1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Используя оператор импульса pзаписать ток (7.55) в виде{︁ (︁ p^ )︁}︁j = Re Ψ*Ψ ,(7.56)который напоминает гидродинамический смысл тока (2.8).Задача 7.4Частица движется во внешнем эрмитовом, но нелокальном потенциале^ , который определяется ядром (r, r′ ) согласно∫︁^ Ψ(r) = 3 ′ (r, r′ )Ψ(r′ ).(7.57)Является ли уравнение непрерывности справедливым и в этом случае?Сохраняется ли во времени нормировка волновой функции?Решение.^ =^ + ^ с обычным оператором кинетиИспользуя гамильтониан ^ и с потенциальной энергией ^ (7.57), мы приходим кческой энергии 224Глава 7 Квантовая динамикааналогу уравнения непрерывности,{︂∫︁(r, )*Ψ (r, ) 3 ′ (r, r′ )Ψ(r′ , )−+ div j(r, ) = −~}︂∫︁−Ψ(r, ) 3 ′ * (r, r′ )Ψ* (r′ , ) ,(7.58)со стандартными определениями и j.
Обычное локальное уравнение непрерывности не выполняется: плотность вероятности может изменяться нетолько за счёт локального тока, но также и за счёт действия на расстоянии^ . Однако из-за эрмитовости потенциала (r, r′ ) = * (r′ , r),через поле полная вероятность (нормировка) сохраняется:∫︁3 (r, ) = const.(7.59)Гидродинамическая аналогия тока может быть продолжена. Комплексная функция Ψ может быть записана через две вещественные функции:амплитуду (r, ), равную квадратному корню из плотности , и фазу(r, ),Ψ=√ (/~) .(7.60)Вычислив ток в соответствии с уравнением (7.55), получаемj=∇,(7.61)т. е. величина ∇/ играет роль скорости, связанной с волновой функцией,не только для плоской волны, но и для произвольного состояния.
Опять жемы видим, что наличие нетривиальной фазы необходимо для существованиятока вероятности.Подставляя выражение (7.60) в уравнение Шрёдингера и выделяя действительную и мнимую части, можно получить два связанных уравнения√для фазы и амплитуды = . Уравнение для мнимой части совпадает с уравнением непрерывности (2.11). Действительная часть сводитсяк выражению[︁ (∇)2~2 ∇2 ]︁=−+ −.22 (7.62)7.3 Уравнение непрерывности12252overlapРис.
7.2: Иллюстрация к задаче 7.5В пределе ~ → 0 (7.62) переходит в классическое уравнение ГамильтонаЯкоби:⇒−,p ⇒ ∇,(7.63)где фаза волновой функции совпадает с классическим действием вдольтраектории [13, §47]. Различные классические траектории, как лучи в геометрической оптике, ортогональны к поверхности = const.В каждой точке лучи имеют направление, определяемое градиентом ,который действительно играет роль скорости (7.61). Уравнение (7.62) длядействия, в отличие от классической механики, не замкнуто из-за присутствия самосогласованного квантового «потенциала» −(~2 /2)(∇2 /),который зависит от амплитуды волнового пакета.
Этот член отвечает за специфические свойства движения квантовой «жидкости», включая квантовуюнеопределённость, расплывание и т. д. (интерпретация квантовой механикиД. Бома [27]).Задача 7.5Два куска металла расположены так близко друг к другу, что хвостыэлектронных волновых функций перекрываются (см.
рис. 7.2). Предполагая,что эти волновые функции вблизи внутренней поверхности = 0 имеютвид1 () = ()и 2 () = () ,(7.64)где () и () — вещественные функции, а и являются постоянными,но различными фазами, найти электрический ток через такой контакт. Дляконкретного случая() = − ,() = ,(7.65)226Глава 7 Квантовая динамикагде , и — вещественные константы ( > 0), найдите максимальновозможный ток через этот переход.Решение.В области перекрытия волновая функция представляет собой суперпозицию() = 1 () + 2 ().(7.66)При этом электрический ток является током вероятности (7.55), умноженным на величину заряда электрона .
После простых алгебраическихпреобразований мы находим (штрих означает производную по ) =~(′ − ′ ) sin( − ).(7.67)Такой ток через туннельный переход наблюдается в сверхпроводниках,разделённых тонким слоем вакуума или изолятора (эффект Джозефсона, раздел 14.5).
Ток является сверхпроводящим, не требуя напряжения,приложенного к переходу. Движущей силой является разность фаз − ;в равновесии фазы равны и ток исчезает. (В сверхпроводниках ток переносится коррелированными электронными парами, → 2.) При данномвиде (7.65) хвостов волновых функций, = −2~sin( − ),(7.68)ток является постоянным внутри перехода. Максимальная плотность токадостигается при разности фаз | − | = /2,| | =2~.(7.69)Общий ток может быть получен путём умножения плотности тока на площадь контакта.Плотность вероятности и ток вероятности можно рассматривать каксредние значения соответствующих операторов,^(r) = (^x − r),(7.70)^j(r) = 1 [^p, (^x − r)]+ ,2(7.71)7.4 Распределение Вигнера227где антикоммутатор был определён в (6.68) и r — координата точки на^ является квантовым оператором координаты.блюдения, в то время как xЭтот вид операторов тривиально обобщается на систему многих частиц(см.
задачу 7.11).7.4 Распределение ВигнераВ классической механике и в особенности в классической кинетическойтеории очень полезным понятием является функция распределения (r, p, )в шестимерном фазовом пространстве. Будучи нормированной на полноечисло частиц∫︁3 3 (r, p, ) = ,(7.72)эта функция содержит информацию о распределении частиц как по координате, так и по импульсу. Интеграл по импульсам даёт пространственнуюплотность∫︁3 (r, p, ) = (r),(7.73)в то время как интеграл по координатам определяет импульсное распределение,∫︁3 (r, p, ) = p .(7.74)Можно построить так называемое распределение Вигнера, которое играетв квантовой механике такую же роль, как и функция распределения в фазовом пространстве в классической механике.
Начнём с матрицы плотностиодной частицы в пространстве координат (r1 , r2 ) = Ψ(r1 )Ψ* (r2 ),(7.75)где зависимость от времени не указана в явном виде (обе функции в уравнении (7.75) берутся в одно и то же время). Введём координаты системыцентра масс двух точек в (7.75) и их относительное расстояние,R=r1 + r2,2r = r1 − r2 .(7.76)228Глава 7 Квантовая динамикаРаспределение Вигнера (R, p) — это преобразование Фурье матрицыплотности (7.75) по отношению к относительной координате r,∫︁(︁r )︁ * (︁r )︁ (R, p) = 3 −(/~)(p·r) Ψ R +Ψ R−.(7.77)22Проверим интегральные свойства (R, p). Интеграл по p приводитк (r), тогда волновые функции берутся в одной точке, представляя, такимобразом, пространственную плотность.∫︁3 (R, p) = |Ψ(R)|2 ≡ (R).(7.78)(2~)3Наоборот, интегрируя по координатам, мы можем выразить волновыефункции Ψ и Ψ* через их импульсные аналоги,∫︁∫︁∫︁3 (R, p) = 3 3 −(/~)(p·r) ×∫︁3 ′ (/~)p′ ·(R+r/2)×Φ(p′ )×(7.79)(2~)3∫︁3 ′′ −(/~)p′′ ·(R−r/2) * ′′×Φ (p ).(2~)3Выполняя интегрирование по R и r и используя возникающие дельтафункции, получаем∫︁3 (R, p) = |Φ(p)|2 ≡ p .(7.80)Действительно, эти свойства распределения Вигнера аналогичны свойствамклассической функции распределения (7.73), (7.74).Принципиальная разница состоит в том, что классическая функция (r, p, ) всегда положительна, и поэтому её можно интерпретировать какплотность вероятности в фазовом пространстве.
Определение (7.77) показывает, что распределение Вигнера является вещественной функцией, (R, p)* = (R, p). Однако невозможно гарантировать, что функцияВигнера будет положительной. Нарушение положительности происходиткак раз из-за квантовой интерференции.Задача 7.67.5 Картина Гейзенберга229Покажите, что для суперпозиции двух плоских волн,Ψ(r) = (k·r) + (q·r) ,(7.81)сk≠ q распределение Вигнера содержит осциллирующие слагаемые, которые пропорциональны (p − (~/2)(k + q)) cos((k − q) · R) (при условии,что и вещественны).7.5 Картина ГейзенбергаВ предыдущей формулировке мы рассмотрели эволюцию вектора со^ согласно уравстояния |Ψ()⟩, которая управляется гамильтонианом нению (7.4).
Временна́я зависимость матричных элементов оператора ^давалась с помощью уравнения (7.9). Этот язык квантовой динамикиопределяет картину Шрёдингера. Существуют альтернативные способыпредставления динамики. В картине Гейзенберга вектор состояния фиксирован таким, каким он был в исходном состоянии, а операторы изменяютсясо временем.
Физические результаты идентичны в обеих картинах, хотяво многих приложениях картина Гейзенберга более похожа на классическую.Произвольный матричный элемент (7.9) может быть выражен в терминах^ () (см. уравнение (7.11)) начальных векторовунитарного преобразования состояния,^ 1 ()⟩ = ⟨^ Ψ2 (0)||^^ Ψ1 (0)⟩ = ⟨Ψ2 (0)|^ † ^^ |Ψ1 (0)⟩.⟨Ψ2 ()||Ψ(7.82)Это преобразование является ещё одним примером преобразования базиса(см. раздел 6.9), когда в новом базисе (в нашем случае взятом при = 0)новые операторы имеют те же самые матричные элементы. Преобразованные операторы зависят от времени, даже когда исходные от него не зависят.Мы будем называть их Гейзенберговскими операторами,^ ^ −(/~)^^ † ^^ =^ −1 ^^ = (/~)^ () = .(7.83)Теперь динамику можно описать по-другому.
Вектор состояния (в картинеГейзенберга) зафиксирован в исходной ситуации (циферблат часов), вто время как операторы (измерительные инструменты) движутся (какстрелки часов). Результат измерения точно такой же, как и в картинеШрёдингера, когда циферблат часов перемещается против часовой стрелки,а сами стрелки неподвижны. Отметим, что гамильтониан коммутирует230Глава 7 Квантовая динамика^ и поэтому не изменяется,с оператором эволюции ^ () = .^(7.84)Определение (7.83) позволяет вывести уравнение движения для операторов Гейзенберга прямым дифференцированием,{︃}︃^^†^ −^ ^ + ~^ ^.~=+ ^(7.85)Здесь среднее слагаемое учитывает возможную явную зависимость от вре^ Таким образом, уравнение движения операмени исходного оператора .тора выражается через коммутатор этого оператора с гамильтонианомсистемы,^^ ]^ + ~~= [,(︂)︂.(7.86)^ ]^ , вычисляется непосредственно сКоммутатор с гамильтонианом, [,операторами Шрёдингера, а затем обкладывается операторами эволюции.При вычислении полезно иметь в виду, что для любой пары операторов ^^и^ ] = [^ −1 ^^, ^ −1 ^^] = ^ −1 [,^ ]^^ = [,^ ]^ ,[^ , (7.87)т.
е. коммутаторы всегда могут быть вычислены с операторами Шрёдингера и только затем преобразованы, что является следствием унитарности^.оператора преобразования 7.6 Операторная динамикаВ качестве важного примера рассмотрим стандартный гамильтониан (7.24)частицы массы в потенциальном поле (r):^2^ = p+ (^r).2(7.88)7.6 Операторная динамика231Уравнения движения операторов (7.86) могут быть легко получены с помощью простых методов раздела 4.3:^^ṙ = p,(7.89)^ ≡ −∇ (^r );^ = Fṗ(7.90)эти операторы не содержат явной зависимости от времени. Уравнения(7.89) и (7.90) имеют точно такой же вид, что и уравнения движениядля динамических переменных классической механики.Более того, в классической механике существует формализм, полностьюаналогичный нашим коммутаторам [13, §42].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
