1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 31
Текст из файла (страница 31)
12.5).Äàííûé ðåçóëüòàò ìû ïîâòîðèì ïðè ðàññìîòðåíèè äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè è ïðîêîììåíòèðóåì âëèÿíèå óãëà íàêëîíà íà äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó.12.4. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà-Ôðåíåëÿ.Èíòåãðàë Êèðõãîôà1. Ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãî ðåøåíèå çàäà÷è äèôðàêöèè â ïîñòàíîâêå(12.1)(12.4) ìîæíî ïðåäñòàâèòü è â âèäå ñóïåðïîçèöèè ñôåðè÷åñêèõâîëí, èñõîäÿùèõ èç òî÷åê îòêðûòîé ÷àñòè ïëîñêîñòè z = 0. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè P (xp , yp , zp ), ðàñïîëîæåííîé â ïðàâîì ïîëóïðîñòðàíñòâå(ðèñ. 12.6), ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ(12.10)zp À λèñêîìîå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê èíòåãðàëókÊp =2πiZ Z∞Ẽ(x, y)−∞eikRcos θ dxdy,R(12.11)êîòîðûé íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Êèðõãîôà è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå ïðèíöèïà Ãþéãåíñà-Ôðåíåëÿ2 .
Çäåñü èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ïëîñêîñòè z = 0, ôóíêöèÿ Ẽ(x, y) çàäàíà ïðèáëèæåííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Êèðõãîôà, R ðàññòîÿíèå îò ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêè äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ, θ óãîë ìåæäó íîðìàëüþ ê ýêðàíó, ïðîâåäåííîé â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè (x, y), è ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåéýòó òî÷êó ýêðàíà ñ òî÷êîé íàáëþäåíèÿ P (xp , yp , zp ). (Ýòî óãîë ìåæäó2 Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåíî â 12.6.www.phys.nsu.ru196Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿïðÿìûìè, íå ëåæàùèìè â ïëîñêîñòè ðèñ. 12.6, ïîýòîìó åãî èçîáðàæåíèåíà ýòîì ðèñóíêå ÿâëÿåòñÿ ëèøü ñèìâîëîì.)Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà ïîëÿ â òî÷êå P ñêëàäûâàåòñÿ èç ñôåðè÷åñêèõ âîëí eikR /R, êàê áû èñõîäÿùèõ èç ýëåìåíòàðíûõ ïëîùàäîê dxdy.Íî â îòëè÷èå îò ðåàëüíîãî èñòî÷íèêà, ìîùíîñòü ôèêòèâíîãî èñòî÷íèêà,ïðèïèñûâàåìîãî ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå dxdy, áëàãîäàðÿ ìíîæèòåëþcos θ çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ.Ðèñ. 12.62.
Ïðîñòåéøèé ñëó÷àé ïðèìåíåíèÿ èíòåãðàëà Êèðõãîôà ïðîäåìîíñòðèðóåì íà ïðèìåðå âîëíû, ïàäàþùåé ïî íîðìàëè íà íåïðîíèöàåìûéýêðàí ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì, êîãäà òî÷êà íàáëþäåíèÿ ðàñïîëàãàåòñÿ íàîñè ñèììåòðèè (ðèñ. 12.7).Ðèñ. 12.7Çäåñü ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Ẽ, çàäàâàåìàÿ â ïëîñêîñòè z = 0 íåïîñðåä-www.phys.nsu.ru12.4. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà-Ôðåíåëÿ197ñòâåííî çà ýêðàíîì, îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî â ïðåäåëàõ îòâåðñòèÿ, ò.
å.(E0 ïðè r ≤ r0 ,Ẽ =0 ïðè r > r0 .Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå ñî ñëó÷àÿ ìàëîãî îòâåðñòèÿr0 ¿ zp ,êîãäà âõîäÿùèé â èíòåãðàë (12.11) ìíîæèòåëü cos θ ' 1 è èñêîìàÿ àìïëèòóäàZr0 ikRkeÊp =E02πrdr.2πiR0Ïîñêîëüêó ïåðåìåííûå R, r ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì R2 = zp2 + r2 , îòêóäàRdR = rdr, â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå óäîáíî ïåðåéòè ê íîâîé íåçàâèñèìîéïåðåìåííîé R è ïîëó÷èòükÊp = E0iZR0eikR dR,zpãäå R0 ðàññòîÿíèå îò êðàÿ îòâåðñòèÿ äî òî÷êè P (ðèñ. 12.7). Ýòîòèíòåãðàë åùå ðàç ïåðåïèøåì, ââåäÿ ïåðåìåííóþx = R − zp ,èìåþùóþ ñìûñë ðàçíîñòè õîäà ìåæäó ëó÷îì, èäóùèì èç òî÷êè íàîêðóæíîñòè ðàäèóñà r, è ëó÷îì èç öåíòðà îòâåðñòèÿ äî òî÷êè P. Âðåçóëüòàòå àìïëèòóäó ïîëÿ â òî÷êå P ïðèâåäåì ê õàðàêòåðíîìó âèäóikzpÊp = E0 ekiZx0eikx dx, x0 = R0 − zp ,(12.12)0ãäå E0 eikzp îïèñûâàåò ïîëå â îòñóòñòâèå ýêðàíà, à èíòåãðàë âìåñòå ñìíîæèòåëåì k/i, ñëåäîâàòåëüíî, îòâå÷àåò çà âëèÿíèå ýêðàíà ñ îòâåðñòèåì.
Õîòÿ ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíî, ÷èòàòåëþ ðåêîìåíäóåòñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òîZ x02eikx dx = sin(kx0 /2) eikx0 /2k0www.phys.nsu.ru198Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿè, ñëåäîâàòåëüíî,Êp = −2iE0 sin(kx0 /2) eik(zp +x0 /2) .(12.13)3. Àíàëèç ðåçóëüòàòà, êàê ýòî íè ïîêàæåòñÿ ñòðàííûì, èíòåðåñíî ïðîâîäèòü íå íà îñíîâå îêîí÷àòåëüíîãî âûðàæåíèÿ (12.13), à èñïîëüçóÿ äëÿýòîãî ñîîòíîøåíèå (12.12), ïîñêîëüêó ñîäåðæàùèéñÿ â íåì íåðàñêðûòûéèíòåãðàëZx0s(x0 ) =eikx dx0ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå åãî çàâèñèìîñòè îò ðàçíîñòè õîäà x0 â âèäå âåêòîðíîé äèàãðàììû. Ñ ýòîé öåëüþèíòåãðàë èçîáðàçèì êàê âåêòîð â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ïðåäñòàâèâåãî â âèäå ïðåäåëà èíòåãðàëüíîé ñóììûZx0= lim ΣN ,N →∞0ΣN =N−1X∆x eikn∆x ,∆x = x0 /N.(12.14)n=0Êàæäûé ÷ëåí ñóììû èìååò ìîäóëü ∆x, à àðãóìåíò êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî óâåëè÷èâàåòñÿ íà îäíî è òî æå çíà÷åíèå k∆x.
Çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíûå ÷ëåíû èíòåãðàëüíîé ñóììû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñòîðîíûïðàâèëüíîé ëîìàííîé, ïðîâåäåííîé â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ΣN ; îáùàÿ äëèíà ëîìàííîé ðàâíà x0 , à âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé íà÷àëî è êîíåöëîìàííîé èíòåãðàëüíàÿ ñóììà (ðèñ. 12.8, ïîñòðîåííûé äëÿ N = 8). ïðåäåëå N → ∞ âìåñòî ëîìàííîé ïîëó÷àåì äóãó îêðóæíîñòè ðàäèóñà 1/k , ïðè÷åì âåêòîð, ñîâïàäàþùèé ñ õîðäîé, ñòÿãèâàþùåé äóãóîïðåäåëåííîé äëèíû x0 , òåïåðü èçîáðàæàåò êîìïëåêñíîå ÷èñëî s(x0 )(ðèñ. 12.9)3 . Ïðè óâåëè÷åíèè x0 êîíåö âåêòîðà ñêîëüçèò ïî îêðóæíîñòè,âðàùàÿñü ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è ìîæåò ñîâåðøèòü íå îäèí îáîðîò,åñëè ðàçíîñòü õîäà ïðåâûøàåò äëèíó îêðóæíîñòè 2π/k = λ. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé íà÷àëî êîîðäèíàò êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòès c òî÷êîé íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà 1/k, çàäàâàåìîé äëèíîé äóãè x0 ,ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå (âåêòîðíóþ äèàãðàììó)èíòåãðàëà s(x0 ).
Îòñþäà âèäíî, ÷òî s(x0 ) ïåðèîäè÷åñêàÿ êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì λ, è îíà õàðàêòåðíà òåì, ÷òî ïðè âûäåëåííûõ3 Êàê âèäíî èç ðèñ. 12.9, äóãà x îïèðàåòñÿ íà óãîë kx (ò. ê. ïîñëåäíèé ýëåìåíò00äóãè åñòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî dxeikx0 ); ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñ îêðóæíîñòè äåéñòâèòåëüíî ðàâåí 1/k.www.phys.nsu.ru12.4. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà-Ôðåíåëÿ199çíà÷åíèÿõ ðàçíîñòè õîäàx0m = mλ/2(m = 0, 1, 2, . . .)(12.15)ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿ 0 (ïðè ÷åòíûõ) è 2i/k(ïðè íå÷åòíûõ) m.Ðèñ. 12.8Ðèñ. 12.9Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè çíà÷åíèÿõ (12.15) àìïëèòóäà ïîëÿ Êp è èíòåíñèâíîñòü âîëíû Ip = |Êp |2 â òî÷êå P, êàê ñëåäóåò èç ðåøåíèÿ (12.12), ïðèíèìàþò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿÊp max = 2E0 eikzp ,Ip max = 4I0 ,Ep min = 0,Ip min = 0,åñòåñòâåííî ñîãëàñóþùèåñÿ ñ ðåçóëüòàòîì (12.13) íåïîñðåäñòâåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.À èíòåíñèâíîñòü Ip = |Êp |2 = 4I0 sin2 kx0 /2, êàê ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ x0 ñ ïåðèîäîì λ, ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ.
12.10.4. Ïàðàãðàô çàâåðøèì ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ íåìàëûõ îòâåðñòèé,êîãäà ïðåäïîëîæåíèå cos θ = 1 íåñïðàâåäëèâî è èíòåãðàë Êèðõãîôà ñó÷åòîì cos θ = zp /(zp + x) ïðèíèìàåò âèäÊp = E0 eikzpkiZx00zpeikx dx.zp + x(12.16)www.phys.nsu.ru200Ãëàâà 12. ÄèôðàêöèÿÐèñ. 12.10Âîñïîëüçóåìñÿ èì äëÿ âû÷èñëåíèÿ àìïëèòóäû â òî÷êå P, êîãäà r0 → ∞,ò. å. ôàêòè÷åñêè ïðè îòñóòñòâèè ýêðàíà, ÷òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî èíòåãðàëÊèðõãîôà ïðè ýòîì ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîìó ðåçóëüòàòó E0 eikzp . (Íàïîìíèì, ÷òî âçÿòûé áåç ó÷åòà ìíîæèòåëÿ cos θ èíòåãðàë (12.12) íå ñòðåìèòñÿ ê îïðåäåëåííîìó ïðåäåëó ïðè r0 → ∞.) Èíòåãðàë (12.16) îòëè÷àåòñÿ îò (12.12) òîëüêî ìíîæèòåëåì u(x) = zp /(zp +x), î÷åíü ìåäëåííî (âìàñøòàáàõ äëèíû âîëíû) ñïàäàþùèì ïî ìåðå ðîñòà x.
Ïîýòîìó èíòóèòèâíî ïî÷òè î÷åâèäíî, ÷òî âåêòîðíàÿ äèàãðàììà èíòåãðàëà èç (12.16)Zx0u(x)eikx dxs1 (x0 ) =0ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîãóþ ñïèðàëü ñ öåíòðîì â òî÷êå i/k, ãðóáî ñõåìàòè÷íî ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 12.11, à èíòåðåñóþùåå íàñ çíà÷åíèås1 (∞) ðàâíî i/k.Ìåòîäîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé âåëè÷èíûëåãêî ïîëó÷àåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèås1 (∞) =i1[1 + O()],kkzpïîäòâåðæäàÿ òåì ñàìûì ñïðàâåäëèâîñòü âûñêàçàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿïðè óñëîâèè kzp À 1, ÿâëÿþùèìñÿ óñëîâèåì (12.10) ïðèìåíèìîñòè èíòåãðàëà Êèðõãîôà.www.phys.nsu.ru12.5. Çîíû Ôðåíåëÿ. Çîííàÿ ïëàñòèíêà201Ðèñ.
12.1112.5. Çîíû Ôðåíåëÿ. Çîííàÿ ïëàñòèíêàÏîëó÷åííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñ âûäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè (12.15) ðàçíîñòè õîäà x0 ïðîêîììåíòèðóåì çäåñü,ââåäÿ ïîíÿòèå çîíû Ôðåíåëÿ. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè zp ðàçíîñòü õîäà x0 = R0 − zp îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿðàäèóñîì îòâåðñòèÿ r0 . Ïîñêîëüêó ïðè zp À r0 äëÿ âåëè÷èíû x0 ñïðàâåäëèâî ïðèáëèæåíèåx0 = r02 /2zp ,âûäåëåííûì çíà÷åíèÿì ðàçíîñòè õîäà (12.15) ñîîòâåòñòâóåò íàáîð õàðàêòåðíûõ çíà÷åíèé ðàäèóñà îòâåðñòèÿr0m =pmλzp ,(12.17)ïðè êîòîðûõ èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå P èìååò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ.(Íàïîìèíàåì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (12.17) îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà ýêðàíñ îòâåðñòèåì îñâåùàåòñÿ íîðìàëüíî ïàäàþùåé ïëîñêîé âîëíîé.)Êîëüöåâûå îáëàñòè, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ñîñåäíèìè îêðóæíîñòÿìèðàäèóñîâ r0m , ÿâëÿþòñÿçîíàìè Ôðåíåëÿ, ïðè÷åì ïåðâàÿ çîíà ýòîpêðóã ðàäèóñà r01 = λzp , âòîðàÿ è ïîñëåäóþùèå çîíû çàíèìàþò îáëàñòè ñîîòâåòñòâåííî r01 < r < r02 è r0,m−1 < r < r0m (m ≥ 3).
Çàìåòèì,÷òî ïëîùàäè âñåõ çîí22π(r0m− r0,m−1) = πλzpwww.phys.nsu.ru202Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿîäèíàêîâû, à ïåðåõîä îò ðàäèóñà r0,m−1 ê r0m ñâÿçàí ñ óâåëè÷åíèåìðàçíîñòè õîäà x0 íà ïîñòîÿííóþ (íå çàâèñÿùóþ îò íîìåðà m) âåëè÷èíóR0m − R0,m−1 = λ/2;ñìûñë îáîçíà÷åíèé îáúÿñíÿåò ðèñ. 12.12.Ðèñ. 12.12Ôàêòè÷åñêè èìåííî ïîñëåäíåå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèåì çîíûÔðåíåëÿ êàê îáëàñòè, â ïðåäåëàõ êîòîðîé ðàçíîñòè õîäà äîñòèãàþò, íîíå ïðåâûøàþò ïîëîâèíû äëèíû âîëíû. À ôîðìóëû òèïà (12.17), îïðåäåëÿþùèå ðàäèóñû çîí Ôðåíåëÿ, â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ïîëó÷àþòñÿ ñâîè. (Ñêàçàííîå äîïîëíèòåëüíî èëëþñòðèðóåò ïðèìåð 2, ïðèâåäåííûé â êîíöå ïàðàãðàôà.)Òàêèì îáðàçîì, åñëè ðàäèóñ îòâåðñòèÿ ðàâåí r01 , ïðèR x êîòîðîì ðàçíîñòü õîäà x0 èìååò çíà÷åíèå λ/2 (è èíòåãðàë s(x0 ) = 0 0 eikx dx ðàâåí2i/k ), ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îòâåðñòèå çàíèìàåò îäíó ïåðâóþ çîíó Ôðåíåëÿ.
Ïðè ýòîì èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå P ìàêñèìàëüíà è ðàâíà Ip = 4I0 .Åñëè íàðÿäó ñ ïåðâîé√çîíîé îòêðûòü åùå è âòîðóþ, ò. å. ðàäèóñ îòâåðñòèÿ óâåëè÷èòü â 2 ðàç è ðàçíîñòü õîäà äîâåñòè äî çíà÷åíèÿ λ,èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå íàáëþäåíèÿ óïàäåò äî íóëÿ. Ïðè äàëüíåéøåìóâåëè÷åíèè r0 ïðîöåññ âîçðàñòàíèÿ è ñïàäàíèÿ èíòåíñèâíîñòè ïðîäîëæèòñÿ, ÷òî íàãëÿäíî âèäíî èç âåêòîðíîé äèàãðàììû èíòåãðàëà s(x0 ),ïðè÷åì ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü áóäåò â ÷åòûðå ðàçà ïðåâûøàòüèíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî íà ýêðàí ñâåòà.Èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå P ìîæíî óâåëè÷èòü âî ìíîãî ðàç, åñëè èçãîòîâèòü ýêðàí, êîòîðûé, êðîìå ïåðâîé çîíû îòêðûâàåò òðåòüþ, ïÿòóþè äðóãèå íå÷åòíûå çîíû Ôðåíåëÿ, êàê ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàíî íà ðèñ.12.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
