1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ìîæíî, íàîáîðîò, îòêðûâàòü îäíè ÷åòíûå çîíû Ôðåíåëÿ. Òàêîéýêðàí íàçûâàåòñÿ çîííîé ïëàñòèíêîé; åñëè îí ñîäåðæèò N çîí, èç êîòî-www.phys.nsu.ru12.5. Çîíû Ôðåíåëÿ. Çîííàÿ ïëàñòèíêà203ðûõ N/2 îòêðûòû, èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå P áóäåòIp = 4I0 (N/2)2 ,ò. ê. ïîëÿ, ïðèõîäÿùèå èç îòêðûòûõ çîí, ñêëàäûâàþòñÿ, ïðè÷åì âñåîíè îäèíàêîâû è ðàâíû 2E0 eikzp (ïðè îòêðûòûõ íå÷åòíûõ çîíàõ) èëè−2E0 eikzp (ïðè ÷åòíûõ çîíàõ).Ìîæíî äîñòè÷ü åùå áîëüøåé ÿðêîñòè â òî÷êå P (â ôîêóñå), åñëè íåçàäåðæèâàòü âîëíû, ïðèõîäÿùèå îò ÷åòíûõ çîí â òî÷êó P, à ñîîáùèòüèì èçìåíåíèå ôàçû íà π. Ýòîãî äîáèâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé ôàçîâîé çîííîé ïëàñòèíêè, íàïðèìåð, â âèäå ñòåêëÿííîãî äèñêà ñòîëùèíîé, ÿâëÿþùåéñÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé ðàäèóñà, òàêæå ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåííîãî íà ðèñ.
12.13.Ðèñ. 12.13 ïðåäåëàõ êàæäîé çîíû òîëùèíà ïîñòîÿííà, à ïðè ïåðåõîäå ê ñîñåäíåé ìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó ñòóïåíüêè ∆, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ(n − 1)∆ = λ/2, ñîçäàâàÿ òåì ñàìûì äîïîëíèòåëüíûé îïòè÷åñêèé ïóòü,ðàâíûé ïîëîâèíå äëèíû âîëíû.  ýòîì ñëó÷àå èíòåíñèâíîñòü ñâåòà âòî÷êå PIp = 4I0 N 2â÷åòâåðî áîëüøå, ÷åì çà ïðîñòîé çîííîé ïëàñòèíêîé.Ïðåäåëüíûì ñëó÷àåì ðàññìàòðèâàåìîépôàçîâîé ïëàñòèíêè ìîæíîñ÷èòàòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó ðàäèóñà r0 = N λ zp , ñîäåðæàùóþ N çîíÔðåíåëÿ äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ P. Åñëè òî÷êà P ñîâïàäàåò ñ ôîêóñîì,âîëíû îò âñåõ ýëåìåíòàðíûõ êîëåö â ïëîñêîñòè çà ëèíçîé ïðèõîäÿò âôîêóñ F ñ îäèíàêîâîé ôàçîé è ñîçäàþò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ èí-www.phys.nsu.ru204Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿòåíñèâíîñòü, ðàâíóþIF = (πN )2 I0 = (πr02 /(λF ))2 I0 .(12.18)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû (12.18) â êà÷åñòâå ãðàíè÷íîé ôóíêöèè Ẽ â èíòåãðàëåÊèðõãîôàkÊp =2πiZr0Ẽ(r)0eikR2πrdrRïðèìåì ðåçóëüòàò (12.5)Ẽ(r) = E0 e−ik(n−1)r2/2R∗,ïîëó÷åííûé äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû (ðèñ.
12.14) ñ ðàäèóñîìêðèâèçíû ïîâåðõíîñòè R∗ (ïîñòîÿííûé ôàçîâûé ìíîæèòåëü îïóñêàåì). ÐàññòîÿíèåR â ýêñïîíåíòå eikR ïîä èíòåãðàëîì çàìåíèì íà zp + r2 /2zp è çàìåòèì, ÷òî ïðèzp =R∗n−1(ò. å. êîãäà òî÷êà P ÿâëÿåòñÿ ôîêóñîì) ñóììàðíàÿ ôàçà ïðèõîäÿùèõ â òî÷êó P âîëíäåéñòâèòåëüíî ïîñòîÿííà. Ïðè ýòîì Êp ïðèîáðåòàåò âèäkÊp =E0 eikzp2πiZr002πrdr,R÷òî ïîñëå ïåðåõîäà ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ïåðåìåííîé R äàåòÊp =kE0 eikzp 2π(R0 − zp ).2πiÒàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è R0 − zp = N λ/2, îòñþäà ñëåäóåò òðåáóåìûé ðåçóëüòàòÊF = −iπN E0 eikF ,IF = (πN )2 I0 .Ðèñ. 12.14 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ðàññìîòðåíèå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçûíå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòè ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà.www.phys.nsu.ru12.5.
Çîíû Ôðåíåëÿ. Çîííàÿ ïëàñòèíêà205Ïðèìåð 2. Çîíû Ôðåíåëÿ äëÿ äèôðàêöèè îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà. Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è äàíà íà ðèñ. 12.15. Ïðèíÿòî, ÷òîr0 ¿ (a, b)(1)è ñïðàâåäëèâî ïðèáëèæåíèå cos θ = 1.Ðèñ. 12.15 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò íóëÿïðè 0 < r < r0 , çàäàåòñÿ êàê àìïëèòóäà ñôåðè÷åñêîé âîëíûẼ(r) = ϕ0eikR1, ϕ0 = const,R1ãäå R1 ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà äî ýëåìåíòàðíîãî êîëå÷êà â ïëîñêîñòè îòâåðñòèÿ. Ïðè ýòîì èíòåãðàë Êèðõãîôà äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ Pèìååò âèäZr0 ik(R1 +R)keÊp =ϕ02πrdr.(2)2πiR1 R0Ïðè óñëîâèè (1) â êà÷åñòâå ðàññòîÿíèé R1 , R ìîæíî ïðèíÿòü ïðèáëèæåíèÿr2r2R1 = a + , R = b + ,(3)2a2bïðè÷åì â çíàìåíàòåëå ïîä èíòåãðàëîì äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ íóëåâûìè ïðèáëèæåíèÿìè.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìk ϕ0 ik(a+b)Êp =ei abZr0r2 1 1( + )e 2 a b rdr.ik0Êàê ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ (3),r2 1 1( + ) = (R1 + R) − (a + b) = x,2 a bwww.phys.nsu.ru206Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿãäå x ñóììàðíàÿ ðàçíîñòü õîäà ëó÷åé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó îêðóæíîñòè ðàäèóñà r è ÷åðåç öåíòð îòâåðñòèÿ. Òîãäàrdr =abdx,a+bè äëÿ èñêîìîé âåëè÷èíû ïîëó÷àåì îòâåòϕ0 ik(a+b) kÊp =ea+biZx0eikx dx0¡x0 =r02 1 1 ¢( + ) ,2 a bïî ñòðóêòóðå ñîâïàäàþùèé ñ ðåçóëüòàòîì (12.12).
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñû çîí Ôðåíåëÿ, îïðåäåëÿåìûå òðåáîâàíèåì x0m = m λ/2, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âûðàæàþòñÿ ôîðìóëîérabr0m = mλ.a+b12.6. Âûâîä èíòåãðàëà ÊèðõãîôàÐåøåíèå çàäà÷è (12.1)(12.3) â ôîðìå èíòåãðàëà (12.11) èìååò îñíîâîïîëàãàþùåå çíà÷åíèå â òåîðèè äèôðàêöèè, ïîýòîìó äàííûé ïàðàãðàôïîñâÿòèì ïîëó÷åíèþ ýòîãî ðåøåíèÿ.1.  êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà íàïîìíèì èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó ÃðèíàZZ∂ Ê∂ Ĝ(Ĝ∆Ê − Ê∆Ĝ)dv = (Ĝ− Ê)ds,(1)∂n∂nVSçàïèñàííóþ äëÿ íåêîòîðîãî îáúåìà V, îãðàíè÷åííîãî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ S, ãäå n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ýëåìåíòó ïîâåðõíîñòè.
ÔóíêöèèÊ, Ĝ íåïðåðûâíû ñî ñâîèìè ïåðâûìè è âòîðûìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè â îáúåìå V, âêëþ÷àÿ ïîâåðõíîñòü S.2. Ñëåäóþùèì øàãîì ïîêàæåì, ÷òî, âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèåì (1), àìïëèòóäó âîëíû Ê â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå P0 ìîæíî âûðàçèòü÷åðåç çíà÷åíèÿ Ê è ∂ Ê/∂n íà ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S,îêðóæàþùåé òî÷êó P0 (ñì. íèæå ñîîòíîøåíèå (5)). Äëÿ ýòîãî â êà÷åñòâå Ĝ ïðèìåì àìïëèòóäó ñôåðè÷åñêîé âîëíû ñ öåíòðîì â òî÷êå P0 ,çàäàâàåìóþ ñîîòíîøåíèåìĜ = eikr /r,(2)www.phys.nsu.ru12.6.
Âûâîä èíòåãðàëà Êèðõãîôà207ãäå r ðàññòîÿíèå îò P0 äî ïðîèçâîëüíîé òî÷êè. Êàê ñëåäóåò èç 7.11.,ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò òîìó æå óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà∆Ĝ + k 2 Ĝ = 0,÷òî è èñêîìàÿ àìïëèòóäà Ê. Ïîñêîëüêó Ĝ(r) îáëàäàåò îñîáåííîñòüþ,òî÷êó P0 îêðóæèì ñôåðîé S² áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðàäèóñà ² è èñêëþ÷èìèç îáëàñòè V (ðèñ. 12.16). Ê îñòàâøåìóñÿ îáúåìóV 0 = V − V² ,îãðàíè÷åííîìó âíåøíåé ãðàíèöåé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ÷àñòåé S 0 = S+S² ,ïðèìåíèì èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó (1). Òàê êàê îáå ôóíêöèè Ê è Ĝ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà, ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ëåâîé÷àñòè (1) ïðè ýòîì òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ è, ñëåäîâàòåëüíî,ZZ∂ Ê∂ Ĝ∂ Ê∂ Ĝ(Ĝ− Ê)ds + (Ĝ− Ê)ds = 0.(3)∂n∂n∂n∂nSS²Ðèñ.
12.16Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ∂ Ĝ/∂n â ëþáîé òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé ãðàíèöàì S, S² , îïðåäåëÿåòñÿ êàê∂ Ĝ∂ Ĝ1 eikr= (grad Ĝ · n) =(er · n) = (ik − )(er · n),∂n∂rr rïðè÷åì äëÿ òî÷åê ãðàíèöû S²(er · n) = −1.(4)www.phys.nsu.ru208Ãëàâà 12. ÄèôðàêöèÿÒîãäà äëÿ èíòåãðàëà ïî ïîâåðõíîñòè S² , âõîäÿùåãî â ðàâåíñòâî (3), ïîòåîðåìå î ñðåäíåì èìååìZ(Ĝ¯ ik²£ eik² ∂ Ê ¯¤∂ Ê∂ Ĝ¯ + Ê ¯ e (ik − 1 ) ,− Ê)ds = 4π²2∗∗∂n∂n² ∂n²²S²ãäå çâåçäî÷êîé îòìå÷åíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èííà ñôåðå S² . Ïðè ² → 0 ïåðâîå ñëàãàåìîå èç ýòîé ñóììû îáðàùàåòñÿ âíóëü, à âî âòîðîì ñîäåðæèòñÿ ÷àñòü, ñòðåìÿùàÿñÿ ê íåíóëåâîìó çíà÷åíèþ, ðàâíîìó¯ −4π Êp , ò.
ê. â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè Ê î÷åâèäíî,÷òî lim²→0 Ê ¯∗ = Êp .Òàêèì îáðàçîì, èç ñîîòíîøåíèÿ (3) ïðèõîäèì ê òàê íàçûâàåìîé èíòåãðàëüíîé òåîðåìå Ãåëüìãîëüöà-Êèðõãîôà#Z "1∂ Ê∂ ĜÊ(P0 ) =Ĝ − Êds,(5)4π∂n∂nSçàâåðøàþùåé âòîðîé ýòàï ðàññìàòðèâàåìîãî âûâîäà.3. Ïðèìåíèì ïîëó÷åííóþ èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó (5) ê çàäà÷å äèôðàêöèè, ïðåäñòàâèâ òî÷êó P0 ïðèíàäëåæàùåé îáëàñòè z > 0 çà ýêðàíîì (ðèñ.
12.17).Ðèñ. 12.17 êà÷åñòâå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè ïðèìåì ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ñôåðûðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå P0 (ïîâåðõíîñòü S2 ), çàìêíóâ åå ÷àñòüþwww.phys.nsu.ru12.6. Âûâîä èíòåãðàëà Êèðõãîôà209ïëîñêîñòè, ïðèìûêàþùåé ê ïëîñêîñòè z = 0 (ïîâåðõíîñòü S1 ). Ñëåäîâàòåëüíî,#Z "1∂ Ê∂ ĜÊ(P0 ) =Ĝ − Êds,(6)4π∂n∂nS1 +S2ãäå, íàïîìèíàåì, ôóíêöèÿ Ĝ îïðåäåëåíà ñîîòíîøåíèåì (2).Âûÿñíèì óñëîâèå, ïðè êîòîðîì âêëàä ïîâåðõíîñòè S2 â èíòåãðàë (6)ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ R.
Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî íàïîâåðõíîñòè S2Ĝ = eikR /R,à ïðîèçâîäíàÿ ∂ Ĝ/∂n, êàê ñëåäóåò èç (4),∂ Ĝ1 eikR= (ik − )' ik Ĝ,∂nR Rãäå ïîñëåäíåå ïðèáëèæåíèå ñïðàâåäëèâî âñëåäñòâèå R À λ. Ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë, òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñâåñòè ê ñëåäóþùåìó âèäó:Z(Ĝ∂ ÊeikR− ik ĜÊ)ds =∂nRZ(∂ Ê− ik Ê)R2 dΩ,∂nΩS2ãäå Ω òåëåñíûé óãîë ñ âåðøèíîé â òî÷êå P0 , ñòÿãèâàåìûé ïîâåðõíîñòüþ S2 . Îòñþäà âèäíî, ÷òî äàííàÿ âåëè÷èíà áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþïî ìåðå ñòðåìëåíèÿ R ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè óñëîâèè, ÷òîlim R(R→∞∂ Ê− ik Ê) = 0∂n(7)ðàâíîìåðíî âî âñåì òåëåñíîì óãëå. Ýòî òðåáîâàíèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì Çîììåðôåëüäà äëÿ èçëó÷åíèÿ, à â âûïîëíèìîñòè ýòîãî óñëîâèÿ ìûóáåæäàåìñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ â êà÷åñòâå Ê ïîëÿ ñôåðè÷åñêîé âîëíû, èñõîäÿùåé èç òî÷êè ïëîñêîñòè S1 (ñì. Ïðèìåð 3).
Ïðè ýòîì èìååì â âèäó,÷òî îáùåå ïîëå (12.11) ñîñòîèò èç íàáîðà òàêèõ âîëí.Óñòðàíèâ èíòåãðèðîâàíèå ïî ïîâåðõíîñòè S2 , ïîëå Ê â òî÷êå P0 òåïåðü ìîæåì âûðàçèòü ÷åðåç ïîëå è åãî ïðîèçâîäíóþ ïî íîðìàëè, âçÿòûåíà áåñêîíå÷íîé ïëîñêîñòè S1 , ðàñïîëîæåííîé íåïîñðåäñòâåííî çà ýêðàíîì:#Z "1∂ Ĝ∂ ÊÊ(P0 ) =Ĝ − Êds.(8)4π∂n∂nS1www.phys.nsu.ru210Ãëàâà 12. ÄèôðàêöèÿÌîæíî áûëî áû äóìàòü, ÷òî ýòà ôîðìóëà äàåò èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷èäèôðàêöèè.
Íà ñàìîì äåëå âûðàæåíèå (8), òðåáóþùåå äëÿ îïðåäåëåíèÿÊ(P0 ) çíàíèÿ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé íå òîëüêî èñêîìîé ôóíêöèè, íî îäíîâðåìåííî åùå è åå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé, âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâîè íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå îêîí÷àòåëüíîãî ðåøåíèÿ.4. Ñëåäóþùèé øàã, ïðåäëîæåííûé Çîììåðôåëüäîì, èñêëþ÷àåò íåîáõîäèìîñòü îäíîâðåìåííîãî íàëîæåíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ïîëå è åãîïðîèçâîäíóþ ïî íîðìàëè. Áûëî çàìå÷åíî, ÷òî ñîîòíîøåíèå (8) îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è ïðè äðóãîì âûáîðå ôóíêöèè Ãðèíà Ĝ, åñëè òîëüêîýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà è èìååò òó æå îñîáåííîñòü â òî÷êå P0 , ÷òî è ôóíêöèÿ (2), à íà ïîâåðõíîñòè S1 ìîæåòáûòü ïðîèçâîëüíà.
 ÷àñòíîñòè, åñëè â êà÷åñòâå Ĝ ïðèíÿòü ôóíêöèþ,îáðàùàþùóþñÿ â íóëü íà âñåé ïîâåðõíîñòè S1 (îáîçíà÷èì åå ñèìâîëîìĜ1 ), íåîáõîäèìîñòü â íàëîæåíèè ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ íà ïðîèçâîäíóþ∂ Ê/∂n îòïàäàåò.Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèÿ Ãðèíà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íàçâàííîìóòðåáîâàíèþ, ñóùåñòâóåò è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå êîìáèíàöèèäâóõ ñôåðè÷åñêèõ âîëí. Öåíòð ïåðâîé èç íèõ íàõîäèòñÿ â òî÷êå P0 , àäëÿ âòîðîé öåíòðîì ñëóæèò ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êà P̃0 , ëåæàùàÿ ïî äðóãóþ ñòîðîíó ýêðàíà (ðèñ.
12.18). Çäåñü ðàññòîÿíèÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõöåíòðîâ äî ïðîèçâîëüíîé òî÷êè â ïîëóïðîñòðàíñòâå z > 0 îáîçíà÷åíûñèìâîëàìè r è ρ, òàê ÷òîĜ1 (P ) =¯eikreikρ−, ïðè÷åì Ĝ1 ¯S ≡ 0.1rρÄëÿ ïðîèçâîäíîé ∂ Ĝ1 /∂n â òî÷êàõ P1 , ëåæàùèõ íà ãðàíèöå S1 (ðèñ. 12.19),ñîãëàñíî (4) èìååì1 eikr011 eikρ01∂ Ĝ1= (ik −)(er · n) − (ik −)(eρ · n).∂nr01 r01ρ01 ρ01Òàê êàê äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ òî÷åêr01 = ρ01 , (er · n) = −(eρ · n),èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ïîëó÷àåì∂ Ĝ11 eikr01= 2(ik −)(er · n).∂nr01 r01www.phys.nsu.ru12.6.
Âûâîä èíòåãðàëà ÊèðõãîôàÐèñ. 12.18211Ðèñ. 12.19Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (12.10), ýêâèâàëåíòíîãî r01 À λ, îòñþäà ñëåäóåòeikr01∂ Ĝ1= 2ik(er · n),∂nr01¯÷òî â ñîâîêóïíîñòè ñ óñëîâèåì Ĝ1 ¯S ≡ 0, áóäó÷è ïîäñòàâëåííûìè â1ôîðìóëó (8), ïðèâîäÿò ê îêîí÷àòåëüíîìó âûðàæåíèþ äëÿ èñêîìîé âåëè÷èíûZikeikr01Ê(P0 ) = −Ê(x, y)(er · n)ds.(9)2πr01S1Äàííûé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé âñëåäñòâèå äåÿòåëüíîñòè âûäàþùèõñÿ ó÷åíûõ îò Ãþéãåíñà-Ôðåíåëÿ äî Êèðõãîôà-Ãåëüìãîëüöà è ÐýëåÿÇîììåðôåëüäà, äëÿ êðàòêîñòè íàçûâàþò èíòåãðàëîì Êèðõãîôà. Êàæóùååñÿ îòëè÷èå ôîðìóëû (9) îò âûðàæåíèÿ (12.11), èñïîëüçîâàâøåãîñÿâ 12.4., îáóñëîâëåíî òîëüêî îáîçíà÷åíèÿìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
