1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(Задача 1.22.) Вывести формулы Френеля и найти выражение коэффициентов отражения и прохождения через заданные угол падения ϕ и коэффициент преломления n . Рассмотреть случай полного внутреннего отражения.Решение Для E⊥ – волны (1 – отраженная, 2 – преломленная; индексы ⊥и k относятся к перпендикулярным и параллельным компонентам поля, лежащим вплоскости падения волны):psin(ψ − ϕ) ⊥cos ϕ − n2 − sin2 ϕ ⊥⊥pE1 =E =E0 ;sin(ψ + ϕ) 0cos ϕ + n2 − sin2 ϕE2⊥ =2 sin ψ cos ϕ ⊥2 cos ϕpE =E0⊥ .22sin(ψ + ϕ) 0cos ϕ + n − sin ϕ211.
Волны в пространстве-времениДля Ek -волны:kE1kE2 =ptg(ψ − ϕ) kn2 − sin2 ϕ − n2 cos ϕ k=E0 = pE0 ;tg(ψ + ϕ)n2 − sin2 ϕ + n2 cos ϕ2 sin ψ cos ϕ2n cos ϕkkpE =E0 .222sin(ψ + ϕ) cos(ψ − ϕ) 0n cos ϕ + n − sin ϕВ этих формулах ϕ – угол преломления (sin ψ =sin ϕотраженияn ). Коэффициенты 22E1E2, T = n E0 , при этомE0R и прохождения T равны соответственно R =ψR + T coscos ϕ = 1, где косинусы учитывают сечения пучков.1.11. (Задача 1.23.) При каком угле падения волна с произвольной поляризациейпосле отражения от плоской границы диэлектриков становится линейно поляризованной?Решение Для определения амплитуд отраженной и проходящей волн используются граничные условия: непрерывность проекций на плоскость раздела двух средвекторов E и H возникающего волнового поля.
При этом электрическое поле каждой волны разлагают на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости падения,другая перпендикулярна этой плоскости. Они обозначаются символами k и ⊥ соответственно. Отношение амплитуд соответствующих проекций отраженной R и падающейE волн, называемые коэффициентами Френеля, равныR⊥n1 cos ϕ − n2 cos ψ Rkn2 cos ϕ − n1 cos ψ=,=,E⊥n1 cos ϕ + n2 cos ψ Ekn2 cos ϕ + n1 cos ψгде n1 , n2 — показатели преломления первой и второй среды соответственно, ϕ, ψ— угол падения и преломления. Углы отсчитываются от нормали к плоскости раздела, волна падает из первой среды во вторую. Поскольку n1 sin ϕ = n2 sin ψ (см.решение задачи 1.6.), то коэффициенты Френеля можно представить в видеR⊥sin(ϕ − ψ) Rktg(ϕ − ψ)=−,=.E⊥sin(ϕ + ψ) Ektg(ϕ + ψ)При ϕ + ψ = π2 знаменатель tg(ϕ + ψ) во второй формуле обращается в бесконечность.
В этом случае Rk = 0. Это значит, что при некотором угле падения отражение волны исчезает, если электрический вектор падающей волны лежит в плоскостипадения. Отношение R⊥ /E⊥ никогда не обращается в нуль, за исключением случаяptg ϕ = µ2 (E2 µ1 − E1 µ2 )/µ1 (E1 µ1 − E2 µ2 ), µ 6= 1.22Найдем угол ϕB (угол Брюстера), при котором Rk = 0. Поскольку ϕB + ψB =то cos ϕB = sin ψB = n1 sin ϕB /n2 , откуда tg ϕB = n2 /n1 .
Если волна спроизвольной поляризацией падает под углом ϕB , то составляющая с электрическимвектором Ek отражаться не будет. В отраженной волне будет только составляющаяR⊥ , т. е. волна окажется линейно поляризованной и притом перпендикулярна плоскости падения.π2,1.12. (Задача 1.24.) Показать, что после полного внутреннего отражения от границы диэлектрика линейно поляризованная волна приобретает в общем случае эллиптическую поляризацию.
При каких условиях поляризация будет круговой?Решение При полном внутреннем отражении коэффициенты Френеля комплексны и для R⊥ /E⊥ и Rk /Ek имеют видppR⊥cos ϕ + i sin2 ϕ − n2 Rkn2 cos ϕ + i sin2 ϕ − n2pp=,=, (1)E⊥cos ϕ − i sin2 ϕ − n2 Ekn2 cos ϕ − i sin2 ϕ − n2где n = n2 /n1 — относительный показатель преломления, ϕ — угол падения, причем sin ϕ > n. Комплексность выражений (1) означает, что при полном отражениифаза каждой из волн испытывает скачок. Действительно, комплексные коэффициенты можно представить какR⊥ /E⊥ = Aeiδ⊥ /2 /Ae−iδ⊥ /2 = eiδ⊥ ,Rk /Ek = Beiδk /2 /Be−iδk /2 = eiδk ,где A, B, δ⊥ , δk — величины вещественные, причемppδkδ⊥sin2 ϕ − n2sin2 ϕ − n2=, tg=−.tg2cos ϕ2n2 cos ϕ(2)Отраженную волну Er можно записать в видеEr = (Rk eξ + R⊥ eη )ei(kr−ωt) ,где eξ , eη — единичные векторы, направленные вдоль составляющих напряженности электрического поля, лежащих соответственно в плоскости падения Rk и перпендикулярного к этой плоскости R⊥ , илиEr = Ek ei(kr−ωt+δk ) eξ + E⊥ ei(kr−ωt+δ⊥ ) eη .(3)Амплитуды Ek , E⊥ падающей волны вещественные, так как по условию она линейно поляризована.
Таким образом, отраженная волна (3) есть суперпозиция двух1. Волны в пространстве-времени23линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях и сдвинутыхпо фазе на величину δ = δk − δ⊥ волн. Для выяснения характера поляризации отраженной волны запишем ее в действительном виде в проекциях на оси ξ, η, выбранныхсоответственно вдоль eξ , eη .Eξr= Ek cos(kr − ωt + δk ),Eηr= E⊥ cos(kr − ωt + δ⊥ ).(4)Как видим, величины проекций в каждой точке пространства меняются со временем по гармоническому закону. Чтобы найти, какую траекторию описывает конецвектора Er , исключим в выражениях (4) время t. Для этого представим выражение(4) в видеEξr /Ek = cos(kr − ωt) cos δk − sin(kr − ωt) sin δk ;(5)Eηr /E⊥ = cos(kr − ωt) cos δ⊥ − sin(kr − ωt) sin δ⊥ .(6)Умножив уравнение (5) на cos δ⊥ , а уравнение (6) на cos δk , вычтем одно издругого и получимEξrEkcos δ⊥ −Eηrcos δk = − sin(kr − ωt) sin(δk − δ⊥ ).E⊥(7)Аналогично, исключая sin(kr − ωt) из уравнений (5) и (6), получаемEξrEηrsin δ⊥ −sin δk = − cos(kr − ωt) sin(δk − δ⊥ ).EkE⊥Возведя в квадрат обе части уравнений (7), (8) и сложив их, получаем r 2 r 2EξEξr EηrEη+−2cos(δk − δ⊥ ) = sin2 (δk − δ⊥ ).EkE⊥Ek E⊥(8)(9)В общем случае это уравнение эллипса с главными осями, повернутыми относительно осей ξ, η на некоторый угол.
Значит, конец вектора, вращаясь, описывает эллипс. Такую волну называют эллиптически поляризованной.Если сдвиг фаз δ = δk − δ⊥ = π2 и Ek = E⊥ = E, эллипс превращается вокружность r 2 r 2EξEη+=1EE24и поляризация будет круговой. Найдем, какой величины должен быть показатель преломления диэлектрической среды, чтобы мог осуществиться сдвиг фаз δ = π2 .С помощью формул (2) найдемpcos ϕ sin2 ϕ − n2δtg =.2sin2 ϕ(10)При полном отражении угол ϕ меняется от ϕ0 , определяемом из уравнения sin ϕ0 =n, до π/2.
При этом из соотношения (10) видно, что на концах этого интервала δ =0, а внутри – положительная функция. Значит, внутри интервала [ϕ = ϕ0 , ϕ =π/2] tg δ2 , а с ним и δ достигает максимума.Максимальный сдвиг δm для конкретного диэлектрика может и неδдостигать значения π/2 ни при каком угле па2π/2δmдения. Тогда на таком диэлектрике нельзя получить круговую поляризацию для отраженной вол1ны (см. рисунок, кривая 1). В то же время, еслиδm > π/2, то есть два угла падения – ϕ1 , ϕ2 –для данного диэлектрика, при которых сдвиг фазφφ φφ φравен π/2 (кривая 2).π/2Найдем из уравнения (10) угол ϕ = ϕm , при котором δ достигает значения δm ,а затем, подставляя cos ϕm и sin ϕm в это уравнение и приравнивая δm значениюπ/2, находим условие для n.Чтобы найти угол ϕm , достаточно от правой части уравнения (10) взять производную по ϕ и приравнять ее нулю.
Опустив простые выкладки, напишем результат:01m2cos ϕm =1 − n21 + n21/2, tgδm1 − n2n2=, n=,22nn1√откуда (1 − n2 )/2n = tg(π/4) = 1 и, значит, n = 2 − 1 = 0, 414. Среда2 оптически менее плотная n2 < n1 . В справочниках, как правило, даются показатели преломления n0 веществ относительно вакуума. Считая вторую среду вакуумом, для показателя преломления первой среды n01 получаем условие n01 = 1/n1 >1/0, 414 = 2, 41.1.13. (Задача 1.25.) Луч света падает на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной d, под углом ϕ, большим угла полного внутреннего отражения.
Найти интенсивность света, прошедшего через пластинку. Электрическое поле волны параллельно поверхности пластинки.Решение Поскольку электрическое поле параллельно поверхности пластин-251. Волны в пространстве-времениϕϕки, то можно считать, что оно направлено по оси Y (см.
рисунок), т. е. существует только одна составляющая поля,γперпендикулярная плоскости падения (z, x). Обозначимдиэлектрическиепроницаемости среды и пластинки соотnβветственноεиεZ12 . Магнитные проницаемости положимµ1 = µ2 = 1. Падающую `, отраженную r и прошедшуюd через пластинку волны запишем в следующем виде:n1Xn2 < n11E ` = E0` ei(ωt−k1 x sin ϕ−k1 z cos ϕ) , z ≤ 0,E r = Rei(ωt−k1 x sin ϕ+k1 z cos ϕ) , z ≤ 0,E d = Rei(ωt−k1 x sin β−k1 z cos β) , z ≥ 0.Поле внутри пластинки (см. решение задач 1.6., 1.9.)E2 = A1 ei(ωt−k2 x sin γ−k2 z cos γ) + A2 ei(ωt−k2 x sin γ+k2 z cos γ) , 0 ≤ z ≤ d.Для всех волн H = ωc [k × E], k1 — значение волнового вектора волн в среде, k2— в слое.
Обозначения углов понятны из рисунка. Из граничных условий для E, Hна верхней границе пластинки z = 0 следуетE0` ei(ωt−k1 x sin ϕ) + Rei(ωt−k1 x sin ϕ) = A1 ei(ωt−k2 x sin γ) + A2 ei(ωt−k2 x sin γ) ,или с учетом k1 sin ϕ = k2 sin γE0` + R = A1 + A2 ;(1)k1 cos ϕ(E0` − R) = k2 cos γ(A1 − A2 ).(2)При z = d граничные условия даютA1 e−ik2 d cos γ + A2 eik2 d cos γ = De−ik1 d cos ϕ ;(3)k2 cos γ(A1 e−ik2 d cos γ − A2 eik2 d cos γ ) = k1 D cos ϕe−ik1 d cos ϕ .(4)При написании условий (3), (4) использовано β = ϕ, потому что k1 sin ϕ =k2 sin γ = k1 sin β. Из уравнений (1)–(4) после несложных преобразований найдемD2idκeiαd= 2.`2(κ − α ) sh κd + 2iακ ch κdE0Здесь введены обозначенияα = k1 cos ϕ =ωn1 cos ϕ,c26κ=ωcПоскольку n2 < n1 , тоωk2 cos γ = n2cs1−qn21 sin2 ϕ − n22 .n1n22sin2 ϕ = iωcqn21 sin2 ϕ − n22 ,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
