1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Правильное математическое выражение принципа суперпозиции можно найти с помощью6.2 Суперпозиция и интерференция171простого примера (см. рисунок 6.2). Пусть свет поляризован в направленииA, в то время как мы интересуемся интенсивностью света, прошедшегочерез анализатор B. Согласно известному оптическому закону (или, можносказать, «в соответствии с экспериментом») эта интенсивность равна (; ) = cos2 ( + ).(6.7)Но, согласно принципу суперпозиции падающий пучок может быть представлен в виде комбинации волн, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных базисных направлениях C1 и C2 .

Анализаторы, соответствующиеэтим двум направлениям, будут пропускать интенсивности (1 ; ) = cos2 и (2 ; ) = cos2 ( + /2) = sin2 .(6.8)Для этих возможностей доли интенсивности, прошедшей через финальныйанализатор B, равны (; 1 ) = cos2 и (; 2 ) = cos2 (/2 − ) = sin2 .(6.9)Мы опять видим, что соотношение (6.3) противоречит уравнениям (6.7)–(6.9). Правильный результат (6.7) получается, если ввести амплитуды (6.2)с соответствующими относительными фазами⟨1 |⟩ = cos ,⟨2 |⟩ = cos( + /2) = − sin ,(6.10)⟨|1 ⟩ = cos ,⟨|2 ⟩ = cos(/2 − ) = sin .(6.11)Тогда⟨|1 ⟩ ⟨1 |⟩ + ⟨|2 ⟩ ⟨2 |⟩ = cos cos − sin sin == cos( + ) = ⟨|⟩.(6.12)Мы видим, что амплитуды вероятности с их относительными фазами, ане сами вероятности должны быть скомбинированы определенным образом, чтобы дать правильную интерференционную картину. Следовательно,вместо классического правила (6.3) принцип суперпозиции может бытьзаписан в виде∑︁⟨|⟩ =⟨|⟩ ⟨|⟩(6.13)172Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыили в более полной форме и для непрерывного спектра:∫︁⟨, |, 0 ⟩ = ⟨, |, ′ ⟩ ⟨, ′ |, 0 ⟩.(6.14)Здесь ′ — произвольный промежуточный момент времени (без интегрирования по ′ ).

Для получения вероятности (; ) берём квадрат суммы (6.13).Это даёт парциальные вероятности каждого пути вместе с интерференционными членами между путями. Классический рецепт (6.3) восстанавливается,если есть множество промежуточных состояний с хаотическими фазамиамплитуд. Тогда будет иметь место значительное сокращение перекрёстныхчленов, в пределе останутся только квадраты отдельных амплитуд, и мывозвратимся к классическому сложению вероятностей (6.3). Таким образом,классическая теория восстанавливается в результате полного разрушениянекогерентности квантовых амплитуд.6.3 Векторы состоянияИзучая то же состояние Ψ , можно интересоваться результатом измерения набора динамических переменных, который отличается от (например, ).

Это приводит к амплитуде < | > того же состояния в -представлении. Если принцип суперпозиции (6.13) универсален, то,используя новое представление, но тот же базисный набор промежуточныхсостояний , получим∑︁⟨|⟩ =⟨|⟩ ⟨|⟩.(6.15)Мы заключаем, что независимо от представления имеет место равенство∑︁⟨. . . |⟩ =⟨. . . |⟩ ⟨|⟩,(6.16)где вместо многоточий можно подставить характеристики любого используемого представления. Последнее выражение похоже на разложение вектораa в некотором -мерном векторном пространстве по базису {c }:∑︁a=c (c · a).(6.17)6.3 Векторы состояния173Выбор представления , , .

. . подобен проектированию вектора a на фиксированный вектор b, d, . . . по аналогии с уравнениями (6.13) и (6.15):∑︁(b · a) =(b · c )(c · a).(6.18)Различные представления служат в роли различных систем координат илиразличных точек зрения на одно и то же состояние . «Промежуточныесостояния» — это на самом деле состояния той же системы, используемыев качестве базисных векторов.

Исходное состояние представлено в (6.16)в виде линейной комбинации этих базисных векторов (принцип суперпозиции), и амплитуда каждой компоненты, присутствующей в суперпозиции,задаётся проекцией исходного вектора на соответствующий базисный вектор (сравните с рис. 6.2).Итак, каждому состоянию квантовой системы мы можем сопоставить вектор состояния, обозначаемый как |⟩ в абстрактном векторномпространстве, которое включает все возможные состояния системы.

Этомногообразие называется гильбертовым пространством. Компонентамивектора |⟩ являются амплитуды вероятности ⟨1 |⟩, ⟨2 |⟩, · · · для всехвозможных результатов измерения переменных (-представление)или в другой системе координат амплитуды вероятности ⟨1 |⟩, ⟨2 |⟩, · · ·(-представление). Существуют полные наборы состояний промежуточныхвекторов |⟩, которые могут быть использованы в качестве базиса, и принцип суперпозиции (6.16), по существу, является утверждением полнотынабора, что и позволяет нам использовать этот набор как базис∑︁|⟩ =|⟩ ⟨|⟩(6.19)аналогично обычным векторам (6.17).Амплитуда вероятности нахождения в состоянии |⟩ частицы в точкеr в момент времени — это просто наша прежняя волновая функция вкоординатном представлении Ψ (r, ). На новом языке это «координатная»компонента вектора состояния |⟩:Ψ (r, ) = ⟨r, |⟩.(6.20)Точно так же «импульсная» компонента того же вектора состояния — этоволновая функция Φ (p, ) в импульсном представлении,Φ (p, ) = ⟨p, |⟩.(6.21)174Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыМногие из наших предыдущих результатов можно переписать в терминахсоотношений между векторами состояния.

Например, уравнение эволюции во времени (3.38) состояния Ψ(, ) — это то же самое, что принципсуперпозиции (6.14) в координатном представлении, где промежуточныесостояния берутся также в координатном представлении,∫︁⟨, |Ψ⟩ = ′ ⟨, |′ , ′ ⟩⟨′ , ′ |Ψ⟩.(6.22)Пропагатором в этих обозначениях записывается как(, ; ′ ′ ) ≡ ⟨, |′ , ′ ⟩.(6.23)Гильбертово пространство является комплексным, поскольку, как правило,амплитуды комплексны.

Число независимых компонент ⟨|⟩ может бытьконечным или бесконечным в зависимости от спектра соответствующихдинамических переменных.6.4 Геометрия гильбертового пространства⋆Сравнение принципа суперпозиции (6.19) с разложением по базису обычного вектора (6.17) показывает, что амплитуды вероятности ⟨|⟩ — этопроекции вектора |⟩ на другой вектор |⟩ (в данном случае принадлежащий выбранному базису).

В более математической терминологии этиамплитуды являются внутренними (скалярными) произведениями изучаемого вектора |⟩ и вектора |⟩, используемого для идентификации одногоиз возможных путей эволюции исходного состояния. В реальном векторномпространстве это действительно «нормальное» скалярное произведение(c · a) = (a · c ) (см.

уравнение (6.17)). В квантовой механике, однако,амплитуды являются комплексными. Вероятность |⟨|⟩|2 есть перекрытие этих двух векторов состояния, и, таким образом, она должна бытьравна вероятности обратного эксперимента |⟨|⟩|2 , где мы начинаем ссостояния, зафиксированного как |⟩, и измеряем его характеристики спомощью переменных в -представлении. Соответствующие амплитудымогут отличаться фазами, и предполагается, что они являются комплексносопряжёнными. Как мы увидим в ближайшее время, это согласуется стем, что мы уже использовали в конкретных примерах в координатноми импульсном представлениях.

Во всех случаях комплексное сопряжениеотражает обратное развитие событий и, следовательно, имеет отношение кпреобразованию обращения времени (см. раздел 8.1).6.4 Геометрия гильбертового пространства⋆175Скалярное произведение двух векторов в гильбертовом пространстве(Ψ , Ψ ) ≡ ⟨|⟩,(6.24)где мы показали два эквивалентных обозначения, может быть определенодля каждой упорядоченной пары |⟩ и |⟩ как функционал, для которогосправедливы следующие правила:(i) условие взаимности:(Ψ |Ψ ) = (Ψ , Ψ )* ;(6.25)(ii) линейность по отношению ко второму аргументу:(Ψ , Ψ + ′ Ψ′ ) = (Ψ , Ψ ) + ′ (Ψ , Ψ′ ),(6.26)где мы использовали суперпозицию состояний |⟩ и |′ ⟩ с произвольнымикомплексными коэффициентами и ′ , и(iii) положительная определённость скалярных квадратов (норм) всехвекторов |Ψ⟩ (все квадраты (Ψ, Ψ) вещественны, как следует из (6.25)),(Ψ, Ψ) > 0,(6.27)где равенство (Ψ, Ψ) = 0 имеет место лишь для нулевого вектора, который имеет все компоненты (скалярные произведения с любым базиснымвектором и, таким образом, с любым другим вектором) равными нулю.Как следует из условий (i) и (ii), скалярное произведение антилинейнопо отношению к первому вектору,(︁)︁*(Ψ , Ψ ) = (Ψ , Ψ )* = (Ψ , Ψ ) = * (Ψ , Ψ ).(6.28)Скалярное произведение (6.24), по предложению П.

Дирака, называетсябракет, где левый вектор — это бра-вектор, а правый — кет-вектор.Фактически мы уже использовали конкретные реализации этого определения. В пространстве функций Ψ, квадратично интегрируемых в областиих определения Γ, амплитуды вероятности (см. (3.14) и (3.31)) выражаютсячерез интегралы с соответствующим элементом объёма ,∫︁(Ψ′ , Ψ) = Ψ′* Ψ.(6.29)Γ176Глава 6 Гильбертовo пространствo и операторыВ случае конечной размерности вектор |Ψ⟩ может быть представленв виде столбца, построенного из проекций (сравните с (6.17)),⎛⎞1⎜ 2 ⎟⎟Ψ=⎜(6.30)⎝ . .

. ⎠ , = (Ψ , Ψ), = 1, . . . , .В своём собственном представлении базисные векторы Ψ — это столбцыс только одной, -ой, ненулевой компонентой (равной 1). Тогда бра-векторпредставляет строку с комплексно-сопряжёнными компонентами, и мыбудем также использовать сопряжённый вектор(︁)︁Ψ† = *1 , *2 , . . .

, * ,(6.31)так что скалярное произведение, использовавшееся в (6.30), определяетсякак⟨Ψ |Ψ ⟩ = Ψ† Ψ =∑︁* .(6.32)=1Мы предположили здесь, что базисные векторы ортонормированы,Ψ† ′ Ψ = ′ ,(6.33)хотя обобщение на случай неортогональных (но линейно-независимых)базисных векторов тривиально. Скалярное произведение (6.32) являетсячастным случаем умножения матриц (строка × столбец). Легко видеть,что в обоих случаях (6.29) и (6.32) все аксиомы скалярного произведениявыполняются.√︀Если нормы |Ψ| ≡(Ψ, Ψ) интерпретируются как длины векторов,можно дополнить гильбертово пространство понятием расстояния:√︀|Ψ − Ψ′ | = (Ψ − Ψ′ , Ψ − Ψ′ )(6.34)и доказать все теоремы евклидовой геометрии для многомерных комплексных векторов.

После этого можно рассматривать последовательности векторов, ввести понятия пределов, сходимости и т. д.Задача 6.26.4 Геометрия гильбертового пространства⋆177Докажите, что неравенство треугольника,|Ψ − Ψ′ | 6 |Ψ − Ψ′′ | + |Ψ′′ − Ψ′ |,(6.35)справедливо для любых трёх векторов Ψ, Ψ′ и Ψ′′ .Отождествляя амплитуды вероятности со скалярными произведениями соответствующих векторов в гильбертовом пространстве квантовыхсостояний системы, мы можем переписать принцип суперпозиции (6.13)в виде∑︁(Ψ , Ψ ) = ⟨|⟩ =(Ψ , Ψ )* (Ψ , Ψ )(6.36)в полной аналогии с уравнениями (6.18) и (6.32). Например, возьмём в качестве состояния Ψ плоскую волну с импульсом p частицы, так чтоскалярное произведение ⟨|⟩ в (6.36) является волновой функцией Φ (p)состояния в импульсном представлении (см.

Характеристики

Список файлов книги