1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

е. k2 cos γ = iκ. Если пластинка — это вакуумный слой, а у среды диэлектрическая проницаемость ε, то n21 = ε, n22 = 1 иqωω√κ=ε sin2 ϕ − 1, α =ε cos ϕ.ccИнтенсивность света, прошедшего через слой, найдем (см. решение задачи 1.9.) из|D|2|2iακeiαd |2I= `2 ==22I0|(κ − α ) sh κd + 2iακ ch κd|2|E0 |=Окончательно4κ 2 α2.4κ 2 α2 ch2 κd + (κ 2 − α2 ) sh2 κdI = I0 /[ch2 κd + (κ 2 − α2 2 2) sh κd].2κα1.14.

(Задача 1.28.) Плоская монохроматическая линейно поляризованная волнападает по нормали на проводящую бесконечно тонкую пластину, для которой имеетместо закон Ома j = σE, где j — ток через единицу длины, а σ — соответствующаяпроводимость. Найти коэффициент прохождения волны.Решение Пусть проводящая поверхность будет плоскостью (X, Y ). Посколькуволна падает по нормали, то напряженность электрического поля E лежит в плоскости (X, Y ) и, не умаляя общности, ось X можно направить вдоль E.

Тогда магнитноеполе будет направлено по оси Y . Граничные условия в этой ситуации будут следующими: тангенциальная составляющая напряженности электрического поля остаетсянепрерывной, тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля H (чтоследует из третьего уравнения системы уравнений Максвела задачи Р. 1.6.) будеттерпеть разрыв H1y | − H2y | = 4πc j, потому что по проводящей поверхности вдольоси X потекут токи j = σE.Если обозначить значками `, r, d соответственно падающую, отраженную и прошедшую волны, то граничные условия (см. решение задач 1.7., 1.9.) будут иметь видE` + Er = Ed,271.

Волны в пространстве-времениE` − Er − Ed =4πσ `(E + E r ),cоткуда|E d |21=.|E ` |2(1 + 2πσ/c)228Урок 3Фурье-анализРазложение в интеграл Фурье по плоским монохроматическим волнам:f (r, t) =1(2π)2Zfk,ω ei(kr−ωt) d3 k dω,(1)гдеfk,ω =1(2π)2Zf (r, t)e−i(kr−ωt) d3 r dt.Разложение по монохроматическим волнам (спектральное разложение):1f (t) = √2πгде1f (ω) = √2πZZf (ω)e−iωt dω,(2)f (t)eiωt dt – спектр волны.Разложение по плоским волнам:f (r) =13/2(2π)Zf (k)eikr d3 k.(3)1.15. (Задача 2.2.) Найти спектры следующих сигналов:а)f (t) = cos(ω0 t)2 ;б)f (t) = exp(−β 2 t2 );в) f (t) = 0 при |t| > τ2 и f (t) = 1 при |t| ≤ τ2 ;τг) f (t) = 0 при |t| > τ2 и f (t) = cos( πtτ ) при |t| ≤ 2 ;τtτд) f (t) = 0 при |t| > 2 , 1 + 2 τ при − 2 ≤ t ≤ 0 и 1 − 2 τt при t ≤ τ2 .Решение1а) fω =2πZ∞cos(ω0 t)eiωt1dt =2π−∞1= [δ(ω + ω0 ) + δ(ω − ω0 )] ;22 ЗдесьZ∞ −∞1 iω0 te+ e−iω0 t eiωt dt =2и далее используется следующая форма прямого и обратного преобразования Фурье соответ+∞+∞RR1ственно: fω = 2πf (t) eiωt dt, f (t) =fω e−iωt dω.−∞−∞291.

Волны в пространстве-времени1б) fω =2π1=2π1=2πZ∞−∞Z∞−∞Z∞−∞2 2exp −β t(2"(2exp −βexp −βeiωt1dt =2πZ∞−∞ωt − 2i 2 t +2β2"ωt−i 22β2− exp − β 2 t2 − iωt dt =iω2β 22iω2β 2−2 #)iω2β 22 #)dt =dt =( Z∞2 )1ω2ω2=exp − 2exp −β t − i 2dt.2π4β2β−∞Введя под интегралом новую переменную z = β t − i 2βω2 , и используя табличноеR∞ −z2√значение интеграла I =e dz = π, получаем после преобразования−∞221fω = √ e−ω /4β ;2 πβ1в) fω =2πZ∞f (t)eiωt−∞1dt =2πZτ /2eiωt dt =−τ /2i1 h iωτ /2e− e−iωτ /2 =2πiω ωτ ττ sin (ωτ /2)≡sinc;=2π ωτ /22π2Zτ /21г) fω =2π−τ /2=14πZτ /2−τ /2=14πicosπtτeiωt1dt =2πZτ /2 −τ /2eiπt/τ + e−iπt/τ iωte dt =2hiei(π/τ +ω)t + e−i(π/τ −ω)t dt =t=τ /2exp [i(π/τ + ω)t] exp [−i(π/τ − ω)t] −=π/τ + ωπ/τ − ωt=−τ /2301 sin[π/2 + ωτ /2] sin[π/2 − ωτ /2]+==2ππ/τ + ωπ/τ − ωcos(ωτ /2)11τ cos (ωτ /2)=−= .2ππ/τ + ω π/τ − ω2π 2 1 − 2 · ωτ 2π2Z0 Zτ /21t iωtt iωt д) fω =1 + 2 e dt +1 − 2 e dt =2π ττ0−τ /21 2e−iτ ω/2 1 − e=2πiτ ω 2iτ ω/2 2τ=4πsin (ωτ /4)ωτ /42.1.16. (Задача 2.3.) Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье полей и потенциалов в однородной изотропной диспергирующей среде (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны).Решение Перед тем, как продолжить вычисления, вычислим некоторые выражения: Фурье-образ (разложение на монохроматические волны) производной от времени∂H∂tωZ∞Z∞ ∂ iωt He− iωHeiωt dt∂t−∞−∞Z∞1∞=Heiωt −∞ − iωHeiωt dt = −iωHω ;2π 1=2π∂H iωt1e dt =∂t2π−∞тогдаiωε4πа) rot Eω = iωµc Hω , div εEω = 4πρω , rot Hω = − c Eω+ c jω , div µHω = 0.Фурье-образ (точнее, разложение по плоским волнам) div и rot вектора[rot A]k =1(2π)3/2Z∞−∞rot A · e−ikr d3 rб) i [k × Ek ] = − 1c Ḃk , i (kDk ) = 4πρk ,i [k × Hk ] = 1c Ḋk + 4πc jk , (kBk ) = 0.в) [k × Ekω ] = − ωµc Hkω , i (kDkω ) = 4πρkω ,4πi [k × Hkω ] = iωDkω + c jkω , (kBkω ) = 0.c311.

Волны в пространстве-времени1.17. (Задача 2.4.) Найти связь между компонентами Фурье полей и потенциалов (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматическиеволны).Решение а) Eω (r) = − grad ϕω (r) + iωc Aω (r), Hω (r) = rot Aω (r).1б) Ek (t) = −ikϕk (t) − c Ȧk (t), Hk (t) = i [k × Ak (t)].в) Ekω = −ikϕkω + iωc Akω , Hkω = i [k × Akω ].1.18. (Задача 2.5.) а) Разложить по плоским волнам кулоновский потенциал неподвижного точечного заряда; б) то же для векторного потенциала прямого тока J(плотность тока J = jδ(x)δ(y) ).Решение а) Рассмотрим потенциал точечного заряда, помещенного в начало координат. Этот потенциал удовлетворяет уравнению:∆ϕ = −4πeδ(r).Разложим ϕ в пространственный интеграл Фурье (разложение по плоским статическим волнам):Z∞1ϕ=eikr ϕk d3 k,(2π)3−∞при этомZ∞ϕk =e−ikr ϕ(r)dV.−∞Взяв Фурье-образ от Лапласиана, получим1∆ϕ = −(2π)3Z∞k 2 eikr ϕk d3 k,−∞откуда следует, что(∆ϕ)k = −k 2 ϕk .Вычислив Фурье-образ от правой части уравнения Пуассона, получим(∆ϕ)k = −4πeZ∞−∞δ(r)e−ikr dV = −4πe.Сравнивая оба выражения, получимϕk =e.2π 2 k 232б) Аналогично получаем для векторного потенциала(Az )k = J/(πck 2 ).1.19.

(Задача 2.6.) а) Разложить по плоским волнам поле E неподвижного точечного заряда; б) то же для поля H поля прямого тока J .iJ [k×ez ]Решение а) Ek = −ikϕk = 2πiek2 k2 , б) Hk = i [k × Ak ] = πck2 .1.20. (Задача 2.7.) Точечный заряд движется в вакууме равномерно и прямолинейно. Разложить его поля и потенциалы на плоские монохроматические волны.Решение Уравнение для потенциала поля заряда, движущегося вдоль прямой равномерно имеет вид1 ∂ 2 ϕ(r, t)= −4πeδ(r − vt).c2 ∂t2∆ϕ −Умножая левую и правую части на e−ikr и интегрируя по объему, получим с однойстороны(∆ϕ)k = −4πeZ∞−∞δ (r − vt) e−ikr dV = −4πe · e−ikvt ,а с другой стороны(∆ϕ)k =Z∞∆ϕe−ikr dV.−∞Беря этот интеграл два раза по частям и учитывая, что потенциал и поле на бесконечности равны нулю, получим(∆ϕ)k = −k2Z∞−∞ϕe−ikr dV = −k 2 ϕk .Тогда дифференциальное уравнение для ϕk примет вид1 d2 ϕk+ k 2 ϕk = 4πe · e−ikvt .c2 dt2Ищем решение для ϕk в видеϕk = Bk e−ikvt .331.

Волны в пространстве-времениТогда(kvk −c22 )откудаϕk = Bk e−ikvt =Bk = 4πe,4πe−ikvt. kv 2 e2k − cВычислим Фурье-образ (по времени) от полученного уравненияϕk,ωZ∞4πe4πee−ikvt eiωt dt == kv 2 2 δ(kv − ω).k 2 − c −∞k 2 − kvcϕkω =Ekω = ie δ (kv − ω)ev δ (kv − ω), Akω =;2π 2 k 2 − ω 2 /c22π 2 c k 2 − ω 2 /c2e δ (kv − ω) ωv eδ (kv − ω)−k+, Hkω = i 2 [k × v] 2.2π 2 k 2 − ω 2 /c2c22π ck − ω 2 /c234Урок 4Волновой пакет1.21.

(Задача 2.9.) Найти групповую скорость волнового пакета, состоящего издвух плоских волн с близкими частотами ω0 ± ∆ω , распространяющихся в диспергирующей среде.Решение Пусть в направлении оси Z распространяются две плоские волны содинаковой поляризацией, одинаковой амплитудой E0 и различными частотами ω1 =ω0 − ∆ω, ω2 = ω0 + ∆ω. Волновые числа равны k1 и k2 соответственно. Напряженность результирующего поля равна сумме напряженностей обеих волн в силупринципа суперпозицииE = E0 cos(ω1 t + k1 z) + E0 cos(ω2 t − k2 z + α) =k2 − k1αω2 + ω1k2 + k1αω2 − ω1= 2E0 cost−z+cost−z+.222222(1)Каждая из волн является решением волнового уравнения, для которой k = ωc n,где n — показатель преломления среды.

Если среда обладает дисперсией, тогда показатель преломления n зависит от частоты и естественно предположить, что n1 =n0 − ∆n1 , n2 = n0 + ∆n2 (n0 — показатель преломления при частоте ω0 ), ∆n1 ≈∆n2 = ∆n, ∆n << n0 , так как ∆ω << ω0 . Тогда, отбрасывая величины второго221= ∆ω, ω1 +ω= ω0 , k1 +k= n02ω0 = k0 ,порядка малости, получаем ω2 −ω222k2 −k1n0 ∆ω∆nω0≈ c + c = ∆k и выражение (1) примет вид2ααE = 2E0 cos ∆ωt − ∆kz +· cos ω0 t − k0 z +.(2)22Эту результирующую волну можно рассматривать как волну с частотой ω0 и волновым числом k0 , но с медленно и притом непериодически меняющейся амплитудойA = 2E0 cos(∆ωt − ∆kz + α2 ). Волна (2), строго говоря, уже не будет гармонической, но при ∆ω << ω0 и ∆k << k0 изменение модулированной амплитуды A в пространстве и во времени происходит за период TA = 2π/∆ω и надлине λA = 2π/∆k, которые много больше периода T0 = 2π/ω0 и длины волныλ0 = 2π/k0 соответственно.

Характеристики

Список файлов курсовой работы