1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(Задача 3.1.) Два узких щелевых монохроматических источника света (длинаволныλ)66расположены на расстоянии L от экрана и на расстоянии 2d другот друга.Найти расстояние между полосами на экране.РешениеПредполагая 2d L получим для интенсивности в точке xpI (x) = I1 (x) + I2 (x) + 2 I1 I2 cos ϕ (x) .dXℓ1xℓ2Y-dLРазность фаз определяется из геометрических соображенийϕ (x) = k (`2 − `1 ) .Из прямоугольных треугольников получаем`21 = L2 + (x + d)2 , `22 = L2 + (x − d)2 .Тогда`22 − `21 = 4xd, `2 − `1 =4xd2xd≈=x·α`1 + `2Lгде α – угол, под которым видна область 2d между щелями из центра экрана (x = 0).Разность фаз2kxdφ (x) =,Lи интенсивность в точке xpI (x) = I1 (x) + I2 (x) + 2 I1 I2 cos φ (x) .Учитывая, чтоI1 = I2 = I0получимI (x) = 2I0 (1 + cos φ (x)) = 4I0 cos2kxd.LРасстояние между полосами (расстояние между максимумами cos2 ) определяется соотношениемk∆xd= π, ∆x = λL/ (2d) .L2.2.
(Задача 3.3.) Определить показатель преломления стекла, если интерференционные полосы в схеме Юнга смещаются на величину ∆x при помещении стеклянной пластинки толщиной h перед одной из щелей установки, расстояние междущелями d.672. Когерентность, интерференция, дифракцияРешение Если расстояние между щелями d и во второе (для примера) плечо поместили стеклянную пластину, то оптическая разность путейxd+ h (n − 1) ,Lа разность фазxdϕ1 (x) = k+ h (n − 1) .LУсловия максимумов на экране без пластины(`2 − `1 )опт =kxm d= mπ,Lа эти же максимумы при помещении пластины будут расположены в точкахkx0m d+ kh (n − 1) = mπ.LТогда, если определить ∆x = xm − x0m , получимkd∆x · d∆x = kh (n − 1) ⇒+ 1 = n.LLhSh2.3.
В схеме зеркала Ллойда найти распределение интенсивности наXэкране. Источник света – узкий, щелевой, монохроматический.rr12YLРешение(Задача 3.4.) Вместо того, чтобы в лоб рссчитывать разность хода всхеме Ллойда, удобнее изобразить мнимый источник в зеркале (изображение источника S) станет очевидно, что разность хода в схеме Ллойда такая же, как и в схемеЮнга, за исключением того, что надо добавить изменение фазы отраженного луча наπ в связи с отражением от более плотной среды. ТогдаS’2kxh+ π.LИспользуя решение задачи 3.1 и используя соотношениеkxh πkxh2cos+= sin2,L2Lполучим для распределения интенсивности на экранеϕ (x) =I(x) = 4I0 sin2где I0 – интенсивность источника.kxh,L682.4.
(Задача 3.6.) В схеме зеркала Ллойда (см. задачу 3.4) используется немонохроматический источник (диапазон длин волн λ ÷ λ + ∆λ). Оценить, при какомзначении x интерференционная картина на экране пропадет. Получить отсюда выражение для продольной (временной) длины когерентности.Решение Задачу можно решать как оценку, а можно попытаться получить «точное» решение.а) ОценкаЕсли мы имеем немонохроматический источник, то имеется разброс частот∆ω =2πc∆λ.λ2Из соотношения неопределенности следует, что при таком разбросе частот имеетсяцуг волн длиной c∆t = c2π/∆ω = λ2 /∆λ.3 Интерференция будет иметь место,т.е.
полосы будут различимы, если разность хода лучей (отраженного и основного,см. решение задачи 3.4) будет меньше длины цуга волн. Тогда получаем условие2xh+ λ/2 . λ2 /∆λ.LПренебрегая величиной λ/2 по сравнению с λ2 /∆λ получим, что интерференция будет видна до величиныLx . λ2 /∆λ .2hб)«Точное» решениеДля примера рассмотрим точечный источник в схеме Ллойда, причем мощностьизлучения распределена равномерно во всем диапазоне от k − ∆k/2 до k + ∆k/2.Тогда интенсивность излучения в этом диапазоне можно записать в видеdI(k, x) =dI1dI2dI12dk +dk +dk.dkdkdkПусть 1-й и 2-й источники (основной и отраженный ) имеют равные интенсивности,тогдаdI1dI2I0dk =dk =dk.dkdk∆kИнтерференционный член имеет видrdI12dI1 dI2I02khx=2cos ϕ(x) = 2cos+π ,dkdk dk∆kL3 Еслив этой формуле принять ∆ω∆t .
π, то и в ответе результат будет отличаться в 2 раза.2. Когерентность, интерференция, дифракцияI12I0= −2∆kk+∆k/2Zk−∆k/2692khxI0 L2hxhxcosdk = −4cos ksin ∆k.L∆k 2hxLLПолную интенсивность можно записать в виде2hx sin ηI(x) = 2I0 1 − cos k,Lηгде η = ∆k hxL . Уже из этой формулы видно, что интерференционные полосы будутвидны для x, удовлетворяющего условиямλ2 L,∆λ 2hили, используя определение числа полос m, умещающееся на расстоянии x, получимсоотношениеλm..∆λМожно здесь же ввести понятие видности Imax − Imin sin η .V (x) = =Imax + Imax η |η| . π, |x| .Продольной длиной когерентности называется величина`k ≈λ2.∆λ2.5. (Задача 3.7.) Схема Юнга (см.
задачу 3.2) освещается двумя узкими щелевыми монохроматическими источниками (длина волны – λ), расположенными напрямой, параллельной экрану со щелями на расстоянии a от него. При каком расстоянии 2h между источниками интерференционная картина на экране пропадет? Оценить отсюда выражение для поперечной длины когерентности.Решение Прежде чем приступить к решению задачи, выведем формулу, котораяXбудет полезна в дальнейшем и для решения другихxℓ1задач. Определим разность хода между двумя лучаdми, исходящими из точки, не находящейся на оси, аhотстоящей от оси на величину h (см. рис.).
Эта разℓ2Yность хода ( в тех же приближениях, что и использо-dвались ранее, т.е. x, h a, L определяется выражеaLниемφ1 (x) =2kxd 2kdh+La(1)70Очевидно, что разность фаз от второго источника, находящегося в точке −h,φ2 (x) =2kxd 2kdh−La1. Когерентные источники4kdhIсумм = 2I [1 + cos (φ1 − φ2 )] = 2I 1 + cos,aинтерференционных полос нет никогда.2. Некогерентные источники. В этом случае необходимо складывать интенсивности, точнее интерференционные картины, которые создает каждый из источниковотдельно.Iсумм = 2I + 2I cos φ1 + 2I + 2I cos φ2 = 4I + 2I(cos φ1 + cos φ2 ),или, подставляя выражения для фаз, получим2kxd2kdhIсумм = 4I 1 + coscos.LaПолосы исчезают приπ2kdh= .a23. Когерентность, интерференция, дифракция3.71Когерентность, интерференция, дифракцияУрок 11Видность3.1. (Задача 3.12.) На экране наблюдается картина интерференции от двухY`параллельных щелей, расположенных на расстоянии dдруг от друга в постановке опыта Юнга.
Источник некоd/2герентного света находится на большом расстоянии a Zαd от щелей и представляет собой равномерно светящуюся полосу углового размера α0 1 (см. рисунок),-d/2параллельную щелям. Расстояние от экрана до щелей –b d, длина волны – λ. Найти зависимость видностиbaV = (Imax − Imin )/(Imax + Imin ) от d для интерференционных полос на экране.Решение Рассмотрим результат прихода в точку P экрана с координатой y 0(расположенную под углом β к оси Z) двух лучей, выY`Yшедшихиз точки S полосы с координатой y (располоPr′женнуюподуглом α к оси Z). С учетом малости попеd/2rречныхразмеровпо сравнению с продольными y, y 0 Sr′Za, b имеем для путей r1 , r10 и r2 , r20 следующие соотноβαшения:rY0112α02-d/2ar1 ≈ a − αd/2; r10 ≈ a + αd/2;br2 ≈ b − βd/2; r20 ≈ b + βd/2.Тогда00Ep = E0 eik(r1+r1 ) +eik(r2+r2 ) = E0 eik(a+b) eik(α+β)/2 +e−ik(α+β)/2 == 2E0 eik(a+b) cos[kd(α + β)/2].Поскольку излучение полосы некогерентное, надо складывать интенсивности:dIp = |Ep |2 dα/α0 = 4E02 cos2 [kd(α + β)/2]dα/α0 == 2I0 (1 + cos[kd(α + β)])dα/α0 ,Ip =α0 /2h αi0dIp = 2I0 1+sin kd+β −2−α0 /2Z72i h α0kα0 d =− sin kd − +β2sin u= 2I0 1 +cos kdβ ,uгде u = kdα0 /2 = πdα0 /λ.Максимальное значение cos kdβ = +1, а минимальное значение cos kdβ = −1.ОтсюдаIP max = 2I0 (1 + sin u/u),IP min = 2I0 (1 − sin u/u).Таким образом, sin u sin πdα0 /λ Imax − Imin.=V ==Imax + Iminu πdα0 /λ В частности, V = 0 при u = π, т.
е. при α0 = λ/d. Отсюда виден способизмерения малых угловых величин.3.2. (Задача 3.18.) Звездный интерферометр Майкельсона представляет собойинтерференционную схему Юнга, в которой расстояние d между отверстиями можетизменяться. Найти зависимость видности интерференционных полос в интерферометре Майкельсона от расстояния между отверстиями и длины волны λ при наблюдении:а) двойной звезды с угловым размером α (каждая компонента двойной звезды можетрассматриваться как точечный источник, светимости обеих компонент одинаковы);б) звезды с большим угловым размером α (рассматривать ее как равномерно излучающий диск или даже как полосу, исправив результат).Решение a) Двойная звезда с угловым размером α. Этому случаю соответствуетрешение задачи 3.7 для двух некогерентных источников.
Для получения соответствующей формулы необходимо в выражении для интенсивности из задачи 3.7 заменить2d на d, а 2h/a заменить на угол α/ Тогда интенсивность запишется в видеkdxkdαI = 4I0 1 + coscos.L2Видность по определению Imax − Imin kdα 2πdα πdα .V == cos = cos = cos Imax + Imin 2 2λ λ б) Звезда с большим угловым размером α. Для вычисления суммарной интен-733. Когерентность, интерференция, дифракцияdRсивности от круга рассмотрим его как последовательность полос, находящихся на расстоянии ξ от центра ишириной dξ (см.
рис.). Тогда интенсивность от 2-х таких симметричных полос (см. пункт а)) можно записатьв виде pI0kdxkdξdI = 4 2 1 + coscos2 R2 − ξ 2 dξ,πRLaгде a – расстояние до звезды, а R – ее радиус.Z1Z1pI0 2 pkdxkdRI = 4 2 4R1 − t2 dt + 4R2 coscost 1 − t2 dt .πR La00Первый интеграл равен π/4, а второй интеграл рассмотрим отдельноZ1pI0 2kdxkdRtI = 4 2 πR + 4R2 cos1 − t2 dt .cosπR La0Вспоминая определение функции БесселяnZ12 x22n−1Jn (x) =(1 − t2 ) 2 cos(xt)dt,11Γ( 2 )Γ(n + 2 )0мы видим, что второе слагаемое можно свести к этой функции c n = 1Z10cosΓ( 12 )Γ( 32 )kdRt pJ11 − t2 dt =a2 kdR2akdRa=π/2J1πdα/λπdαλСобирая вместе оба члена, получим2λπdαkdxI = 4I0 1 +J1cos.πdαλLТогда видность 2λπdα V =J1πdαλ 1 λπαd√а) V = cos παd, где J1 – функция Бесселя.λ ; б) V = 2 π αd J1λ.743.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
