1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755)
Текст из файла
11. Волны в пространстве-времени1.Волны в пространстве-времениУрок 1Кинематика электромагнитных волн1.1. (Задача 1.1.)1 1) Доказать поперечность любой электромагнитной волны, имеющейвид√ √√εµE = E0 t − x · c . Показать, что εE = µH. 2) Найти поток энергии,плотность импульса и момента импульса электромагнитной волны. 3) Записать векторы напряженности плоской монохроматической волны: а) плоскополяризованной;б) поляризованной по кругу; в) эллиптически поляризованной.Решение1) Прежде чем решать эту задачу, вспомним уравнения Максвела в области, гдеотсутствуют заряды и токи.rot E=− 1c ∂B∂t , div Brot H=1 ∂Dc ∂t ,div E= 0,=0.Поскольку потенциалы определяются не однозначно, выберем дополнительные условия на потенциалы ϕ = 0, div A = 0. ТогдаE=−1 ∂A,c ∂tB = rot A.Волновое уравнение, которому удовлетворяет электромагнитное поле (каждая издекартовых компонент электрического и магнитного поля, а также векторного потенциала имеет вид∂2fc2−∆f = 0∂t2εµРассмотрим это уравнение для векторного потенциала A в случае зависимости всехпеременных волны от одной пространственной переменной (это и называется плоскойволной)∂2fc2 ∂ 2 f−= 0.∂t2εµ ∂x2Решение этого уравнения имеет вид f1 (t− cx0 )+f2 (t+ cx0 ), где c0 =плоской волны в среде.√cεµ– скорость1 В круглых скобках дана нумерация задач по книге Меледин Г.
В., Черкасский В. С. Электродинамикав задачах: Учебное пособие: В 2 ч. Изд. 2-е, испр. и доп./ Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010. Ч. 2.Электродинамика частиц и волн. 158 с.2Из условия div A = 0 следует∂Ax= 0.∂xТогда из волнового уравнения∂ 2 Ax= 0,∂t2откуда∂Ax= const .∂tПоскольку E = − 1c ∂A∂t , отличная от нуля компонента Ax означает отличное от нуля продольное электрическое поле, но оно не имеет отношения к электромагнитнойволне, поэтому можно выбрать Ax = 0, т.е. A перпендикулярен направлению распространения волны. Тогда из формулE=−1 ∂A,c ∂tB = rot A,введя переменную ξ = t − x/c0 , находимB = [∇A] = eijkhi∂∂ ∂ξx1Ak = eijkAk = ∇(t − 0 ) · A0 = − 0 [nA0 ],∂xj∂ξ ∂xjcc11 ∂AE = − A0 = −cc ∂ξB=−откуда следует1√[nA0 ] = εµ [nE] ,0c√√µH = ε [nE] .Из этого равенства следует соотношение для модулей:√√µH = εE.Вектор Пойнтинга в вакуумеS=cccc[EH] =[E [nE]] =nE 2 =nH24π4π4π4π(nE) = 0W =1E2(E 2 + H 2 ) =8π4πS = cW n31.
Волны в пространстве-времениSP= 2 =cWcn2)Поскольку в плоской волне все вектора (поля и потенциал) - 2-мерные вектора,то можем заменить рассмотрение векторов комплексными числами. Если определитькомплексную функцию A = Ax + iAy , то для плоской волны, распространяющейсявдоль оси z∂Ax∂Ay, (rot A)y =.(rot A)x = −∂z∂zЗаписав rot A тоже как комплексную функцию и используя выведенные соотношения∂Ay∂Ax∂Arot A = (rot A)x + i (rot A)y = −+i=i,∂z∂z∂zполучаем, что вместо вычисления ротора можно использовать производную от комплексной функции.
Плоская монохроматическая волнаE(z, t) = E0 ei(kz−wt) ,где E0 – действительная величина.w = kv =2πvλВолна с круговой поляризациейE(z, t)круг = E0 ei(kz−wt) ,где E0 – комплексная величина.Eкруг = E0 ei(kz−wt) = (E0x + iE0y ) [cos (kz − wt) + i sin (kz − wt)] == (E0x cos(kz − wt) − E0y sin(kz − wt)) + i [E0x sin(kz − wt) + E0y cos(kz − wt)] ,введя величину ψ = (kz − wt), получимEкруг = E {(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i (cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)} ,гдеE=q2 + E2 ,E0x0yE0x,EE0ysin ϕ =,Ecos ϕ =4cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ = cos (kz − wt + ϕ) ,cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ = sin (kz − wt + ϕ) .ТогдаEкруг = E {cos (kz − wt + ϕ) + i sin (kz − wt + ϕ)} .Очевидно, чтоEx2 + Ey2 = E02Конец вектора E описывает правую спираль, если смотреть вдоль n.
Левая спиральполучается еслиEe−i(kz−wt) .Произвольное полеA = Aп ei(kz−wt) + Aл e−i(kz−wt) .Плоская поляризацияA1 (z, t) = A0 cos (kz − wt) .1.2. (Задача 1.3.) Вычислить напряженности электрического и магнитного полейдля солнечного света, если в одну минуту на 1 см2 падает в среднем две калории солнечной энергии (1кал = 4, 2 · 107 эрг).Решение Для плоской волны в вакууме E = H поскольку ε = µ = 1.
ВекторПойнтинга (поток энергии)S=cc 2EH =E .4π4πДля условий нашей задачиS̄ =эрг2 · 4, 2 · 107= 1, 4 · 106 2 .60см сТогдаrpp4π¯E2 =S̄ ' 5, 8 · 10−4 = 0, 024 СГСЕ (стат-Вольт/см).cE ' 7, 2 В/см; H ' 2, 4 · 10−2 Эрстед = 2, 4 · 10−2 /(4π)103 А/м = 1, 9 А/м.51. Волны в пространстве-времени1.3. (Задача 1.6.) Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны одной частоты распространяются вдоль оси Z. Одна с амплитудой a поляризованапо оси X, а другая с амплитудой b – по оси Y , причем опережает первую по фазе наχ.
Какова поляризация результирующей волны? Рассмотреть случай равных амплитуд.Решение Пусть комплексные амплитуды исходных волн E1 = aex , E2 = beiχ ey ,тогдаE0 = aex + beiχ ey .Удобно сдвинуть начало отсчета фаз так, чтобы в 2-х взаимно перпендикулярных направлениях получились колебания, сдвинутые по фазе на π/2E00 = E0 e−iα = E0 − iE00и потребуем, чтобы векторы E0 и E00 были вещественными и E0 ⊥E00 . ТогдаE00 = aex + beiχ ey e−iα = ae−iα ex + bei(χ−α) ey = E0 − iE00 ,откудаE0E00= a cos α · ex + b cos (α − χ) · ey ,= a sin α · ex + b sin (α − χ) · ey ,E0 · E00 = 0.Раскрывая скалярное произведение, получимa2 cos α sin α + b2 cos (α − χ) sin (α − χ) = 0,и используя известные тригонометрические соотношения2 sin α cos α =sin 2α,sin 2(α − χ) =sin 2α cos 2χ − cos 2α sin 2χ,можно получить выражениеb2a2tg2α = −22sin 2αcos 2χ − sin 2χcos 2αоткуда, делая простые преобразования, получаемtg2α =b2 sin 2χ.a2 + b2 cos2 χ6Введя новые оси ex0 k E0 и ey0 k E00 получимEx0Ey0Y’YE2= E 0 cos (kr − ωt + α) ,= E 00 sin (kr − ωt + α) .E”E’X’E1XИз полученного выражения очевидно, что в новойсистеме координат конец вектора электрического поля E описывает в новой системе координат эллипс.
Это следует из следующего очевидного соотношенияEy20Ex20+= 1,E 02E 002что является уравнением эллипса.1.4. (Задача 1.7.) Две монохроматические волны одной частоты поляризованы покругу в противоположных направлениях и, имея одинаковые фазы, распространяются в одном направлении. Найти зависимость поляризации результирующей волны, ототношения El /Er амплитуд соответственно правополяризованной и левополяризованной волн.РешениеE1 = Er {ex + iey }E2 = El {ex − iey }E = (Er + El ) ex + (Er − El ) ieyEx = (Er + El ) cos ωtEy = (Er − El ) sin ωtEx2(Er + El )2+Ey2(Er − El )2= 1.Если Er > El или Er < El – поляризация эллиптическая, если Er = El –поляризация линейная, если Er = 0 или El = 0 – поляризация круговая.1.5.
(Задача 1.8.) Большое число (N+1) поляроидов уложено в стопку. Ось каждого последующего поляроида составляет угол α с осью предыдущего, так что осьпоследнего образует с осью первого угол θ = N α. Найти интенсивность света на выходе из стопки, если на вход падает линейно поляризованный свет интенсивности I0 ,направление плоскости поляризации которого совпадает с осью первого поляроида.Поляроиды считать идеальными, потерями на отражение света пренебречь. Оценитьинтенсивность при θ = 90◦ и N = 50.71. Волны в пространстве-времениРешение Поляроиды — это искусственно приготовляемые коллоидные пленки, служащие для получения поляризованного света.
У поляроидов есть выделенноенаправление, называемое оптической осью поляроида. Они обладают способностьюсильно поглощать световые лучи, у которых электрический вектор перпендикулярен коптической оси, и пропускать без поглощения лучи, у которых электрический векторE параллелен оси.После прохождения первого поляроида интенсивность волны не изменится, поскольку по условию задачи у падающей волны вектор E0 направлен вдоль оптичеkской оси поляроида. Пусть амплитуда падающей волны будет E0 , тогда E1 = E0 ,kгде E1 — амплитуда волны после прохождения первого поляроида. У второго поляkроида ось направлена под углом α по отношению к E1 .
Представляя волну с векторомkE1 в виде суперпозиции двух волн, одна из которых имеет вектор E, параллельныйkоптической оси E2 , другая — в перпендикулярном направлении E⊥2 , заключаем, чтопосле второго поляроида волна будет иметь амплитудуkkE2 = E2 = E1 cos α = E0 cos α.Понятно, что прохождение через каждый последующийполяроид добавляет в качестве множителя к напряженности электрического поля падающей волны cos α. ПоEiαсле прохождения i-го поляроида Ei = E0 (cos α)i−1 .осьПри i = N + 1, EN +1 = E0 (cos α)N . Так как инcтенсивность падающей волны I0 = 4πE02 , то интенсивность света, проходящего стопку поляроидов,Ei⊥Ei −1IN +1 =c 2E= I0 (cos α)2N .4π N +1При θ = 900 и N = 50 α = θ/N = 1, 80 ≈ 3 · 10−2 рад.
Как видим, α << 1,тогда для вычисления степени косинуса малого угла воспользуемся его разложением вряд Тейлора. ПоэтомуI51 = I0 (cos(3 · 10−2 ))100 ≈ I0 [1 −100· (3 · 10−2 )2 ] = I0 (1 − 0, 05) = 0, 95I0 .28Урок 2Граничные условия. Формулы Френеля1.6. (Задача 1.16.) Вывести граничные условия для полей электромагнитной волны.
Используя их, получить законы отражения и преломления, а также доказать равенство частот в отраженной и преломленной волнах.Решение Электромагнитное поле характеризуется величинами E, D, H, B: E— напряженность электрического поля, D — электрическая индукция, H — напряженность магнитного поля, B — магнитная индукция.
Векторы поля E, D, H, Bявляются в общем случае функциями координат и времени и связаны между собойсоотношениями D = εE, B = µH. Величина ε называется диэлектрической проницаемостью, а µ — магнитной проницаемостью сред. Диэлектрическая и магнитнаяпроницаемости являются функциями координат, при некоторых постановках они могут зависеть от времени.Поля E, D, H, B подчиняются законам, которые формируются в виде системыуравнений Максвелла. Здесь мы будем пользоваться интегральной формой уравненийМаксвелла. В Гауссовой системе единиц они имеют видIZ Z1 ∂Ed` = −BdS,c ∂tIBdS = 0,IZ ZZ Z4π1 ∂Hd` =jdS +DdS,cc ∂tIZ Z ZDdS = 4πρdv,где ρ — объемная плотность зарядов, j — плотность тока (j = γE, где γ — проводимость), c — скорость света в вакууме. Для случая электромагнитных волн в непроводящей среде j = 0, и при отсутствии зарядов (ρ = 0) уравнения примут видZ II1 ∂BdS;(1)Ed` = −c ∂tIBdS = 0;(2)IZ Z1 ∂Hd` =DdS;(3)c ∂tIDdS = 0.(4)1.
Волны в пространстве-времени9Выясним, как изменяются векторы электромагнитного поля на границе разделадвух сред с различными свойствами. Пусть одна среда характеризуется проницаемостями ε1 иr µ1 , вторая — соответственно ε2 и µ2 , а границейZEявляется плоскость Z = 0. Применим уравнение (1) кYlконтуру, ограничивающему малую площадку ∆Sx , пере∆Sl∆lсекающую границу раздела и нормальную к ней. На риXсунке эта площадка расположена в плоскости рисунка.rlЛевая часть уравнения — интеграл по замкнутому выEбранному контуру.
Под интегралом стоит скалярное произведение векторов E и d`, где d` — вектор элементарного приращения, длина которого равна элементарному приращению длины контура d`, а направление совпадает снаправлением касательной к контуру в соответствующей точке. Это скалярное произведение равно произведению проекции вектора E на направление вектора d` − Eτ x идлины d`, т. е. (E·d`) = Eτ x d`. Площадка ∆Sx пересекает поверхность раздела подлине `0 . Пусть стороны площадки `2 и `1 параллельны поверхности раздела, а ∆`— длина сторон площадки, пересекающих поверхность раздела.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
