1612046098-84b3d91399f2d38649fdb48b351dd0f2 (533755), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если ∆` стремитсяк нулю: ∆` → 0, то `1 и `2 будут стремиться к `0 , а площадь ∆Sx будет стремитьсяк нулю. Левая часть уравненияH(1) при ∆` → 0 (с точностью до величин второгопорядка малости) будет равна Ed` = (E1τ x − E2τ x ) · `0 , где E1τ x и E2τ x —касательные составляющие вектора E соответственно в первой и второй средах и лежащие в плоскости площадки ∆Sx . Длина `0 выбрана настолько малой, что можнопренебречь изменением Eτ на этом отрезке.Правая часть уравнения (1), представляющая изменение во времени потока вектора B через площадку ∆Sx , пропорциональна площади ∆Sx и сведется к нулюпри ∆Sx → 0, поскольку B конечно.
Получим (E1τ x − E2τ x ) · `0 = 0, откудаE1τ x |= E2τ x |. Если применить уравнение (1) к площадке ∆Sy , перпендикулярнойрассмотренной и границе раздела, и провести рассуждения, аналогичные произведенным, то получим E1τ y |= E2τ y |, где E1τ y | и E2τ y | — касательные к поверхностираздела, составляющие вектора E соответственно в первой и второй средах, лежащиев плоскости площадки ∆Sy . Итак, доказана непрерывность проекций на два взаимно перпендикулярных направления касательной к поверхности раздела, составляющейE, значит, непрерывна полная касательная, составляющая Eτ , т. е. E1τ |= E2τ |.Аналогично, из уравнения (3) следует непрерывность касательных или тангенциальных составляющих вектора H при переходе через границу раздела двух сред (еслина границе раздела нет поверхностных токов): H1τ |= H2τ |.Покажем, что из уравнения (4) следует непрерывur Z uurn1Dность нормальных к поверхности раздела составляющихYвектора электрической индукции D.
Рассмотрим малыйSXцилиндр с образующими ∆`, перпендикулярными к поS∆lверхности раздела. Этот цилиндр вырезает из поверхноuur11x022110S 2 uur D2n210сти элемент S0 столь малый, что его можно считать плоским. Основания цилиндра площади S1 и S2 параллельныповерхности раздела. Вычислим поток вектора D черезповерхность цилиндра:I\\DdS = D1 cos(D1 n1 )S1 + D2 cos(D2 n2 )S2 + Φ,где D1 и D2 – значения вектора D на соответствующих основаниях цилиндра; n1и n2 – внешние нормали к этим основаниям; Φ – поток через боковую поверхностьцилиндра. Если уменьшить высоту цилиндра ∆`, не изменяя при этом S0 , то площадьбоковой поверхности цилиндра и поток Φ вектора D через эту поверхность будетстремиться к нулю.
Учитывая, что\D1 cos(D1 n1 ) = D1n ,\D2 cos(D2 n2 ) = −D2n ,поток вектора D через поверхность цилиндра в пределе при ∆ → 0 будет равенIlimDdS = (D1n | − D2n |)S0 ,∆`→0где D1n и D2n — нормальные составляющие вектора D к поверхности раздела состороны первой и второй сред, D1n |, D2n | — нормальные составляющие вектораD на основаниях цилиндра. Из уравнения (4) поток равен нулю, поэтому (D1n | −D2n |)S0 = 0, откуда D1n | = D2n |.Применяя аналогичные рассуждения к уравнению (2), получаемB1n | = B2n |.Итак, на границе раздела должны выполняться граничные условияE1τ | = E2τ |, H1τ | = H2τ |;(5)D1n | = D2n |, B1n | = B2n |.(6)Рассмотрим прохождение электромагнитной волны через границу двух непроводящих сред.
В случае однородной среды ε = const, µ = const из уравнений Максвелла, взятых в дифференциальной форме, можно получить уравнения второго порядка для E и H:∆E −εµ ∂ 2εµ ∂ 2E = 0, ∆H − 2 2 H = 0.22c ∂tc ∂t111. Волны в пространстве-времениЭти уравнения допускают частные решения в виде монохроматических плоских волнE = E0 e±i(ωt−kr) , H = H0 e±i(ωt−kr) ,(7)где E0 , H0 — константы, называемые амплитудами волны; ω — циклическая часто√та волны; |k| = ωc εµ = 2πλ — длина волнового вектора, а направление волновоговектора k совпадает с направлением распространения волны.
Векторы k, E, H взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему, причемH=c[k × E].µω(8)Можно показать, что для монохроматических полей (7) условия (6) выполняются автоматически, если выполняются условия (5). Кроме того, для каждой волны E иH связаны соотношением (8). Поэтому одновременно удовлетворить условию (8) идвум граничным условиям (5) можно только допустив, что падающая волна частичнопроходит во вторую среду, а частично отражается от поверхности раздела. Особенно просто это можно проиллюстрировать на примере падения волны по направлению,перпендикулярному плоскости раздела. Тогда у падающей волны есть только тангенциальные составляющие векторов E1 и H1 . Если существует только проходящаяволна, то из граничных условий (5) у этой волны те же вектора E1 и H1 , что и упадающей,E, H1 = H2 = H.
С другой стороны, учитывая (8),p т. е. E1 = E2 = pH1 = ε1 /µ1 E1 , а H2 = ε2 /µ1 E2 , что противоречит равенству H1 = H1 .Покажем, что у всех волн — падающей, отраженной и прошедшей — частотаω одинакова и равна частоте падающей волны. Пусть на плоскую границу разделаz = 0 падает плоская волнаE(`) = E0 (`) e−i(ωt−kr) ,а отраженную и прошедшую, или преломленную, волны запишем в виде0E(r) = Re−i(ωr t−k1 r) ,0E(d) = De−i(ωd t−k2 r) .(9)Граничные условия (5) должны выполняться для всех точек границы раздела.Любое из условий (5) для произвольной точки поверхности раздела r = r0 , можно записать в видеA(r0 )e−iωt + B(r0 )e−iωr t + C(r0 )e−iωd t = 0.(10)Константы A(r0 ), B(r0 ), C(r0 ) отличны от нуля, если отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Этому условию при всех t можно удовлетворить, если только ω = ωr = ωd .12rk1ϕϕ′r′k1Найдем связь между волновыми векторами падающейk1 , отраженной k01 и прошедшей k2 волн.
Ось zXε 1 , µ1направим в сторону второй среды. Плоскость разделаε 2 , µ2z = 0 будет плоскостью XY . За ось X возьмем лиrk2нию пересечения плоскости раздела сред с плоскостьюψпадения. Напомним, что плоскость падения — это плоскость, в которой лежат волновой вектор падающей волныk1 и нормаль к плоскости раздела, в нашем случае ось z. В выражениях (9) скалярное произведение вида kr, записанное для плоскости раздела, представлено в видеkr = kx x + ky y. Тогда любое из условий (5) с учетом равенства частот при y = y0запишется в виде0A(y0 )eik1x x + B(y0 )eik1x x + C(y0 )eik2x x = 0,где A(y0 ), B(y0 ), C(y0 ) — постоянные и притом отличные от нуля, если только отраженная и прошедшая волны действительно существуют.
Поскольку это равенстводолжно выполняться при всех x, то должно быть0= k2x .k1x = k1xМы выбрали расположение осей X, Y такими, что у падающей волны имеетсятолько x-я и z-я компоненты волнового вектора k1x , k1z , а k1y = 0. Покажем, что0тогда k1y= k2y = 0. Записав условия (5) для x = x0 , получим0A(x0 ) + B(x0 )eik1y y + C(x0 )eik2y y = 0;A(x0 ), B(x0 ), C(x0 ) отличны от нуля. Чтобы это равенство выполнялось для всех0y, нужно положить k1y= k2y = 0.
Таким образом, получаем, что волновые векторы0отраженной k1 и прошедшей волн k2 лежат в плоскости падения, а величины их проекций на границу раздела одинаковы и равны соответствующей проекции падающейволны. Найдем связь между углами падения, отражения и преломления. Посколькувеличина волнового вектора определяется свойствами среды и частотой, то отсюдаследует, что k1 = k10 , так как падающая и отраженная волны распространяются в√0, заключаем, что уголодной среде k = k10 = ε1 µ1 ω/c. Учитывая, что k1x = k1x0отражения ϕ (см. рис. на с.
30) равен углу падения ϕ. Далееqqq2 = ± k2 − k2 , k2 .k2z = k22 − k2x=−k12 − k1x1z21xЗнак «минус» перед корнем для k1z взят потому, что отраженная волна распростра2няется в сторону уменьшения z. Если k22 > k1x, то перед корнем для k2z следует131. Волны в пространстве-временивзять знак «плюс», это будет означать, что волна преломления распространяется всторону возрастания z. Если ψ — угол преломления, то, учитывая, чтоk1x = k1 sin ϕ =ω√ε1 µ1 sin ϕ,ck2x = k2 sin ψ =√ωε2 µ2 sin ψ,ck1x = k2x ,получаемsin ϕ/ sin ψ =√√ε2 µ2 / ε1 µ1 = n2 /n1 ,√где ni = εi µi называется показателем преломления i-й среды.2Для случая k22 < k1x, k2z — чисто мнимая величина и зависит от z, определяется действительным множителемe±|k2z |z .
Понятно, что нужно взять знак «минус»,p22т. е. положить k2z = i k1x − k2 , иначе амплитуда прошедшей волны будет неограниченно возрастать по мере удаления от границы раздела, чего не может быть из-зазакона сохранения энергии. Волна во второй среде неоднородная:E(d) = De−z|k2z | e−i(ωt−k1x x) .1.7. (Задача 1.17.) Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей нормально на плоскую границу между вакуумом и средойс диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ.Решение Пусть плоскостью раздела будет плоскость z = 0 с осью Z, направленной вниз, в сторону второй среды. Тогда по условию задачи волновой вектор падающей волны направлен вдоль положительного направления оси Z. Поскольку в плоской волне векторы E и H перпендикулярны волновому вектору k, то направление осиX можно выбрать по направлению вектора E.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
