1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ñîãëàñíî Êèðõãîôó â êà÷åñòâå ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé èñêîìîé ôóíêöèè íà ýòîé ãðàíèöå ïðèíèìàþòñÿ çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåìûå ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîéîïòèêè. Òî åñòü ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ (12.2) çàäàåòñÿ â âèäå ñòóïåí÷àòîéôóíêöèè(Ê0 (x, y) ïðè (x, y) ∈ Σ,Ẽ(x, y) =(12.4)0 â îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè,ãäå Σ îáîçíà÷àåò îòâåðñòèå (îòêðûòóþ ÷àñòü ïëîñêîñòè z = 0), à Ê0 (x, y) àìïëèòóäà ïàäàþùåé âîëíû â òî÷êàõ îòâåðñòèÿ, âçÿòàÿ áåç ó÷åòà ïðåïÿòñòâèÿ.
Ôóíêöèÿ (12.4) ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ íåïðîçðà÷íîãî ïðåïÿòñòâèÿ, çà êîòîðûì ñóùåñòâóåò îáëàñòü òåíè. ×àñòî ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü ïðåïÿòñòâèÿ èç ïðîçðà÷íûõ ñðåä (ñòåêëî). Ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿçà òàêèì ïðåïÿòñòâèåì òîëüêî ôàçîé îòëè÷àåòñÿ îò àìïëèòóäû ïàäàþùåé âîëíû, ïðè÷åì äîïîëíèòåëüíûé íàáåã ôàçû ψ(x, y) ðàññ÷èòûâàåòñÿ â ïðèáëèæåíèè ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Òàêèì îáðàçîì, ãðàíè÷íàÿôóíêöèÿ Ẽ(x, y) â áîëåå îáùåì ñëó÷àå ìîæåò ñîñòîÿòü èç ñëåäóþùèõñòóïåíåê:Ê0 (x, y) − â îòêðûòîé ÷àñòè ïëîñêîñòè z = 0,Ê0 (x, y)eiψ(x,y) − â îáëàñòè çà ïðîçðà÷íûì ïðåïÿòñòâèåì,0 − â îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè.Ïðèìåð 1.
Îïðåäåëèòü ãðàíè÷íóþ ôóíêöèþ äëÿ ñëó÷àÿ äèôðàêöèèíà òîíêîé ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçå, ñîâìåùåííîé ñ îòâåðñòèåì ðàäèóñà r0â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 12.2. Ïàðàìåòðû ëèíçû: n ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ, R∗ ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, ïðè÷åìR∗ À r0 . Ñâåòîâàÿ âîëíà E0 ei(kz−ωt) ïàäàåò íà ýêðàí ïî íîðìàëè.Ïðè âû÷èñëåíèè íàáåãà ôàçû ñìåùåíèåì ëó÷à â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ëèíçû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà ñóììàðíàÿ îïòè÷åñêàÿ äëèíà ïóòè â ñëîå òîëùèíû ∆0 ìåæäó äâóìÿôèêòèâíûìè ïëîñêîñòÿìè ( ðèñ. 12.3) ðàâíà n∆(r) + (∆0 − ∆(r)) =www.phys.nsu.ru12.2.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è191= ∆0 + (n − 1)∆(r), ãäå ∆(r) òîëùèíà ëèíçû â ìåñòå ïðîõîæäåíèÿëó÷à. Îòñþäà âèäíî, ÷òî äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçíîñòü õîäà, ïðèîáðåòåííàÿâ ðàññìàòðèâàåìîì ñëîå èç-çà ïðèñóòñòâèÿ ñòåêëà, ðàâíà (n − 1)∆(r).Ðèñ. 12.2Ðèñ. 12.3Èç ðèñ. 12.3 èìååì ∆0 − ∆(r) = R∗ −òåëüíî,∆(r) = ∆0 −r22R∗pR∗2 − r2 ' r2 /2R∗ .
Ñëåäîâà-(∆0 =r02),2R∗è èñêîìàÿ ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèäẼ(r) =2 E0 eik(n−1)∆0 e−ik(n−1)r /2R∗0ïðè r ≤ r0ïðè r > r0 .(12.5)Òàêèì îáðàçîì, ïåðåìåííàÿ ÷àñòü íàáåãà ôàçû, îáóñëîâëåííàÿ ïðèñóòñòâèåì ëèíçû, ïðîïîðöèîíàëüíà r2 . Èìåííî áëàãîäàðÿ ýòîìó îáñòîÿòåëüñòâó ïëîñêàÿ âîëíà, ïàäàþùàÿ íà ëèíçó, ïîñëå íåå ïåðåõîäèò â ñõîäÿùóþñÿ ñôåðè÷åñêóþ âîëíó.
Íèæå â 12.5 ðåçóëüòàòîì (12.5) ìû âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè âîëíû â ôîêóñå ëèíçû. çàêëþ÷åíèå îòìåòèì èíòåðåñíóþ îñîáåííîñòü òåîðèè ÊèðõãîôàÃåëüìãîëüöà. Çäåñü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäà÷è ôîðìóëèðóþòñÿ ñ ïðèâëå÷åíèåì ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè íà áëèæíèõ ïóòÿõ îò ïðåïÿòñòâèÿäî òî÷åê ïëîñêîñòè z = 0, à ïîëó÷àþùååñÿ ðåøåíèå ïðàâèëüíî îïèñûâàåò ïîâåäåíèå âîëíû çà ïðåïÿòñòâèåì, îòëè÷àþùååñÿ îò òðåáîâàíèéãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè.www.phys.nsu.ru192Ãëàâà 12.
Äèôðàêöèÿ12.3. Ðåøåíèå çàäà÷è äèôðàêöèè ìåòîäîìðàçëîæåíèÿ íà ïëîñêèå âîëíûÈñêîìóþ ôóíêöèþ ïðåäñòàâèì â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíÊ(x, y, z) =12πZ ∞ZE(kx , ky )ei[kx x+ky y+√2 +k 2 ) z]ω 2 /c2 −(kxydkx dky (12.6)−∞ñ âîëíîâûìè âåêòîðàìè, èìåþùèìè äëèíó |k| = ω/c è ïîëîæèòåëüíóþz -êîìïîíåíòó. Ïðè ýòîì ïðåäñòàâëåíèå (12.6) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ(12.1) è òðåáîâàíèþ (12.3). À óñëîâèå (12.2) íà ãðàíèöå z = 0 ïðèâîäèòê ðàâåíñòâó1Ẽ(x, y) =2πZ ∞ZE(kx , ky )ei(kx x+ky y) dkx dky ,−∞îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî E(kx , ky ) + Ẽ(x, y), ò.
å. ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ E(kx , ky )âõîäÿùèõ â ðåøåíèå (12.6) âîëí ñîâïàäàåò ñ ôóðüå-îáðàçîì ãðàíè÷íîéôóíêöèè Ẽ(x, y), çàäàâàåìîé â âèäå (12.4).Ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ íàì ëåã÷å áóäåòïîíÿòü ïðè ðàññìîòðåíèè äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà. À ïîêà îòìåòèìëèøü, ÷òî íàáîð âîëí, ñîñòàâëÿþùèõ ðåøåíèå (12.6), õàðàêòåðèçóåòñÿ îïðåäåëåííûì ðàçáðîñîì âîëíîâûõ âåêòîðîâ. Íàïðèìåð, åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ äèôðàêöèÿ íà ýêðàíå ñ îòâåðñòèåì (ðèñ.
12.4), èìåþùèìõàðàêòåðíûå ðàçìåðû a è b ïî íàïðàâëåíèÿì x, y ñîîòâåòñòâåííî, òîïðîòÿæåííîñòü ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè Ẽ(x, y) (12.4) îïðåäåëÿåòñÿ ýòèìèðàçìåðàìè. Òîãäà, êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè (8.19),ðàçáðîñ âîëíîâûõ ÷èñåë ∆kx , ∆ky õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîðÿäêàìè âåëè÷èí∆kx ∼ π/a, ∆ky ∼ π/b.Ïàðàìåòðû ∆kx , ∆ky îïðåäåëÿþò óãëû äèôðàêöèè∆θx =∆kxλ∼ ,ka∆θy =∆kyλ∼ ,kb(12.7)êîòîðûå ïðîøåäøàÿ ÷åðåç îòâåðñòèå â ýêðàíå âîëíà ïðèîáðåòàåò ñîîòâåòñòâåííî â ïëîñêîñòè (x, z) è (y, z), êàê ñõåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâëåíî íàðèñ. 12.4 äëÿ ïëîñêîñòè (x, z).www.phys.nsu.ru12.3. Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ïëîñêèå âîëíû193Âûñêàçàííîå óòâåðæäåíèå, ïðàâèëüíîå ïî ñóùåñòâó, òðóäíî íàçâàòüäîêàçàòåëüíûì, ïîñêîëüêó ñîâñåì íå î÷åâèäíî, ÷òî ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ áåçãðàíè÷íî ïðîòÿæåííûõ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ âîëíîâûìè âåêòîðàìè, èìåþùèìè îïðåäåëåííûé ðàçáðîñ ïî íàïðàâëåíèÿì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîëíîâîå ïîëå, çàíèìàþùåå òàêîé îãðàíè÷åííûéîáúåì ïðîñòðàíñòâà â óçêîì òåëåñíîì óãëå ñ õàðàêòåðíûìè ðàçìåðàìè∆θx , ∆θy . äàëüíåéøåì, ïðè èçó÷åíèè äèôðàêöèè â ïðèáëèæåíèè Ôðàóíãîôåðà, ìû ïîëó÷èì âîçìîæíîñòü ïðî÷óâñòâîâàòü õàðàêòåðíûå ñâîéñòâàäèôðàãèðîâàííîé âîëíû è óâèäåòü, ÷òî óãîë äèôðàêöèè äåéñòâèòåëüíî õàðàêòåðèçóåòñÿ îöåíêàìè (12.7).
À ïîêà ïîëåçíî íåïîñðåäñòâåííî èçèíòåãðàëà (12.6) óâèäåòü îäíî âàæíîå ñâîéñòâî äèôðàãèðîâàííîé âîëíû. Çàêëþ÷àåòñÿ îíî â òîì, ÷òî íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ýêðàíà ñîòâåðñòèåì àìïëèòóäà âîëíû â ëþáîé òî÷êå P ïîëóïðîñòðàíñòâà z > 0ôàêòè÷åñêè îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ôóíêöèè E(kx , ky ) òîëüêî â îäíîé(p)(p) (p)(p)(p) (p)ôèêñèðîâàííîé òî÷êå kx = k sin θx , ky = k sin θy , ãäå θx , θy (p)(p)óãëîâûå êîîðäèíàòû òî÷êè P (ò.
å. xp = zp tg θx , yp = zp tg θy ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè óãëàõ, ïðåâûøàþùèõ çíà÷åíèÿ (12.7), àìïëèòóäàâîëíû äåéñòâèòåëüíî ïðåíåáðåæèìî ìàëà, ÷åì ïîäòâåðæäàåòñÿ âûñêàçàííîå óòâåðæäåíèå îá óãëàõ äèôðàêöèè.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàçâàííîãî ñâîéñòâà äèôðàãèðîâàííîé âîëíûäîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ñòàöèîíàðíîé ôàçû äëÿ îöåíêèèíòåãðàëà (12.6), ïîêàçàâ, ÷òî òî÷êàìè ñòàöèîíàðíîé ôàçû ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ïðèâåäåííûå âûøå çíà÷åíèÿ kx , ky .
Îãðàíè÷èìñÿ äëÿ ïðîñòîòû ñëó÷àåì äèôðàêöèè íà ùåëè, ïàðàëëåëüíîé îñèy, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 12.5.Ðèñ. 12.4Ðèñ. 12.5www.phys.nsu.ru194Ãëàâà 12. ÄèôðàêöèÿÏðè ýòîì ðåçóëüòàò äèôðàêöèè âûðàæàåòñÿ îäíîìåðíûì èíòåãðàëîì1Ê(xp , yp ) = √2πZ∞E(kx )ei(kx xp +√2 z )k2 −kxpdkx(12.8)−∞(àíàëîã ðåøåíèÿ (12.6)), ãäå E(kx ) + Ẽ(x). ( êîíêðåòíîì ïðèìåðå íîðìàëüíî ïàäàþùåé âîëíû E0 exp i(kz − ωt) ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Ẽ(x) =E0 ïðè |x|√ < a/2, Ẽ(x) = 0 ïðè |x| > a/2, è E(kx ) == (E0 a/ 2π)(sin kx a/2)/(kx a/2). Íî ìû ðàññìàòðèâàåì îáùèé ñëó÷àé.)Êàê óæå îòìå÷àëîñü, èç ðåøåíèÿ (12.8) âîâñå íå âèäíî, ÷òî àìïëèòóäà èñêîìîãî ïîëÿ â òî÷êå P îïðåäåëÿåòñÿ ôóðüå-êîìïîíåíòîé E(kx ) ïðèêàêîì-òî îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè kx ; íàîáîðîò, ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî âåñüñïåêòð E(kx ) âíîñèò âêëàä â Ê(xp , zp ). Äëÿ òî÷åê P, ðàñïîëîæåííûõíåäàëåêî îò ùåëè, äåéñòâèòåëüíî, òàê âñå è ïðîèñõîäèò. Íî íåòðóäíîïîêàçàòü, ÷òî¯ åñëè kzp À 1, òî àìïëèòóäà ïîëÿ Êp çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèÿ E(kx )¯k =k sin α , ãäå αp óãëîâàÿ êîîðäèíàòà òî÷êè P (ðèñ.
12.5).xpÄëÿ ýòîãî ðåøåíèå (12.8) âèäîèçìåíèì, âûäåëèâ â ýêñïîíåíòå áåçðàçìåðíûé ìíîæèòåëü kzp À 1 è ââåäÿ âñïîìîãàòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿχ = kx /k,ϕ(χ) = χ tg αp +p1 − χ2 . ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòü èíòåãðàëkE(αp , zp ) = √2πZ∞E(kx )eikzp ϕ(χ) dχ,−∞òîëüêî îáîçíà÷åíèÿìè îòëè÷àþùèéñÿ îò (9.25). Ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà χêàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ϕ0 (χ∗ ) = 0 èìååò çíà÷åíèå χ∗ = sin αp , à ïðèχ = χ∗ , êàê ëåãêî ïðîâåðèòü,ϕ(χ∗ ) =11, ϕ00 (χ∗ ) = − 3.cos αpcos (αp )Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèåkx∗ = kχ∗ = k sin αp ,à ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ èíòåãðàëà îïðåäåëÿåòñÿwww.phys.nsu.ru12.4. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà-Ôðåíåëÿ195ôîðìóëîé (9.30), è äëÿ ðåøåíèÿ (12.8) èìååìE(k ∗ )kzpπ p1Ê(αp , zp ) ∼ k √ x exp [i(− )] 2π cos3 αp p=cos αp4kzp2πr¯2π ikRp=ecos αp E(kx )¯kx =k sin αp ,iλRp(12.9)ãäå Rp = zp / cos αp ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî òî÷êè P(ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
