1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В нерелятиразличного упорядочения некоммутирующих операторов ^r и pвистской квантовой механике мы допускаем, что одночастичный гамильто^ r, p^ ) частицы с массой в потенциальном поле (r) может бытьниан (^взят из классической механики с операторной подстановкой (7.17)^ =^ +^,(7.24)где нерелятивистская кинетическая энергия даётся^2^ = p2(7.25)или в координатном представлении (7.17)2^ = − ~ ∇2 .2(7.26)Собственные функции оператора кинетической энергии являются плоскимиволнами; если энергия зависит только от абсолютной величины импульса p,7.2 Одночастичный гамильтониан217p'–pp=p+pp'Рис. 7.1: Диаграммы эволюции волновой функции в импульсном представлениикаждое ненулевое собственное значение энергии бесконечно вырождено,так как все направления p эквивалентны.В присутствии потенциала плоские волны перестают быть собственными^ = (^r) в коорфункциями гамильтониана. Потенциальная энергия динатном представлении является просто классической функцией (r).Таким образом, мы можем сформулировать квантовую задачу для частицыво внешнем потенциальном поле как уравнение в частных производных{︂}︂Ψ(r, )~2 2~= −∇ + (r) Ψ(r, ).(7.27)2В уравнении (7.27) потенциал в общем случае может также зависетьот времени.
Для постоянных потенциалов мы можем искать стационарныесостояния с чисто монохроматической зависимостью от времени, котораяхарактеризуется энергией (см. уравнение (7.2)). Соответствующее стационарное уравнение Шрёдингера (7.3) для координатной волновой функции(r),Ψ(r, ) = (r)−(/~) ,(r) = ⟨r|⟩,имеет вид{︂}︂~2 2−∇ + (r) (r) = (r).2(7.28)(7.29)При заранее не известном энергетическом спектре уравнение (7.29) являетсязадачей на собственные значения.Задача 7.2218Глава 7 Квантовая динамикаВыведите одночастичное уравнение Шрёдингера для волновой функцииΦ(p, ) (уравнение (4.4)) в импульсном представлении,∫︁Φ(p, ) = 3 −(/~)(p·r) Ψ(r, ),∫︁(7.30)3 (/~)(p·r)Ψ(r, ) =Φ(p, ).(2~)3Решение.Так как функция (r) в общем случае задаётся с помощью бесконечногооператорного ряда (~∇ ), мы приходим к интегральному уравнению:~Φ(p, )p2=Φ(p, ) +2∫︁3 ′p′ −p Φ(p′ , ),(2~)3где Фурье-компонента потенциальной энергии определяется как∫︁p = 3 −(/~)(p·r) (r).(7.31)(7.32)Мы можем интерпретировать интегральный член в уравнении (7.31) какописание процесса на рис.
7.1, где частица передаёт импульс p′ − p источнику внешнего потенциала, преобразуя Φ(p′ ) в Φ(p); при этом учитываютсявсе возможности.Простейшие квантовые задачи, обсуждавшиеся в главах 3 и 4, былисвязаны с кусочно-постоянными потенциалами. В области, где (r) = 0является константой, стационарное уравнение (7.29) приобретает вид−~2 2∇ (r) = ( − 0 )(r)2(7.33)и общее решения при заданной энергии является произвольной суперпозицией плоских волн с различными волновыми векторами k, но с одной итой же энергией(r) =∑︁kk (k·r) ,~2 k2= − 0 .2(7.34)Это позволило нам решить многие задачи без фактического решения уравнений, но с использованием понятия квантовых волн.
Коэффициентысуперпозиции (7.34) могут быть найдены в соответствии с конкретными7.2 Одночастичный гамильтониан219особенностями задачи. На границах различных частей потенциала решениясшиваются для того, чтобы сохранять энергию фиксированной. Сшиваниефункции и её первой производной обусловлено требованием к уравнениюШрёдингера, которое должно выполняться всюду, в том числе и в точкахразрыва потенциала. Вторая производная волновой функции, в соответствии с уравнением, имеет те же скачки, что и потенциал.
Уравнениедля гладкого потенциала может быть «выведено» путём деления областидвижения на очень мелкие фрагменты и аппроксимации потенциала константой внутри каждой части, как мы это делали для того, чтобы получитьвероятности туннельных переходов (см. раздел 2.7).Задача 7.3а) Моделью некоторых молекул может быть плоский ротатор — система содной степенью свободы (азимутальным углом ), которая описываетсягамильтонианом вращения, где повороты порождаются оператором ℓ^ —проекции углового момента на ось вращения,2 ^2^ = ~ ℓ .2(7.35)Здесь — момент инерции. Найдите нормированные собственные функции плоского ротатора, собственные значения энергии и их вырождение.Из вырожденных собственных функций постройте их комбинации, имеющие определённую чётность при отражениях в плоскости относительнооси .б) Рассмотрите состояние ротатора с угловой волновой функцией() = cos , целое > 0.(7.36)Найдите распределение вероятностей проекции = ℓ и энергии, атакже средние значения этих величин.Решение.а) Собственные функции ротатора принадлежат оператору ℓ^ (см.
уравнение (4.72)). Собственные значения энергии выражаются через собственные значения оператора ℓ^ : =~2 2.2(7.37)Все энергии с || ̸= 0 дважды вырождены, не вырождено только основное состояние = 0, 0 =0. Отражение относительно оси изме-220Глава 7 Квантовая динамиканяет угол → −. Функциями с определённой -чётностью являютсяcos() с положительной -чётностью и sin() с отрицательной -чётностью. Так как переход от исходного набора (4.72) происходит внутривырожденного множества функций, эти функции также представляютстационарные состояния, но в данном случае эти суперпозиции являются стоячими волнами. Как мы увидим в главе 8, новые состоянияинвариантны относительно обращения времени, в то время как исходныесостояния соответствуют бегущим (циркулирующим) волнам с определённым направлением вращения; при обращении времени они переходятдруг в друга.б) С помощью биномиальной формулы разложим нашу функцию в рядФурье:(︂ )︂)︀ (︀ + −= 1 + −2 =() = 22(7.38) ∑︁!= −2 .2!( − )!=0Это не что иное, как разложение по полному набору (4.72),√ 2 ∑︁!() =−2 ().2!( − )!(7.39)=0Можно нормировать нашу функцию, вычислив таким же методом ||2 :2∫︁21 = || cos02||2 = 22∫︁2 2 (1 + −2 )2 .(7.40)0Опять же с помощью биномиального разложения получаем∫︁ 22||2 ∑︁(2)!1 = 2 2(−) .2!(2 − )! 0(7.41)=0Из ортонормированности () следует, что в сумме остаётся толькочлен = , и1 = ||22 (2)!2(2 − 1)!!= ||2.222 (!)2 !(7.42)7.2 Одночастичный гамильтониан221Из (7.39) получаем, что волновая функция даёт ненулевые вероятностивсех проекций орбитального момента = − 2 с и , пробегающимизначения от = , где = −, до = 0, и = .
Таким образом,допустимые значения равны, в соответствии с чётностью состояния, = −, − + 2, ..., − 2, .(7.43)Сделав замену = ( − )/2 и взяв нормировочную константу из (7.42),получаем распределение вероятности}︂2!=[( + )/2]![( − )/2]!{︂}︂2!!= .2 (2 − 1)!! [( + )/2]![( − )/2]!||2 2 () =22{︂(7.44)Из-за симметрии относительно знака (на самом деле симметрииотносительно обращения времени) получаем⟨ℓ^ ⟩ = 0;(7.45)это можно было бы понять без расчётов, поскольку волновая функцияявляется вещественной.Чтобы найти распределение по энергии, мы должны принять во внимание, что состояния и − вырождены.
Таким образом, вероятностьнахождения энергии при ̸= 0 равна () = () + (−) = 2 (),(7.46)где мы должны учитывать только положительные с той же чётностью,что . Для нулевой проекции, которая возможна только при чётном , (0) = (0).(7.47)Среднее значение энергии может быть найдено многими способами,например, с помощью прямого вычисления∫︁ 2^⟨⟩ = * ()().(7.48)0222Глава 7 Квантовая динамикаЗдесь мы должны использовать2cos = [( − 1) − 2 cos2 ] cos−2 .2(7.49)Тогда (7.48) принимает вид⟨⟩ =~2 ||22∫︁2 [2 cos2 − ( − 1) cos2−2 ].(7.50)0Простой расчёт в соответствии с изложенным выше со значением ||2из (7.42) приводит к⟨⟩ =~2 2.2 2 − 1(7.51)Конечно, значение = 0 допускает только = 0 и = 0.7.3 Уравнение непрерывностиПлотность вероятности (2.5) нахождения частицы вблизи точки rменяется со временем.
Эта эволюция определяется уравнением Шрёдингера(7.23), наряду с комплексно сопряженным уравнением,−~Ψ*^ * Ψ* .=(7.52)Из этих двух уравнений получаем}︁1 {︁ * ^^ * Ψ* )Ψ ;= (Ψ* Ψ) =Ψ (Ψ) − (~(7.53)данный результат не зависит от представления, которое мы используем.Плотность вероятности может измениться только тогда, когда либо волновая функция имеет нетривиальную (зависящую от переменных) комплексную фазу, либо гамильтониан представляет собой комплексную функцию,или имеют место обе эти причины.Гамильтониан может быть комплексным, но оставаться эрмитовым. Напомним, что эрмитов оператор импульса (7.17) является мнимым в координатном представлении.
Иногда бывает удобно описывать ситуациюс помощью искусственно введёного комплексного потенциала = + .Мнимая часть добавляет новый член (2/~) Im( ) ≡ −Γ в производную7.3 Уравнение непрерывности223плотности вероятности по времени (7.53). Если Im( ) < 0, то плотностьспадает экспоненциально ∼ exp(−Γ) со временем (см.
раздел 5.8). Такимметодом можно описывать распад системы или её связи с другими частями, которые не учитываются явно. Случай Im( ) > 0 соответствуетприсутствию источника частиц.Для одночастичного гамильтониана (7.24) с вещественным потенциаломтолько член кинетической энергии вносит вклад в эволюцию во времени (7.53), следовательно}︁{︁}︁~ {︁ * 2~=−Ψ (∇ Ψ)−(∇2 Ψ* )Ψ = −∇· Ψ* (∇Ψ)−(∇Ψ* )Ψ . (7.54)22Это уравнение непрерывности (2.11) с конкретным видом тока вероятности}︁~ {︁ *Ψ (∇Ψ) − (∇Ψ* )Ψ .(7.55)j=2Как уже говорилось в разделе 2.2, уравнение непрерывности описываетсохранение полной вероятности (и нормировки волновой функции) (2.12).Для плоской волны, Ψ = (k·r) , ток (7.55) сводится к старому выраже^ = −~∇, мы можем такжению (2.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
