1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Соотношение неопределённостей ввиде (6.162) может быть применено к производной по времени от Гейзен-238Глава 7 Квантовая динамикаберговского оператора ^ (без явной зависимости от времени). Это даёт⃒⃒^ ⃒⃒~ ⃒⃒ ⟨⟩1 ^ ^(7.120)(Δ)(Δ) > |⟨[, ]⟩| = ⃒⃒,22 ⃒ ⃒где все средние значения операторов Гейзенберга вычисляются по состоянию |Ψ(0)⟩. Однако тот же самый результат должен получаться каксреднее значение не зависящих от времени операторов Шрёдингера всостоянии |Ψ()⟩ (теорема Эренфеста). Если мы возьмём проекционныйоператор (6.124) для начального состояния^ = |Ψ(0)⟩⟨Ψ(0)|,(7.121)его зависящее от времени среднее значение как раз является нашей вероятностью выживания (7.115)⃒⃒2⃒⃒^⟨Ψ()||Ψ()⟩= ⟨Ψ()|Ψ(0)⟩⟨Ψ(0)|Ψ()⟩ = ⃒⟨Ψ(0)|Ψ()⟩⃒ = (). (7.122)Так как проекционный оператор (7.121) удовлетворяет свойству (6.126),2^^ его неопределённость может быть выражена как = ,(Δ)2 = ⟨2 ⟩ − ⟨⟩2 = ⟨⟩ − ⟨⟩2 = (1 − ).Теперь неравенство (7.120), написанное справа налево, даёт⃒⃒⃒ ⃒ 2(Δ) √︀⃒⃒ (1 − ).⃒ ⃒ 6~(7.123)(7.124)Легко видеть, что в начале процесса это неравенство превращается в равенство, совпадающее в линейном приближении, ∼ , с предыдущим результатом (7.119).
Если мы напишем (7.124) в виде⃒⃒12(Δ) ⃒⃒ ⃒⃒√︀6(7.125)⃒ ⃒~ (1 − )и проинтегрируем обе части от начального значения = 1 до произвольногозначения , то получим∫︁12(Δ)√︀6~ (1 − )(7.126)7.9 Правила суммили, вычисляя интеграл с помощью замены = cos2 ,(︂)︂2 (Δ). () > cos~239(7.127)7.9 Правила суммВо многих случаях коммутационные соотношения позволяют получитьценную информацию о физических процессах в системе без явного решениядинамической задачи.Рассмотрим систему нерелятивистских частиц, взаимодействующихпосредством потенциальных сил , которые зависят только от координатчастиц r , но не от скоростей или импульсов.
Гамильтониан системы можеттакже включать внешние потенциалы, (r ),]︂ [︂∑︁p2=+ (r ) + ({r }).2(7.128)=1Пусть |⟩ — полный набор стационарных многочастичных состояний с энергиями и∑︁= , = (r ) −(7.129)произвольный оператор, зависящий от координат r отдельных частицс массами . Зафиксируем одно из многочастичных стационарных состояний |⟩ и назовём энергетически-взвешенным правилом сумм следующуюсумму по всем состояниям |⟩: [] ≡1 ∑︁( − ){|⟨||⟩|2 + |⟨|† |⟩|2 }.2 (7.130)Такие величины суммируют энергетически-взвешенные интенсивности всехпереходов из данного состояния |⟩ во все возможные состояния |⟩ (каквверх, так и вниз по энергии).Для того чтобы вычислить сумму [], перепишем её с помощью коммутационных соотношений.
После перегруппировки слагаемых в правойчасти уравнения (7.130) выразим энергетически-взвешенную сумму через240Глава 7 Квантовая динамикадвойной коммутатор,]︁1 [︁ [] = ⟨| [, ], † |⟩.2(7.131)Вычисление суммы требует знания среднего значения лишь для начальногосостояния |⟩, а не для всех промежуточных состояний |⟩.Для не зависящего от импульса взаимодействия коммутатор включаеттолько кинетическую часть гамильтониана и может быть найден в явномвиде:[, ] =∑︁ 1∑︁ ~[ , p2 ] =[(∇ ), p ]+ ,22(7.132)где [..., ...]+ обозначает антикоммутатор (6.68) (конечно, переменные для различных частиц, ̸= , коммутируют). Второй коммутатор сводит выражение (7.131) к [] =∑︁ ~2⟨||∇ |2 |⟩.2(7.133)В результате для всего энергетически-взвешенного правила сумм требуетсятолько знание одного матричного элемента для начального состояния.
Длямонопольного оператора = r2 ,∇ = 2r,[︁∑︁]︁ ∑︁ 2~2⟨|2 |⟩.2 =(7.134)В системе одинаковых частиц массы этопропорционально∑︀ выражение22среднему квадрату радиуса ⟨ ⟩ = (1/ ) ⟨| |⟩ в состоянии |⟩,[︁∑︁]︁ 2~22 = ⟨2 ⟩ .(7.135)Задача 7.9Получите энергетически-взвешенное правило сумм для дипольного момента системы зарядов , = 1, ..., ,∑︁d= r .(7.136)7.9 Правила сумм241В приложениях мы предполагаем, что центр масс системы находится в начале системы координат.Решение.Возьмём любую компоненту вектора d. Дипольное правило сумм (7.133)является универсальным для всех состояний |⟩: [ ] =∑︁ ~2 22.(7.137)В атоме система центра масс привязана к ядру, и правило сумм (7.137)для электронов (правило сумм Томаса-Райхе-Куна (ТРК)) для любогосостояния |⟩ имеет вид, [ ] =~2 2.2(7.138)Задача 7.10Модифицируйте дипольное правило сумм для описания внутреннихдипольных возбуждений в атомном ядре с протонами и нейтронами(атомный номер = + ).Решение.Предполагая одинаковыми массы для протонов () и нейтронов () ивводя радиус центра масс (ц.
м.) в произвольной системе отсчёта,R=∑︁ )︁1 ∑︁1 (︁∑︁r =r +r , (7.139)получаем для дипольного оператора (7.136) по отношению к ц. м.d=∑︁]︃[︃(︂)︂[︁∑︁]︁ ∑︁ ∑︁(r − R) = r − R = 1 −r −r . (7.140)242Глава 7 Квантовая динамикаТаким образом, в системе ц. м. как протоны, так и нейтроны имеют эффективные дипольные заряды: =, = −.(7.141)Это значит, что при наложении электрического поля и сохранении центраядра в покое нужно сдвинуть протоны и нейтроны в противоположныхнаправлениях. Правило сумм TRK (7.138) теперь принимает вид [ ] =~2 2~2 2 ( + 2 ) =.22 (7.142)При этом, если добавить вклад ядра как целого (масса , заряд ), мывозвращаемся к результату TRK:~2 2 ~2 2 2~2 2+=.2 2 2(7.143)Однако только часть (7.142) связана с внутренними возбуждениями ядра.Происхождение коэффициента / можно связать с приведённой массойдвижения нейтронов относительно протонов.Задача 7.11Оператор плотности вероятности для системы из многих одинаковыхчастиц может быть введён как обобщение уравнения (7.70)∑︁^(r) =(r − ^r ).(7.144)Определите Фурье-компоненту оператора плотности∫︁∑︁^k = 3 −(k·r) ^(r) =−(k·^r ) .(7.145)Выведите энергетически-взвешенное правило сумм для оператора ^k .Решение.В этом случае мы снова получаем универсальное правило сумм, независящее от выбора состояния |⟩: [k ] =~2 2.2(7.146)7.10 Законы сохранения243В длинноволновом пределе, ≪ 1, это равносильно дипольному правилусумм (7.138).7.10 Законы сохраненияОператоры, которые не несут явной зависимости от времени и коммутируют с гамильтонианом, сохраняются:^ ]^ = 0,[,~^= 0.(7.147)Для операторов, которые имеют классические аналоги, законы сохранениясовпадают с классическими и имеют те же физические основания.
Так,^ = (^^ сохраняется:в случае свободного движения, p), импульс p^ = 0.ṗ(7.148)В любой замкнутой системе гамильтониан не содержит явной зависимостиот времени и^˙ = 0,(7.149)что является утверждением о сохранении энергии.Задача 7.12Для частицы в потенциальном поле (r) найдите уравнение движениядля орбитального момента (4.34) и условия сохранения орбитального момента.Решение.Уравнение движения с использованием коммутаторов (4.30) и (4.33)имеет вид^11˙^ .^ ] = − ^ = ℓ^ = [ℓ^ , ]^ [^ , ^= [^r × F]~~^(7.150)Как и в классической механике, изменение орбитального момента требуетналичия момента сил^ = [^^Tr × F].(7.151)244Глава 7 Квантовая динамика^При выводе уравнения (7.150) коммутатор ⃗ℓ с изотропной кинетическойэнергией исчезает.
Таким же образом коммутатор (7.150) обращается в нуль.^ = ^ (), сила направлена поКогда потенциал является изотропным, радиусу и вращательный момент отсутствует. В общем случае орбитальныймомент коммутирует с любой скалярной функцией координат и импульсов.Во всех приведённых выше примерах основную роль в сохранении играет симметрия. Три основных классических закона сохранения — энергии,импульса и момента импульса — следуют из симметрии системы, её инвариантности относительно определённых глобальных преобразований.
Этитри сохраняющиеся величины являются генераторами непрерывных преобразований, оставляющих систему (точнее её гамильтониан) инвариантным.Гамильтониан является генератором динамики, эволюции во времени (раздел 7.1), импульс — генератором пространственных сдвигов (раздел 4.5),а угловой момент — генератором вращения (раздел 4.7). Соответствующие законы сохранения имеют место для замкнутой системы, постоянногопотенциала и инвариантного относительно вращений потенциала. Такимобразом, все три преобразования — это преобразования симметрии, поэтомуих генераторы сохраняется.^ — унитарное преобразование, оставляющее гаВ общем случае пусть мильтониан инвариантным.
В соответствии с разделом 6.9 инвариантностьможно записать в виде^′ = ^^^ −1 = ,^(7.152)^:т. е. гамильтониан коммутирует с оператором преобразования ^^ =^^.(7.153)Для непрерывного преобразования, как в указанных трёх основных слу^ p^ ичаях, генератор преобразования ^ (см. (6.113)) эрмитов и равен ,^⃗ℓ соответственно. Следовательно, из [^ , ]^ = 0 следует сохранение вели^ . Для дискретныхчины, соответствующей генератору преобразования преобразований генераторы не существуют и само преобразование даётинтеграл движения. В следующей главе мы увидим примеры дискретныхсимметрий и соответствующие законы сохранения.Стоит отметить, что закон сохранения не означает, что соответствующаявеличина имеет определённое значение.
Средние значения таких величин действительно не зависят от времени, хотя состояние все ещё можетбыть суперпозицией различных собственных функций сохраняющегося7.10 Законы сохранения245оператора. Подобно рассматривавшейся выше производной по времени от^ ]^ междуоператора (7.108) матричный элемент любого коммутатора [,стационарными состояниями равен^ ]|⟩^^⟨|[,= ( − )⟨||⟩.(7.154)^ ]^ = 0, мы приходим к правилу отбора:Для сохраняющейся величины, [,ненулевые матричные элементы могут существовать только на поверхности энергии между состояниями с той же энергией, = . Однако,если собственное значение энергии вырождено, имеется несколько такихсостояний. При их классификации (см.
раздел 6.13) с помощью квантовых^ которая не коммутирует с ,^ эти состояния нечисел другой величины ,^имеют определённого значения , несмотря на закон сохранения. Сохранение всё же имеет место, так как любой матричный элемент оператора^ в соответствии с уравнением (7.9), не зависит от времени, поскольку,разрешённые для ^ частоты переходов исчезают,∑︁(1)^ 1 ()⟩ =⟨Ψ2 ()||Ψ(2)*(7.155) .В общем случае матричные элементы оператора между двумя стационарными состояниями с различными энергиями имеют чисто гармоническиезависимости от времени, соответствующие частоте перехода между этимисостояниями:^ ()⟩ = ⟨−(/~) ′ ||^ −(/~) ⟩ = −(/~)(− ′ ) ⟨||⟩.^⟨Ψ ′ ()||Ψ(7.156)Типичным примером являются компоненты ℓ^ углового момента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
