1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. если волна распространяется вдоль оси Z, как в нашем случае,то для такой волны Ez = 0 и Hz = 0. Из полученных формул (13)–(16) ясно,что Ez0 и Hz0 одновременно не могут быть равны нулю, поскольку в этом случае всекомпоненты векторов E и H будут равны нулю, если только κ 6= 0. Если κ = 0,что означает ω 2 = v 2 kz2 и имеет место для плоской монохроматической волны внеограниченной среде, то тогда уравнение (5) запишется в виде∂ 2 H0∂ 2 H0+= 0.∂x2∂y 21. Волны в пространстве-времени49Магнитное поле в этом случае удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа стаким граничным условием, что на сторонах прямоугольника x = 0, a; y = 0, b поле направлено вдоль границы.
Решением такой краевой задачи, как известно, служитH = 0. Но если отсутствует магнитное поле, то равно нулю и электрическое поле.Таким образом, чисто поперечные электромагнитные волны не могут распространяться в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками. Следует заметить,что этот вывод относится к любым волноводам, выполненным в виде простой трубылюбого сечения, поскольку в процессе вывода мы нигде не использовали явный видформы сечения.Для E-волны, т.е. для волны, у которойHz = 0, Ez = Ez0 · ei(ωt−kz z) ,из уравнений (13)–(16) получаемEx0 = −ikz ∂Ezikz ∂Eziεω ∂Eziεω ∂Ez, Ey0 = − 2, Hx0 =, Hy0 = − 2.κ 2 ∂xκ ∂ycκ 2 ∂ycκ ∂xКомпонента Ez0 удовлетворяет уравнению∆2 Ez0 + κ 2 Ez0 = 0,2∂2∂2где κ 2 = ωv −kz2 , v 2 = c2 / (εµ), ∆2 = ∂x2 + ∂y 2 .
Для H-волны в приведенныхвыше формулах следует сделать замены E ↔ H и ε ↔ −µ.1.36. (Задача 2.33.) Показать, что для Е-волны (Н-волны), распространяющейся вдоль прямоугольного пустого волновода, граничные условия для полей E и Hzвыполнены, если на стенках волновода Ez = 0 ( ∂H∂n = 0).Решение Если Ez = 0 везде на границе, то согласно решению предыдущей задачи, в котором записаны связь между Ex0 , Ey0 и Ez , если Ez = 0 для стенок, укоторых x = const и y = const (x = 0, x = a, y = 0, y = b), то получаетсяEτ = 0 и Hn = 0.
Следовательно, для E-волны условие Ez |Γ = 0 эквивалентноусловию Eτ |Γ = 0 и Hn |Γ = 0. Аналогичный результат получается для H-волны: изzусловия ∂H∂n |Γ = 0 следует выполнение на границе условий Eτ |Γ = 0 и Hn |Γ = 0.1.37. (Задача 2.34.) Определить Е-волны (Н-волны), которые могут распространяться вдоль пустого волновода прямоугольного сечения a × b. Найти критическую (наименьшую) частоту этих волн.Решение Компонента поля Ez (x, y) подчиняется двумерному волновому уравнению∂ 2 Ez∂ 2 Ez++ κ 2 Ez = 0∂x2∂y 250и граничному условиюEz |Γ = 0.Будем решать это уравнение методом разделения переменных для чего предположим,что Ez = X(x) · Y (y).
Подставляя это в волновое уравнение, получимYd2 Xd2 Y+X+ κ 2 XY = 0.dx2dy 2разделим обе части уравнения на произведение X · Y , получим1 d2 X1 d2 Y++ κ 2 = 0.X dx2Y dy 2Поскольку сумма функции только от x и функции только от y равна константе вовсей области определения, это возможно только тогда, когда каждая из них равнаконстанте. Положим1 d2 X= −kx2 ,X dx21 d2 Y= −ky2 .Y dy 2ТогдаX(x) = A sin kx x + B cos kx x,Y (y) = C sin ky y + D cos ky y.Учитывая граничные условия Ez (x = 0, y) = 0, что эквивалентно условию X(0) =0 и Ez (x, y = 0) = 0, что эквивалентно Y (0) = 0, получимEz (x, y) = A sin kx x · sin ky y,где kx и ky удовлетворяют условиюκ 2 = kx2 + ky2 , или, другими словами,ω2= kx2 + ky2 + kz2 .c2Для удовлетворения условий на границах x = a и y = bkx,nx a = nx π, ky,ny b = ny π,гдеnx = 1, 2, 3..., ny = 1, 2, 3...511.
Волны в пространстве-времениОбщее решение тогда запишется в видеXnx πny πEz (x, y) =Anx,ny sinx sinyabn ,nxyn2y π 2ω2n2x π 2−+ 2 − kz2 = 0,22abcnx 6= 0, ny 6= 0, n π 2 n π 2ω2xy= kz2 ++.2cab112ωmin= c2 π 2+a2b2Для H-волны, поскольку H ∼ cos nxaπx cosωmin =ny πybминимальное значение частотыcπ.a1.38. (Задача 2.35.) Найти распределение тока в стенках пустого волновода прямоугольного сечения a × b, в котором распространяется E11 -волна (H10 -волна).Решение Для H10 -волны: в боковых стенках ηx = ηz = 0 иz (x)ηy = ±Hz |x=0,a ; на «крыше» и «дне» – ηy = 0, ηx = ± cH4π|y=0,b , ηz =c∓ 4π Hx (x) |y=0,b , где Hx , Hz – компоненты поля в волноводе.cДля E11 -волны: в боковых стенках ηx = ηy = 0 и ηz = ± 4πHy (y) |x=0,a ;cна «крыше» и «дне» ηx = ηy = 0, и ηz = ∓ 4π Hx (x) |y=0,b , где Hx , Hy –компоненты поля в волноводе, η – поверхностная плотность тока.1.39.
(Задача 2.36.) На какой волне должен работать излучатель, чтобы возбудить один тип волны в прямоугольном волноводе с a = 5 см, b = 3 см?Решение Для решения этой задачи необходимо определить какая из минимальных частот (для E-волны или для H-волны) меньше и длина волны излучения должна соответствовать зазору между наименьшей ωmin 1 и следующей за ней частотойωmin 2 , т.е.ωmin 1 < ω < ωmin 2 .Дисперсионное уравнение для прямоугольного волновода имеет вид n π 2 n π 2ω2xy= k2 ++.2cab52Отсюда следует, что для E-волны минимальное значение частотыr πc 2 πc 2ωEmin =+,abа минимальное значение частоты для H-волныr πc 2πcωHmin ==.aaТаким образом ясно, что минимальная допустимая частота излучателя должна бытьбольше ω > ωHmin = ωH10 , но при этом возникает вопрос, каково ограничениесверху.
Для решения этого вопроса надо сравнить 2-ые частоты для E-волны и Hволны. Очевидно, что для a > b частота ωH01 < ωE11 < ωH20 и, следовательно,ωmin < ω < ωH01 ,ωH01 =cπ 5· = 1.67ωmin5 3рад3 · 1010 · 3, 14= 2 · 1010,5секВ волноводе возбуждается только H10 -волна, когдаωmin =ωmin ≤ ω ≤ 1, 67ωmin, ωmin = 1, 9 · 1010 рад/сек.1.40. (Задача 2.38.) Показать, что бесконечно протяженный диэлектрическийслой с проницаемостями ε и µ, заполняющий в вакууме область −a ≤ x ≤ a,действует как волновод.
Определить типы волн, которые могут распространяться втаком волноводе (ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от координатыy).Решение Волны в системе, показанной на рисунке, удовлетворяют волновомууравнению∆E0 (r, t) −∆H0 (r, t) −εµ ∂ 2 E0 (r,t)c2∂t2= 0,εµ ∂ 2 H0 (r,t)c2∂t2= 0.Будем рассматривать гармонические волны с частотой ω, распространяющиеся вдольоси z, т.е. искать решения в виде E0 = E · ei(ωt−kz z) и H0 = H · ei(ωt−kz z) . Тогдадля E-волны Волны электрического типа:531. Волны в пространстве-времениа) Четные решения(Ex (x) = Ex (−x) = Hy (−x) , Ez (x) = −Ez (−x)) :для |x| > a Ez = Asignx · exp (−s |x|), Ex = A iks exp (−s |x|),iωHy = A cs exp (−s |x|) ; для |x| ≤ a Ez = B sin x · exp (κx),iωεsaEx = B ikκ cos (κx), Hy = B cκ cos (κx), где A = Be sin (κa), κ, s опреде2 222ляется из уравнений: (κa) + (sa) = ωc2a (εµ − 1) (1), sa = 1ε κatg (κa) (2).б) Нечетные решения(Ex (x) = −Ex (−x) , Hy (x) = −Hy (−x) , Ez (x) = Ez (−x)) :iωдля |x| > a Ez = A exp (−s (x)), Ex = iks signx·exp (−s |x|), Hy = A cs signx·exp (−s |x|);для|x|≤aEz=B cos (κx),iωεsaEx = −B ikκ sin (κx), Hy = −B cκ κ sin (κx), где A = Be cos (κa), κ, sопределяются из уравнений (1) и sa = − 1ε κa · ctg (κa) (3).
Волны магнитного типарассматриваются аналогично. Волноводные свойства слоя следуют из того, что полебегущей волны, как видно из результата, концентрируется в основном внутри слоя.1.41. (Задача 2.39.) На вход в волновод подается сигнал E(t) cos(ω∗ t), где частотный спектр функции E(t) – в пределах (0, ω0 ), а ω∗ – критическая частотаволновода. Найти границы спектра на выходе волновода.Решение Рассмотрим гармонику с максимальной частотойcos (ω∗ t) · sin (ω0 t) =1[sin (ω∗ + ω0 ) t + sin (ω∗ − ω0 ) t] .2Отсюда следует, что спектр сигнала на выходе ω∗ ≤ ω ≤ ω∗ + ω0 .54Урок 8Резонаторы1.42. (Задача 2.44.)Определить собственные электромагнитные колебания в полом (ε = µ = 1) резонаторе, имеющем форму параллелепипеда с ребрами a × b × c.Решение Каждое собственное колебание описывается векторным потенциаломA : Ax = N1 cos (k1 x) sin (k2 y) sin (k3 z) e−iωt ,Ay = N2 sin (k1 x) cos (k2 y) sin (k3 z) e−iωt ,Az = N3 sin (k1 x) sin (k2 y) cos (k3 z) e−iωt ,где ki =a, b, c.πniai ,n1 , n2 , n3 = 0, 1, 2, ...; k1 N1 + k2 N2 + k3 N3 = 0; a1 , a2 , a3 ≡1.43.
(Задача 2.45.)Определить минимальную частоту собственных колебанийэлектромагнитного поля внутри резонатора из задачи 2.44 с размерами 1 × 10 ×20 см3 .pРешение ωmin = aπca22 + a23 ' 1010 c−1 . (Стороны резонатора (a1 <2 a3a2 < a3 .)1.44. (Задача 2.47.) В резонаторе, имеющем форму куба с ребром a, возбужденаосновная мода колебаний, в которой отлична от нуля x-компонента электрическогополя. Найти величину и направление сил, действующих на стенки резонатора, еслиполная энергия электромагнитного поля в резонаторе равна W .Решение Для нахождения электромагнитного поля в пустом пространстве, ограниченном идеально проводящими стенками, достаточно решить волновое уравнениедля Eω2∆E + 2 E = 0(17)cи уравнениеdivE = 0(18)с граничным условием Eτ = 0 на поверхности стенок. Магнитное поле находится изуравнения1 ∂Hrot E = −.(19)c ∂tВыберем оси X, Y, Z по трем ребрам куба с началом в углу куба.
Решением уравнений (17), (18) с граничным условием Eτ = 0 будетEx = A cos kz x · sin ky y sin kz zeiωt .551. Волны в пространстве-времениπππВ общем случае kx = an, ky = an, kz = an, где n1 , n2 , n3 — целые12322 223положительные числа и ω = c (kx + ky + kz ). Поскольку в резонаторе возбужденаосновная мода√ колебаний (колебание с наименьшей частотой), то kx = 0, ky = kz =ππ,ω=caa 2иπ π Ex = A siny sinz eiωt .(20)aaКомпоненты поля H найдем из уравнения (19). ПолучимπcππA cos z · sin y · eiωt ,aωaaπcππHz = −iA sin z · cos y · eiωt .aωaaВ элементе объема dV находится среднее по времени количество энергииHy = idW =1(E 2 + H 2 )dV,8πгдеE 2 = Ez2 = A2 sin2=πcAaω2ππA2ππy · sin2 z cos2 ωt =sin2 y · sin2 z,aa2aaH 2 = Hy2 + Hz2 =21πcA1ππ2 π2 πcos z · sin y +sin2 z · cos2 y.2aaaω2aaИнтегрируя по всему объему резонатора, получаемZ aZ aaW =(E 2 + H 2 )dydz =8π 0 0"#2a A2 a a 1 πcAa aa3 A2=· · +· · ·2 =,8π 2 2 2 2 aω2 232πоткуда A2 = 32πa3 W.Для нахождения давления на стенки резонатора представим Ex в виде суперпозиции плоских волнππEx = Aππei a y − e−i a y ei a z − e−i a z iωt·· e = E1 + E2 + E3 + E4 ,2i2iππππππi(ωt− a y− a z)i(ωt+ a y+ a z)i(ωt− a y+ a z)где E1 = − A, E2 = − A, E3 = − A,4e4e4eπA i(ωt+ πy−z)aaE4 = − 4 e.56YYaYaaaa0ZurE4urE3urE2urE1YaaZZa ZВолны E1 и E2 , E3 и E4 распространяются во взаимно противоположных направлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
