используя простую тригонометрию,(︂∫︁ {︂)︂(︁)︁2 () = √− cos [, ] sin −+~ 4)︂}︂(︂∫︁ (︁)︁ ,+ sin [, ] cos −~ 4491(15.64)где фазовый интеграл по разрешенной области обозначается как1[, ] ≡~∫︁ ().(15.65)Как следует из (15.57) и (15.58), первое слагаемое в (15.64) после продолжения под барьером, > , порождает неправильную растущую экспоненту,тогда как второе слагаемое генерирует правильную падающую экспоненту.Связанное состояние существует, если коэффициент при первом члене точно равен нулю; в этом случае применение формулы (15.57) в направлениитонкой стрелки является безопасным.
Таким образом, появляется следующее условие квантования, которое определяет дискретный энергетическийспектр:(︂∫︁ )︂(︁)︁(; )cos [, ] = cos= 0.(15.66)~Это эквивалентно стандартному правилу Бора-Зоммерфельда)︂(︂∫︁ 1 (; ) = +~, = 0, 1, 2 . . . .2(15.67)Нужно помнить, что энергия входит не только явно в определение (15.1)импульса (; ), но и через пределы интегрирования: = () = ().Как обсуждалось качественно в главе 1, квазиклассически квантованной величиной является фазовый интеграл (адиабатический инвариант),равный классическому действию за период движения,(︂)︂∮︁1 = = 2~ +.(15.68)2Строго говоря, квазиклассическое квантование может быть использованотолько для ≫ ~, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
