1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Тогда 1 = 0, и матрица отражения,⃒ ⃒2 ⃒ ⃒2⃒ ⃒⃒ ⃒112 = ⃒⃒ ⃒⃒ = ⃒⃒ ⃒⃒ = 2 ==,(15.132)||1 + −21 + 215.11 Близкие точки поворота⋆и коэффициент прохождения,⃒ ⃒2⃒ 1 ⃒111==. = ⃒⃒ ⃒⃒ =||2| |21 + 2507(15.133)Конечно, автоматически + = 1 в силу (15.128). Результаты (15.132)и (15.133) справедливы для любой ширины барьера и имеют простой смысл.Для далёких точек поворота с квазиклассической областью между ними, ≫ 1, и мы возвращаемся к простому результату (2.59), → 1 = −2 .Вероятность отражения может быть представлена в виде бесконечногоряда, = 1 − −2 + (−2 )2 − · · · = 1 − 1 + 12 − . . . .(15.134)Это можно интерпретировать в духе суммы по путям: становится меньшеединицы из-за вероятности одиночного туннелирования 1 , но мы можемвернуться назад после туннелирования туда и обратно (+12 ) и т.
д. Процессы возвращения высшего порядка были проигнорированы при выводе (2.59).Квазиклассический результат (15.133) является точным для потенциалаперевернутой параболы,1 () = − 2 2 , где — это высота барьера.2(15.135)Задача 15.8Найти параметр проницаемости для параболического барьера (15.135).Решение.() =( − ).~(15.136)В этом случае можно использовать точное решение уравнения Шрёдингера в терминах так называемых функций параболического цилиндра [96].Это полезно, так как во многих приложениях барьер может быть аппроксимирован параболой. Несколько иной подход, полностью основанный наиспользовании матриц связи, предложен в [97].508Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближение15.12 Подход с использованием интеграла по путямКвазиклассическое (ВКБ) приближение, детально рассмотренное выше,можно считать приближением геометрической оптики к точной теорииинтеграла по путям (глава 7). Выше мы работали с классическими траекториями или их продолжениями в комплексную плоскость.
В классическихобластях эти пути соответствуют стационарной фазе и дают основной вкладв функциональный интеграл.Чтобы перевести явным образом квазиклассический подход на язык интеграла по путям, напомним, что квантовый пропагатор (для простоты мыиспользуем обозначения для одномерного движения) может быть записанв виде функционального интеграла (7.179),∫︁′ ′̃︀(, ; , ) = ()(/~)[( )] ,(15.137)̃︀ включает в себя бесконечное произведение нормировочных множитегде лей (7.192) и есть классическое действие (7.174),∫︁[()] =(︁)︁ ℒ ( ), (˙ ) ,(15.138)′вдоль траектории ( ) с фиксированными концами, (′ ) = ′ , () = .В квазиклассической ситуации действие намного больше, чем квант действия ~, и разным путям соответствуют сильно осциллирующие амплитуды, которые интерферируют и гасят друг друга, за исключением техтраекторий, которые отвечают экстремуму действия и стационарной фазев интеграле (15.137).В стационарных задачах пропагатор (15.137) зависит только от − ′ ,∑︁′(, ; ′ , ′ ) = ()* (′ )−(/~) (− ) ,(15.139)где { ()} — полный набор стационарных волновых функций с энергиями .
Тогда можно положить ′ = 0 и работать в энергетическом представлении,∫︁ ∞ (, ′ ) = (/~) (, ; ′ , 0).(15.140)015.12 Подход с использованием интеграла по путям509Здесь появляется так называемое редуцированное действие,∫︀ + . Для частицы в потенциале (), эта функция даётся интегралом () от классического импульса вдоль траектории, в то время как является полнойфазой волновой функции (уравнения (15.34)–(15.39)). Условие стационарности фазы (15.38) определяет доминирующую траекторию и квазиклассическое приближение для волновой функции, как описано выше.
Однакоэто траектория является единственным решением классических уравненийдвижения только в классически разрешенной области, > (). В противоположность этому, если () > , уравнение стационарной фазы (15.38)не имеет действительных решений (в вещественном времени ).Задача 15.9Найти классическое действие (15.138) для движения частицы в потенциале перевернутой параболы (15.135), а также стационарные точки дляпути под барьером между точками поворота и при энергии .Решение.Из классического уравнения движения, ¨ = −/ или ¨ = 2 ,находим общее решение ( ) в терминах гиперболических функций, и,принимая во внимание граничные условия, (0) = ′ , () = , приходим квыражению(, ′ ; ) =[(2 + ′2 ) cosh() − 2′ ] − .2 sinh()(15.141)Взяв производную /, мы видим, что уравнение (15.36), / = − с′ = и = , где = () = (), может быть выполнено при вещественном времени , только если > .
Для подбарьерного движения можнонайти бесконечное количество комплексных решений , разнесённых помнимой оси, как Im( ) = −(2 + 1)/.В общем, описание туннелирования с помощью классических траекторий требует мнимого времени; можно вспомнить в этой связи обсуждениевремени туннелирования в разделе 9.5. Классическое уравнение движенияс заменой → − , где действительно совпадает с таковым для реальноговремени, но с перевернутым потенциалом. Периодичность в мнимом времени, 2/, найденная в задаче 15.9, соответствует классическому периоду подействительному времени в этом перевернутом потенциале, и, следовательно, её можно интерпретировать как результат многократных отраженийволнового пакета от барьера.
Теперь все эти траектории дают вклад вамплитуду туннелирования. Картина в комплексной плоскости довольносложная, но может быть понята так, что суммирование таких вкладов510Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениевоспроизводит [98] уравнение (15.133), которое мы уже интерпретировали(уравнение (15.134)) в терминах многократных отражений. Подход интеграла по путям позволяет идти дальше и учесть не только квазиклассическиетраектории, но также и соседние пути, которые отвечают за отклоненияот геометрической оптики, такие как дифракционные эффекты в многомерном движении, особенно в квантовой теории поля, в которой аналогитраектории в перевёрнутом потенциале называются инстантонами.В квазиклассическом пределе с малой амплитудой подбарьерных процессов многократные отражения маловероятны, и главная траектория даётлидирующий вклад.
Результат можно оценить с помощью классическогодействия по этой «мнимой» траектории. Ограничиваясь ведущим экспоненциально малым членом, имеем для вероятности перехода между (в общемслучае многомерными) конфигурациями и оценку⃒⃒2⃒⃒ ∼ ⃒(/~)(,) ⃒ = −(2/~)Im[(,)] .(15.142)Такая оценка весьма полезна, например, в химических реакциях, когда дваатома при достаточно высокой кинетической энергии образуют неустойчивую молекулу (димер), которая снова распадается на атомы в возбужденном состоянии (так называемое столкновение второго рода). Полнаяэнергия сохраняется, но происходит переход между двумя конфигурациямис различными потенциальными функциями , () межатомного взаимодействия.
Уравнение (15.142) может быть применено, если эти потенциалы«пересекаются» на мнимом расстоянии 0 , (0 ) = (0 ).(15.143)Тогда вероятность перехода может быть оценена как ∼ −(2/~)Im[(,0 )+(0 ,)] .(15.144)Важное обобщение этого подхода связано с расчётом плотности уровнейквантовых систем. Простейшие случаи были рассмотрены в главе 3.
Метод функционального интеграла позволяет развить мощный инструмент,практически весьма полезный по крайней мере для систем с небольшимчислом степеней свободы [5, 90]. Рассматривая системы с дискретным спектром энергии (или в большом объёме квантования, как в главе 3), можнопредставить пропагатор в виде (15.139) и перейти к энергетическому представлению (15.140). Чтобы интеграл по времени сходился, рассмотрим егокак предел интеграла при комплексной энергии, которая приближается15.12 Подход с использованием интеграла по путям511к реальной оси сверху, → + 0.
Здесь 0 означает бесконечно малуюмнимую часть , → +0. Тогда интеграл по времени даёт (, ′ ) = ~∑︁ () * (′ ),− + 0(15.145)где и ′ — обобщённые многомерные координаты. След этой функции,рассматриваемой как оператор в -представлении, даётся выражением∫︁∑︁1Tr = (, ) = ~,(15.146)−+0где использована ортонормированность собственных функций ().Во многих случаях приходится сталкиваться со знаменателями, какв (15.146). Рассмотрим внимательнее этот предел: для любого действительного 1 − = lim 2.→+0 + 2→+0 + lim(15.147)Действительная часть здесь,lim→+0 21≡ P.v. ,2+(15.148)представляет собой главное значение, которое равно 1/, если≠ 0, и нулю,∫︀если = 0. Если это выражение входит под интеграл , мы должныисключить∫︀ точку = 0 из интеграла с помощью симметричного предела,lim→0 − .
Мнимая часть выражения (15.147) равна− lim→+0 2= −(),+ 2(15.149)где мы воспользовались свойствами дельта-функции (раздел 3.3), а множитель возникает из-за нормировки (3.19). Действительно, выражение (15.149) является чётной функцией , которая равна нулю при → +0,если ̸= 0, и обращается в +∞, если = 0.Таким образом,lim→+011= P.v.
− (). + (15.150)512Глава 15 Квазиклассическое (ВКБ) приближениеТеперь видно, что плотность уровней системы (уравнение (3.83)) прямосвязана со следом пропагатора (15.146),() =∑︁( − ) =[︁]︁1Re Tr .~(15.151)В подходе интеграла по путям след пропагатора даётся суммой вкладовтраекторий, которые замкнуты, так как ′ = . В квазиклассической ситуации вычисление плотности уровней сводится к сумме по периодическимклассическим орбитам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
