1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Волновые векторы для каждой из волн лежат в плоскости Y, Z. На рисунках приведены направления распространения волнВекторы E1 , E2 , E3 , E4 направлены вдоль оси X. Волны падают только настенки, расположенные перпендикулярно оси Z и оси Y , и оказывают на них давление. Например, волны E1 и E4 , падая на сторону z = a, формируют отраженныеволны E2 и E3 .Поскольку углы падения и отражения одинаковы для всех волн, то, для того чтобынайти давление на стенку z = a, достаточно найти передаваемый импульс на этустенку, например волной E1 , и результат учетверить.YЧтобы найти импульс, передаваемый волной E1 , заZ′пишемее в новой системе координат с осью Z 0 , направaY′ленной вдоль волнового вектора этой волны, и осью X 0вдоль X. Получимk′z0√ 0AπE1 = − ei(ωt− a 2z ) ,4aZ0 0A c 0 i(ωt− π √2z0 )Aak e= − ei(ωt−kz z ) ,4ω z4√где kz0 = πa 2.
В направлении Z 0 волна движется со скоростью, равной скоростисвета. Импульс, переносимый в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси Z 0 , pz0 = 1c Sz0 , где Sz0 — вектор Пойнтинга, равныйHy 0 =Sz0 =1 cc A2[E1 × H∗y0 ] =.2 4π8π 16На стенку z = a попадает импульс, который проходит через площадь ∆S =a · √a2 , расположенную нормально к Z 0 . Но этот импульс направлен под углом 450 кстенке. Таким образом, нормальная составляющая импульса будет равнаpz =S z 0 a2√ cos 450 = Sz · a2 /2c.c2571. Волны в пространстве-времениПолная сила, действующая на стенку,Fz = 4pz =A2 a2W=.32 8π2aТакая же сила действует на стенку z = 0 и стенку y = 0, y = a, т. е. Fy =Сила Fx = 0, поскольку на стенки x = 0, x = a импульс не переносится.W2a .1.45. Между двумя параллельными, идеально проводящими пластинками, расстояние между которыми равно a, возбуждается стоячая электромагнитная волна.
Насколько изменится минимальная частота стоячей волны, если приложить к одной изпластин слой диэлектрика толщиной a/2, доходящей до ее краев? Диэлектрическаяпроницаемость вещества слоя ε = 4.РешениеYСразу можем написать (см. рисунок) √ε =1εE1y (x) = E1 sin k1 x, где k1 = ω ε/c,E2y (x) = E2 sin k2 (a − x),a/20aXгде k2 = ω/c, ω — частота, Ex ≡ 0.
Из закона Фа12радея следует, что Hz ∝ ∂Ey /∂x. Граничные условиявыглядят какk1 ak2 aE1 sin= E2 sin,22k2 ak1 ak1 E1 cos= −k2 E2 cos22(E1y |x=a/2 = E2y |x=a/2 , H1z |x=a/2 = H2z |x=a/2 ).Поделив первое уравнение на второе, получим(1/k1 ) tg(k1 a/2) = (−1/k2 ) tg(k2 a/2),√причем k1 /k2 = ε = 2.√√ωatg( εωa/2c) = − ε tg(ωa/2c) или tg(ωa/2c) = −2 tg.2cОтсюда tg 2θ = 2 tg θ/(1−tg2 θ) = −2 tg θ, где θ = ωa/2c.√Сократив на 2 tg θ 6=0, получим 1 = −1 + tg2 θ, tg2 θ = 2, θ = ωa/2c = arctg 2 ' 0, 95.Минимальная частота до введения пластинки(0)ωmin = πc/a = 3, 14c/aмежду пластинками укладывается половина длины волны.
С пластинкой√(ε)ωmin = (2c/a) arctg 2 = 1, 91c/a.58Таким образом, искомое изменение частоты4ω = (3, 14 − 1, 91)c/a = 1, 23c/a.591. Волны в пространстве-времениУрок 9Контрольная работа по электродинамике 21.46. 1. По бесконечно длинному идеальному пустому волноводу, сечение которого — квадрат со стороной a, вдоль оси z бегут одновременно две TE-волны одинаковой частоты ω = 2πc/a. В момент времени t = 0 распределение продольнойкомпоненты магнитного поля в плоскости z = 0 имеет вид:π π x sin2yHz (x, y)|z=0 = Hz0 cosa2aНайти распределение Hz (x,y,z) в тот же нулевой момент времени.
(5 б)Решение Общее решение для TE-волны в идеальном волноводе имеет видHz = A (x, y) ei(ωt−kz z) ,гдеA (x, y) =Xn,mAnm cos nπx acos mπy a.(1)Заданную функцию распределения компоненты Hz на входе в волновод можно представить в виде πy 1 1 πy sin2= − cos,2a2 2aто естьHz0 nπxπxπy oHz (x, y) =cos− coscos.(2)2aaaСравнивая выражение (1) с (2), видим, что бегущая в волноводе TE-волна представима в виде H = H10 + H11 . Тогда для H10 дисперсионное уравнение запишется ввиде π 2ω22=+ (kz )10 ,2cas r2 π 22ππ√ω 2 π 2(kz )10 =−=−=3.2caaaaДля H11 аналогично π 2ω22=2+ (kz )11 ,c2ar π 2ω2π√(kz )11 =−2=2.2caaОкончательно z–компонента магнитного поля имеет видπx −ikz1πxπy −ikz110 −11Hz (x, y, z) = Hz0cosecoscose.2a2aa601.47. 2.
Найти собственные колебания и частоты в резонаторе, образованном двумя параллельными идеально проводящими плоскостями, пространε2ε1ство между которыми заполнено двумя слоями вещества с прониµ1µ2цаемостями ε1 , µ1 и ε2 , µ2 , соответственно. Рассмотреть случайε1 /µ1 = ε2 /µ2 . (5 б)l1l2Решение В силу независимости решения от координат вдоль границ резонаторабудем искать решение в виде E(x), направив ось x перпендикулярно стенкам резонатора.
Тогда из уравнения div E = 0 получаем условие∂Ex= 0,∂xоткуда следует, что Ex = const. Поскольку это постоянное значение нас не интересует, то будем искать только такое решение, вектор E которого параллелен стенкамрезонатора. Выберем ось y в направлении вектора E и тогда уравнение для вектораэлектрического поля приймет видd2 Eyω 2 εµ+ 2 Ey = 0,2dxc(1)в каждой из областей со своими коэффициентами. Введя обозначенияκ1 =ω√ω√ε1 µ1 , κ2 =ε2 µ2 ,cc(i)можно записать решение в каждой из областей в виде Ey = A sin κi x+B cos κi x.Учитывая граничные условия на стенках резонатора (Ey = 0), очевидно, что решениеможно записать в видеEy(1) A sin κ1 x,Ey(2) = B sin [κ2 (x − l1 − l2 )] .Граничные условия на границе раздела сред ΓEτ(1) |Γ = Eτ(2) |Γ ,Hτ(1) |Γ = Hτ(2) |Γ .Из первого граничного условия сразу получимA sinω √ω √l1 ε1 µ1 = −B sin l2 ε2 µ2cc(2)611.
Волны в пространстве-времениДля удовлетворения второго граничного условия обратимся к уравнениям Максвела(закону Фарадея)∂Eyiω(rot E)z = − Bz =,c∂xилиic ∂EyHz =.µω ∂xТогда второе граничное условие можно переписать в виде(1)(2)1 ∂Ey 1 ∂Ey = ,µ1 ∂x µ2 ∂x ΓилиAΓ√√ω√ω√ε1 µ1ε2 µ2ε1 µ1 l1 = Bε2 µ2 l2coscosµ1cµ2c(3)Разделив правые и левые части уравнения (2) на соответствующие выражения уравнения (3), получим дисперсионное уравнениеrrµ1 ω √µ2 ω √tgε1 µ1 l1 = −tgε2 µ2 l2 ,(4)ε1cε2cрешение которого даст дискретный набор частот ωn . Если(4) приймет видtg (α) = −tg (β) .Это уравнение имеет решениеω √ncоткуда получаем для частотε1 µ1 l1 +ε1µ1=ε2µ2 ,то уравнениеpε2 µ2 l2 = nπ,ncπ.√ωn = √ε1 µ1 l1 + ε2 µ2 l21.48. 3. В волноводе с металлическими стенками квадратного сечения a × a область z < 0 заполнена диэлектриком с ε1 = 3ε0 , а область z > 0 — диэлектриком сε2 = ε0 .
По диэлектрику ε1 к плоской границе идёт волна H10 . В каком диапазонечастот ω1 ÷ ω2 должна находиться частота волны, чтобы произошло полное отражение волны. (3 б)Решение Общее решение для H10 -волны имеет видH10 ' cosπx.a62Тогда дисперсионные соотношения в левой (z < 0) и правой (z < 0) половинахволновода будут иметь вид π 2 ω 223ε0− (kz ) −= 0,ca ω 2 π 22ε0− (kz ) −= 0,caоткуда, минимальные частоты для прохождения волны в левой и правой половинах(2)(1)(1)(2)имеют вид ωmin = √cε πa , ωmin = √c3ε πa . Поскольку ωmin < ωmin , то частота,с которой H10 -волна будет отражаться от границы раздела должна удовлетворятьнеравенствуc πc π√<ω< √ .εa3ε a1.49.
4. Для сигнала, заданного функцией f (t) (см. рис.) найти спектральнуюплотность fω . (2 б)Решение Сигнал представляет собой два прямоугольных импульса, показанныхfна рис. Можно, конечно, записать преобразование Фурье ввиде интеграла и вычислить его, но эффективнее использоf0вать линейность преобразования и теорему о сдвиге.tτ2τ3τ(1)(2)τ5τfω = fω + fω = eiω 2 fω0 + eiω 2 fω0 =ττ(e−iωτ +eiωτ ) 0= eiω 2 1 + e2iωτ fω0 = eiω 2 eiωτfω =23iω τ202= 2ecos ωτ fω ,где fω0 - Фурье-образ одного центрированного импульса.τ1fω0 = √2πZ2− τ2 ωτ 1 2 eiω 2 − e−iω 21 sin ωττ2√eiωt dt = √=√τ=sinc.ω222π iω2π 2 τ2πττ ωτ 2f0 τ 3 τfω = √ e 2 iω 2 cos ωτ sin c22π1.50. 5.
На идеально проводящее полупространство y ≤ 0 из пустоты падаетплоская монохроматическая TM-волна с амплитудой E0 и частотой ω под углом φк оси y (yx — плоскость падения). Найти распределение поверхностной плотностизарядов σ(x,t) и тока i0 (x,t) на поверхности проводника. (3 б)Решение В плоской падающей волне амплитуды электрического и магнитного631. Волны в пространстве-времениE0kY E1поля равны, т.е.
E0 = H0 . В идеально проводящем пространстве электрическое и магнитное поле равны 0, поэтомуграничные условия на границе раздела вакуум-металл будутиметь видB1n = 0,kXкоторое выполняется автоматически (ТМ-волна и, следовательно, магнитное поле касательно поверхности). Из-за поворота вектора электрического поля при отражении (иначе нельзя удовлетворить граничным условиям при нормальном падении) нормальная составляющая электрического поля на границе (y = 0)испытывает скачок. Вектор электрического поля в падающей плоской волне имеет видE = E0 ei(ωt−kx x−ky y) ,а скачок нормальной составляющей электрического поля∆E1n = 2E0 sin ϕ · ei(ωt− c x sin ϕ) .ωЕсли скачок нормальной составляющей не равен нулю, то на поверхности будет поверхностная плотность заряда σ, которая находится из уравнений∆E1n = 4πσ/Тогдаσ= 1x sin φ2E0 sin φ cos ω t −.4πcСкачок касательной составляющей магнитного поля приводит к появлению поверхностного тока i, который определяется из граничных условийH2τ − H1τ = H1τ |y=0 = −ez E0 ei(ωt−kx x) = ey × i4π,cоткудаi=xcE0 eiω(t− c sin ϕ) ex .4π1.51.
6. Внутри стеклянного шарика с показателем преломления 3/2 вблизи поверхности находится мелкий предмет. Найти увеличение предмета, если его рассматривать с обратной стороны шарика. (3 б)Решение Задачу можно решать как матричным методом, так и геометрическим64построением (см. рисунок). Так как предмет находится внутри стекла, то луч, проведенный изконца предмета параллельно оси дойдет до граaницы шара изнутри и преломится. При этом дляxуглов α и ψ будет выполняться соотношение (заRкон Снелиуса) n sin α = sin ψ, или, используяn=3/2параксиальное приближение, nα = ψ. Продолжение этого луча влево даст одну из линий дляпостроения мнимого изображения предмета.
Луч, проведенный из центра шара черезвершину рассматриваемого предмета не преломляется (поскольку это луч - нормаль кповерхности шара) и его пересечение с проведенным ранее лучом даст мнимое изобxражение предмета длиной a. Используя очевидные соотношения для углов α = Rиa=ψ−αивыполняяочевидныепреобразования,получимLaL−R−aL−R−= α,xψ−αxR(n−1)x=x,Rax= ψ − α = (n − 1) ,LRa·RL=,(n − 1) xaRRaR = x−R−(n − 1) xn−1ana=x− −(n − 1) xn−1aan−=−x (n − 1) xn−1a1n1−=−xn−1n−1an−2n=−.xn−1n−1В результате получим увеличениеan==x2−n3212= 3.2. Когерентность, интерференция, дифракция652. Когерентность, интерференция, дифракцияУрок 10Интерференция. Схема Юнга и ЛлойдаИнтерференция – это взаимодействие 2-х и более волн, когда они взаимодействуют друг с другом. Суммарная амплитуда двух волнE = E 1 + E 2 , B = B1 + B2 .Плотность энергииw = w1 + w2 + w12 ; S = S1 + S2 + S12 ,гдеε |Ei |2 + µ |Hi |2c, Si =[Ei × Hi ] .8π4πИнтерференционные члены имеют вид1cw12 =[ε (E1 E2 ) + µ (H1 H2 )] , S12 =([E1 × H2 ] + [E2 × H1 ]) .4π4πПри использовании комплексных амплитудwi =a = |a|eiϕ , b = |b|ei(ϕ+θ) , a∗ ·b = |a|·|b| cos θ+i|a|·|b| sin θ = (a · b)+i [a × b] ,откудаrεεc∗w12 =Re(E1 E2 ), S12 =Im(E1 E2∗ ).2π2π µПри наблюдении интенсивности всегда осуществляется усреднение по некоторомувремени τ0t+τZ 01I(r, t) =S(r, t0 )dt0 ≡ S.τ0tПерекрестный член в выражении для интенсивности интерферирующих 2-х плоских монохроматических волн одинаковой частотыhicI12 =S12 =Re E0 E1 ei(kr−ωt+ϕ0 )−i(kr−ωt+ϕ1 ) =2πcc=E0 E1 Re ei(ϕ0 −ϕ1 ) =E0 E1 cos(∆ϕ).2π2πПолная интенсивность равнаpIΣ = I1 + I2 + I1 I2 cos(∆ϕ).2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
