1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для определения скорости перемещения фазы волны(2) выберем какое-нибудь значение фазы, положивαω0 t − k0 z + = const .(3)2Переписывая выражение (3) в видеz=2 const +α ω0+t,2k0k0351. Волны в пространстве-временизаключаем, что точка, где находится значение выбранной нами фазы, движется соскоростью v = ω0 /k0 . Чему равна скорость перемещения данного значения амплитуды? Амплитуда A будет постоянной, если постоянен аргумент под косинусом в A,т.
е.α∆ω · t − ∆k · z + = const,2или∆ω2 constz=t+α−.∆k2∆kОтсюда видно, что точка, где находится значение выбранной амплитуды, движется со скоростью v = ∆ω/∆k, называемой групповой скоростью.1.22. (Задача 2.10.) Найти волновой пакет для момента времени t = 0, если егоамплитудная функция имеет гауссовский вид( 2 )k − k0a(k) = a0 exp −.∆kРешение Волновой пакет — это результирующее поле, полученное путем наложения гармонических волн с непрерывно меняющимся волновым вектором k. В нашемслучае закон изменения k дается в условии задачи выражением a(k), поэтомуE(z, t) =∞Za(k)ei(ωt−kz) dk.−∞При t = 0 имеемE(z, 0) =Z∞a(k)e−ikz dk = a0−∞Z∞e −(k−k0∆k2)−ikzdk.−∞Делая в уравнении (1) заменуξ=k − k0∆kz+i,∆k2получаемE(z, 0) = a0 e−ik0 z −z 2 ∆k2 /4eZ∞−∞√ −z2 ∆k22e−ξ dξ = a0 ∆k πe 4 e−ik0 z .(1)361.23.
(Задача 2.11.) Определить форму и движение волнового пакета, состоящегоиз плоских волн одинаковой амплитуды и с волновыми векторами,лежащими в области |k0 −k| ≤ q. Дисперсия среды линейна: ω(k) = ω(k0 ) + ∂ω∂k k=k0 · (k − k0 ). ∂ω ∂ω ∂ω Решение Выражение ∂ω— это вектор с компонентами ∂k,,.∂k ∂k∂kxyzk=k0Тогда зависимость частоты ω от k будетω(k) ∼= ω0 + ux (kx − k0x ) + uy (ky − k0y ) + uz (kz − k0z ),(1)где ω0 = ω(k0 ). Сложная зависимость ω от k возникает в связи с тем, что диэлектрическая проницаемость вещества, а с ней и показатель преломления n зависят от частоck.ты волны или от k.
Для каждой плоской волны выполняется соотношение ω = n(k)Видом этой функции определяется закон дисперсии волны. Учтем, что в нашем случаедисперсия среды линейна. Тогда волновой пакет, являющийся суперпозицией плоскихволн с одинаковыми амплитудами a0 и различными частотами, удовлетворяющимисоотношению (1), запишется так:ZZE(r, t) = E0 ei(ωt−kr) dk = a0 ei{[ω0 +u(k−k0 )]t−(kr)} dkx dky dkz . (2)Интеграл (2) — трехмерный по области |k − k0 | ≤ q. Учитывая, что (uk) =ux kx + uy ky + uz kz и вводя вектор ρ = r − ut, запишемZ(3)E(r, t) = a0 ei(ω0 t−rk0 ) e−iρ(k−k0 ) dkx dky dkz .Перейдем от интегрирования по k в декартовой системе координат к интегрированию в сферической системе координат с полярной осью вдоль вектора ρ и с началомв точке k0 . ПолучимZ qZ π02i(ω0 t−rk0 )E(r, t) = a0 ee−iρk cos θ 2πk 0 dk 0 sin θdθ,(4)00где k0 = k − k0 .
Интегрируя правую часть уравнения (4) по θ, получаемZ1 qE(r, t) = 4πa0 ei(ω0 t−k0 r) ·sin ρk 0 · k 0 dk 0 .ρ 0Окончательно4πa0 qE(r, t) =ρ2sin ρq− cos ρq ei(ω0 t−k0 r) .ρq(5)371. Волны в пространстве-времениВыражение (5), описывающее результирующее поле, можно представить в видепроизведения двух сомножителей:4πa0 q sin ρqA(r, t) =и ei(ω0 t−k0 r) .ρ2ρqВторой из них представляет бегущую волну, однородную в пространстве со средней частотой ω0 и волновым вектором k0 .
Множитель A(r, t) можно рассматриватькак амплитуду результирующей волны, которая заметно отлична от нуля только в пространственной области ρq ≤ 1 и одинакова при равных ρq. Например, при ρq = 0,т. е. ρ = 0, амплитуда максимальна и равна 2πa0 q 3 . Но ρ = |r − ut| равно нулюв точке r = 0 в момент времени t = 0 и в последующие моменты времени в точках, определяемых радиусом вектором r = ut. Таким образом, результирующее полев действительности представляет волновой пакет, т. е.
ограниченное в пространствевозмущение, которое движется как целое без изменения формы с групповой скоростью u = dωdk .1.24. (Задача 2.13.) Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета с гауссовской амплитудной кривой a(k) = a0 exp{−α(k − k0 )2 }, учитывая иквадратичные члены в дисперсии.Решение В задаче 1.23.
рассмотрено движение волнового пакета, когда квадратичные члены в дисперсии не учитывались. Получено, что волновой пакет движется, не «расплываясь». Исследуем этот вопрос в случае, когда в законе дисперсии2присутствуетквадратичный член, т. е. ω(k) = ω0 + u(k − k0 ) + β(k − k0 ) , где2 .u = dω, β = 12 ddkω2 dk (k=k0 )(k=k0 )Волновой пакет выразится интеграломZ ∞E(z, t) =a(k)ei(ωt−kz) dk =−∞= a0 ei(ω0 t0 −kz)Ze−[(k−k0 )2(α−iβt)+i(k−k0 )(z−ωt)]dk.Обозначим γ = α − iβt, ξ = z − ut. Делая замену k1 = k − k0 и дополняядо полного квадрата показатель экспоненты, получаемZ ∞√ξ2√ )2−(k γ+ 2iξγE(z, t) = a0 aei(ω0 t0 −kz)− 4γdk 0 =e 1−∞2= a0 eξ− 4γi(ω0 t0 −kz)e√π√ .γ38ОкончательноE(z, t) = a0r(z−ut)2πe− 4(α−iβt) ei(ω0 t0 −kz) .α − iβtПоскольку амплитуда волныE(z, t) = a0r(z−ut)2πe− 4(α−iβt)α − iβtкомплексна, то проще исследовать характер зависимости пакета от z и t, образовавквадрат модуля амплитуды, так как именно он определяет интенсивность волны:πa20α(z − ut)222|E(z, t)| = |E0 (z, t)| = pexp −.(6)2(α2 + β 2 t2 )α2 + β 2 t2Из этого выражения pвидно, что полуширина кривой интенсивности pрастет со временем по закону ∆z = 2(α2 + β 2 t2 )/α, а высота убывает как 1/ α2 + β 2 t2 .Волновой пакет расплывается, но для времени t << α/β пакет мало деформируется,и можно говорить о его распространении со скоростьюdω ,u=dk (k=k0 )называемой групповой.1.25.
(Задача 2.14.) Волновой пакет длиной ` входит в среду с дисперсиейω(k) = ω0 + υg · (k − k0 ) +a2(k − k0 )2 .2Оценить его размер после прохождения слоя толщиной d.Решение Используя решение задачи 1.24. (формула 1), для модуля амплитудыволнового пакета находим√πa0α(z − ut)2|E0 (z, t)| = 2.exp −4(α2 + β 2 t2 )(α + β 2 t2 )1/4Из этого выражения видно, что полуширина волнового пакета (расстояние, накотором амплитуда уменьшается в e раз) определяется множителем в показателе экспоненты, равномp∆z(t) ≈ 4(α2 + β 2 t2 )/α,391. Волны в пространстве-времени√а сам пакет движется с групповой скоростью u. Пусть при t = 0 ∆z(0) = 2 α =`/2, тогда через интервал времени ∆t, равный времени прохождения слоя шириныd, ∆t = d/u, размер пакета"2∆S = ` +16βdu`2 #1/2"=`· 1+16βdu`22 #1/2.Если второе слагаемое под корнем много больше единицы, размер пакета можнооценить как ∆S ≈ 16βd/(u`).40Урок 5Фазовая и групповая скорость1.26.
(Задача 2.18.) Вычислить групповую скорость для различных законов дис√персии (v – фазовая скорость): а) v = const√– звук в воздухе; б) v = a λ– гравитационные волны на воде; в) v = a/ λ – капиллярные волны; г) v =√c2 + b2 λ2 – электромагнитные волны в ионосфере (c – скорость света; λ – длинаволны в среде);pд) v = cω/ εµω 2 − c2 α2 – электромагнитные волны в прямолинейном волноводе, заполненном диспергирующей средой с ε = ε(ω) и µ = µ(ω); c – скорость светав вакууме, α – геометрический фактор волновода.dРешение а) v = ωk — групповая скорость u = dωdk = dk (vk) = v, поскольку v= const.q√√√√б) ω = vk = kaλ = ka 2π2πa k; v = 2πa/ k, u = dωk =dk =√ √π/ 2k = v/2.√pppв) v = a/ λ = a k/2π, ω = a k 3 /2π, u = (3/2)aq k/2π = 3v/2.√dvdω2г) ω = vk, u = dk = v + k · dk , v = c2 + b2 λ2 = c2 + b2 ( 2πk ) .22πb= c2 /v.kp√д) v = cω/ εµω 2 c2 α2 , ω = kv = k 2 c2 + α2 c2 /εµ,u=v−1vdωkc21 pd(ελ)dω= √ √·.+ (− ) k 2 c2 + α2 c23/2 dω dk2222dk2(εµ)εµ k c + α cu=dω1c2=.dkεµ [1 + (ω/2εµ) · d(εµ)/dω]v1.27.
(Задача 2.19.) Найти фазовую и групповую скорости волн в среде, диэлекω2pтрическая проницаемость которой имеет вид ε(ω) = 1 + (ω2 −ω2 ) где ωp и ω0 –0константы. Ограничиться случаями ω ω0 и ω ω0 , (µ = 1).Решение Фазовая скорость#− 12"ωp2ωcv = = √ =c 1+ 2.(1)k(ω0 − ω 2 )εДля нахождения групповой скорости выражение (1) запишем в видеk 2 c2 = ω 2 (1 + ωp2 /(ω02 − ω 2 ))411.
Волны в пространстве-времении обе части продифференцируем по k.После несложных преобразований получим"#−1ωp2 ω02dωkc2=1+ 2.dkω(ω0 − ω 2 )2(2)Подставляя в уравнение (2) выражение для k через ω из формулы (1), для групповойскорости u = dωdk получаем222 1/2u = c · 1 + ωp /(ω0 − ω )1 + ωp2 ω02 /(ω02 − ω 2 )2 .(3)Для нахождения поведения групповой скорости при ω << ω0 выражение (3)запишем в видеhi1/2ωp2 /ω021 + 1−ω2 /ω 20u =c·ωp2 /ω021+(1−ω2 /ω02 )2и разложим правую часть в ряд Тейлора по малой величине ω 2 /ω02 .
Ограничиваясьпервым порядком малости, получаем!c3 ωp2 ω 2u= √1−, ω << ω0 ,ε02 ε0 ω04где ε0 = ε(ω = 0) = 1 + ωp2 /ω02 .Поступая аналогичным образом, для фазовой скорости при ω << ω0 из уравнения (1) получим!1 ωp2 ω 2cv=√1−, ω << ω0 .ε02 ε0 ω04Для нахождения групповой скорости при ω >> ω0 выражение (3) запишем ввидеω2 ω2ω2[1 + ωp2 ω02 /( ω02 − 1)]1/20u =c·ω2 ω2ω21 + ωp2 ( ω02 )2 /( ω02 − 1)20и разложим в ряд Тейлора по малой величине ω02 /ω 2 .
Ограничиваясь, как и прежде,первым порядком малости, получим"#ωp2u=c· 1−.2ω 2Поступая аналогичным образом для фазовой скорости при ω ω0 , находим v =c · (1 + ωp2 /2ω 2 ).42Урок 6Соотношение неопределенностей1.28. (Задача 2.24.) Пользуясь соотношением неопределенностей, оценить размер области, в которой применимо понятие луча в оптике.Решение Геометрическая оптика рассматривает распространение волн как распространение лучей. В каждой точке волне приписывается вполне определенное направление распространения и значение волнового вектора.
Таким свойством обладаютплоские волны. Однако в общем случае электромагнитные волны в среде не являютсяплоскими. Тем не менее, волны оптического диапазона рассматривают как плоские вкаждом небольшом участке пространства. Но, с другой стороны, волна, занимающаяконечную область пространства `, не может иметь вполне определенный волновойвектор k, а представляет собой суперпозицию плоских волн с волновыми векторами, лежащими в некотором интервале ∆k, для которого справедливо соотношениенеопределенностей` · ∆k ≥ 1.(1)Для того, чтобы можно было говорить о волне с волновым вектором k, должновыполняться условие∆k k.(2)Поскольку k ∼ 1/λ, а ∆k ∼ 1/` (что следует из уравнения (1)), то выражение(2) равносильно ` λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
