1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Понятие луча применимо, если длина волны много меньшехарактерного размера области распространения волн.1.29. (Задача 2.25.) Оценить диаметр отверстия камеры-обскуры длиной `, прикотором изображение получится самым резким (длина волны λ).Решение Камера-обскура — это ящик с маленьким отверстием на одной изстенок. Изображение получается на стенке, расположенной напротив отверстия.
Лучи света, испускаемые разAличными точками объекта AC, распространяются во всеC′стороны, но в камеру попадают только те, которые могутA′пройти через отверстие. Так, точка A дает светлое пятCно в точке A0 , точка C в C 0 и т. д. Совокупность такихпятен, получающихся от различных мест объекта АС, и есть изображение. Если светраспространяется строго прямолинейно, то светлое пятно от каждой точки имеет размер не менее диаметра отверстия.
Но из соотношения неопределенностей следует, чтоесли пучок света имеет конечную ширину, то направление распространения света в таком пучке не может быть везде строго одинаковым. При падении света на отверстие(например, перпендикулярно) оно ограничивает в своей плоскости ширину пучка, иу пучка в плоскости отверстия появляется разброс волновых векторов в соответствии1. Волны в пространстве-времени43с соотношением неопределенностей: ∆k⊥ d ≥ 2π, откуда ∆k⊥ ≥ 2πd .
Принимая∆k⊥ ∼ 2π/d и учитывая что d >> λ, получаем ∆k⊥ << k и угол θ ' ∆kk ⊥ = λd .Размер пятна в камере определяется двумя факторами: размером отверстия и расширением волны вследствии ограничения пучка, т. е.λD = d + `θ = d + ` ,dгде ` — длина камеры.Если величина d очень малая, то второе слагаемое очень большое, а если велико d,то велико первое слагаемое. Взяв производную dD/dd и приравняв ее к нулю, получим размер отверстия, при котором размер пятна D наименьший.
Условие минимума`λ∂D= 1 − 2 = 0.∂dd√λ`. При таком размере отверстия изображение объекта,являющеесяналожением пятен от различных точек объекта, буλдет наиболее резкое, потому что эти пятна будут предельно перекрываться. Кстати, размер пятна в этом√ случае будет в 2 раdDза больше диаметра отверстия D = 2 λ`. Множитель 2 неследует понимать буквально, потому√ что мы оцениваем порядокlвеличины и можно считать D ' λ`.Расстояние до фотографируемого объекта обычно много больше длины камеры `,поэтому мы пренебрегли отклонением угла падения света для различных точек объектаот нормального.
Наклонное падение света на щель рассмотрено в задаче 1.30.Тогда d∼1.30. (Задача 2.26.) Плоская волна падает на щель в экране шириной d, образуяугол θ с нормалью к плоскости экрана. Используя соотношение неопределенностей,оценить ширину световой полосы на втором экране, расположенном на расстоянии `от первого. Длина волны λ.Решение Фронт волны, проходящей через щель шириной d0 , имеет протяженность d = d0 cos θ0 .
Из соотношения неопределенностей (см. решение задачи 1.29.)у волны появляется разброс волновых векторов ∆k в плоскости, перпендикулярнойнаправлению распространения, такой что ∆kd ∼ 2π и ∆k ∼ 2π/d. Откуда расхожλ`дение пучка θ ∼ ∆kk d0 cos θ0 и уширение пятна за счет расходимости пучка cos θ0 ·θ`λcos θ0 = d0 cos3 θ0 .
ОкончательноD = d0 + `λ/(d0 cos3 θ0 ).441.31. (Задача 2.27.) Оценить минимальный размер световогопятна на Луне отлуча лазера, расположенного на Земле (длина волны λ = 5 · 103 ).Решение Аналогично камеры обскурыλ = 5 · 103 A√D ∼ λLно при этомL = 4 · 105 км√√D = 5 · 103 · 10−8 · 4 · 105 · 105 = 2 · 103 ≈ 10мd ∼ 10мГде же такой лазер. Если разумный лазеркм.d = 1смrDD2d=− ±− lλ245 · 103 · 10−8D = 1+· 4 · 105 · 103 · 102 ∼ 2 · 106 см = 20км1√d ' λL ' 141.32. (Задача 2.28) Используя соотношения неопределенностей, оценить размерпятна на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы (фокусное расстояниеF ) диаметра d, собравшую параллельный пучок лазерного света с длиной волны λ,падающего на линзу вдоль ее главной оптической оси.РешениеdDFδk⊥ ∼2πδk⊥λ, δθ ∼∼ . Тогда, D ' λF/d.dkd1.33.
(Задача 2.29) Используя соотношение неопределенностей и вводя размерсвоего зрачка d, оценить: в виде кружка или яркой звезды Вы увидели бы Солнце сорбиты Плутона (`средн ∼ 6 · 109 км). Угловой размер Солнца на Земле θ ' 0, 01,расстояние между Солнцем и Землей ` = 1, 5 · 108 км. Средняя длина световойволны λ = 5 · 10−5 см.РешениеОт каждой точки Солнца идет параллельный пучек света. Поскольку451. Волны в пространстве-времениRdℓ0D=FλdLего расходимость α ∼ `dПл 1. Параллельный пучок изобразится в виде пятнаD∼FλdДве точки, находящиеся на разных концах солнца, будут разнесены на расстояниеL ≈ F α0 .
Тогда2Rα0 =, α0 α.`ПлЕсли L D, то Солнце – кружок. α0 F F λd , α0 λd .d ∼ 1см, α0 =2R`Пл=` θ `Пл=1,5·108 ·10−26·109= 2, 5 · 10−4 .λ5 · 10−5λ== 5 · 10−5 , α0 d1dвидим как кружок!1.34. (Задача 2.30.) Оценить максимальную длину волн, на которых возможны:а) радиовещание; б) телевидение.Решение а) Частоты слышимых звуковых волн лежат в диапазоне 20÷20 000 Гци относятся к низким частотам. Для передачи речи или музыки требуются частоты от100 Гц до нескольких тысяч.
Например, частота самой высокой ноты около 4 000 Гц.Но непосредственная передача низкочастотных сигналов радиоволнами тех же частотневозможна из-за трудности их генерации. Дело в том, что для передачи сигналовиспользуют излучающие антенны. Это замкнутые провода или системы проводов, покоторым текут переменные токи. Мощность же излучения пропорциональна четвертой степени частоты ω 4 .
Поэтому антенны, по которым текут низкочастотные токи,излучают слабо. Кроме того, длина антенны должна быть порядка длины волны, чтодля частоты, например, 1 000 Гц составляет ` ∼ λ = c/ν ∼ 300 км. Антенну такойдлины весьма трудно построить. Кроме того, строго монохроматическая волна, имеющая везде одинаковую амплитуду, не годится для передачи сигналов. Чтобы передатьинформацию, сигнал должен иметь некоторые границы во времени.
Этого можно добиться, например, с помощью модулирования амплитуды волны. Поэтому в радиовещании передачи осуществляются волнами высокой частоты в диапазоне 105 ÷ 108 Гцмодулированными низкочастотными сигналами. При амплитудной модуляции волныимеют видE = E0 (1 + A sin(Ωt)) sin(ωt),где несущая частота ω — из диапазона 105 ÷ 108 Гц, а Ω — звуковая частота. Этаволна на самом деле состоит из трех монохроматических волн с частотами ω − Ω, ω,ω + Ω (см. задачу Р. 1.21.).46Если звуковая частота Ω ω, что на самом деле имеет место, то длина волны,соответствующая самой малой частоте ω−Ω, незначительно отличается от длины волны несущей частоты. Максимальная длина волны определяется минимальной несущейчастотой 105 Гц, λ = (3 · 108 м/с)/105 1/c = 3 · 103 м.б) Оценим количество команд, которые нужно передать электронному пучку приего движении по экрану.
На экране размером 50 × 50 см на расстоянии 1 мм другот друга можно разместить 250 000 управляемых точек. Луч к каждой точке экрана1должен возвращаться через ∼ 25с с командой «загореться» или «потухнуть», потомучто изображение должно воспроизводиться 25 раз в секунду. Таким образом, сам лучполучает в секунду 25 · 250 000 команд и, значит, длительность τ каждой команды(импульса в антенне) не должна превышать 10−7 с.
Чтобы сформировать импульстакой длительности, необходим диапазон частот ∆ν ∼ τ −1 ≥ 107 Гц, так как ∆ν ·τ ≥ 1. Несущая частота для телевизионного канала лежит в диапазоне 40 ÷ 200 мГц.Отсюда максимальная длина волныλ∼3 · 108 м/с= 10 м.(40 ÷ 30) · 106 Гц471. Волны в пространстве-времениУрок 7Резонаторы и волноводы1.35. (Задача 2.32.) Показать, что в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками не могут распространяться чисто поперечные волны. Найти связьмежду поперечными компонентами полей и продольной составляющей электрического поля Ez для монохроматической Е-волны (или TM-волны), распространяющейсявдоль прямоугольного пустого волновода. Найти уравнение для составляющей поляEz .
То же для H-волны (или ТЕ-волны).Решение Волновод представляет собой полость неограниченной длины. Распространение электромагнитных волн в волноводе принципиально отличается от распространения неограниченных в пространстве плоских волн. Пусть длины сторон прямоугольного сечения равны a и b, ось Z направлена вдоль волновода, а среда, заполняющая волновод, характеризуется диэлектрической и магнитной проницаемостямисоответственно ε и µ.Если в начале волновода (при z = 0) попытаться возбудить монохроматическуюплоскую волну, то естественно допустить, что в волноводе возникает бегущая вдоль Zволна, для которой зависимость E и H от z дается множителем e−ikz z с постояннымkz , т. е.E = E0 ei(ωt−kz z) , H = H0 (x, y)ei(ωt−kz z) .(1)Волновые уравнения для E и H имеют вид∆E =1 ∂2E;v 2 ∂t2(2)∆H =1 ∂2H,v 2 ∂t2(3)√где v = c/ εµ.
Подставляя соотношения (1) в уравнения (2), (3), получаемгде κ 2 =ω2v2∂ 2 E0 ∂ 2 E0+= −κ 2 E0 ;∂x2∂y 2(4)∂ 2 H0 ∂ 2 H0+= −κ 2 H0 ,∂x2∂y 2(5)− kz2 . Связь между векторами E и H определяется уравнениямиrotE = −µ ∂Hε ∂E, rotH =.c ∂tc ∂t(6)48Записывая эти уравнения по компонентам и подставляя в них решение в виде выражений (1), получаем∂Ez0iµωHx0 = −ikz Ey0 −;(7)c∂yiµω∂Ez0Hy0 = ikz Ex0 +;c∂xiµω∂Exo∂Ey0Hz0 =−;c∂y∂xiεω∂Hz0Ex0 = ikz Hy0 +;c∂y∂Hz0iεωEy0 = −ikz Hx0 −;c∂xiεω∂Hxo∂Hy0Ez0 =−.c∂y∂x(8)(9)(10)(11)(12)Формулы (7)–(12) позволяют выразить компоненты векторов Ex0 , Ey0 , Hx0 ,Hy0 через Ez0 и Hz0 :1∂Ez0iωµ ∂Hz0Ex0 = − 2 ikz+;(13)κ∂xc ∂y1∂Ez0iωµ ∂Hz0Ey0 = − 2 ikz−;(14)κ∂yc ∂x1 iεω ∂Ez0∂Hz0− ikz;(15)Hx0 = 2κc ∂y∂z1 iεω ∂xEz0∂Hz0Hy0 = − 2+ ikz.(16)κc∂y∂yКак известно, для плоских волн векторы E и H перпендикулярны направлениюраспространения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
