1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Íî ïåðåä ýòèì îí ñòàíîâèòñÿ ¿ 1 è äèôðàêöèÿ Ôðåíåëÿïåðåõîäèò â äèôðàêöèþ Ôðàóíãîôåðà.www.phys.nsu.ru12.9. Ïðèìåðû äèôðàêöèîííûõ êàðòèí Ôðàóíãîôåðà12.9. Ïðèìåðû äèôðàêöèîííûõ êàðòèíÔðàóíãîôåðà219Ïåðâûå äâà ïðèìåðà ìû ïðèâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ ìàëîãî (èëè âîâñåíóëåâîãî) óãëà ïàäåíèÿ, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâû ðåçóëüòàòû (12.29),(12.30). Çàòåì ýòè ôîðìóëû îáîáùèì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî óãëà ïàäåíèÿè ðåçóëüòàò îáîáùåíèÿ ïðîäåìîíñòðèðóåì íà äîïîëíèòåëüíîì ïðèìåðå.1.
Äèôðàêöèÿ íà ùåëè. Äëÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà íà ýêðàí ñî ùåëüþ øèðèíû a ïàäàåò ïîäíåêîòîðûì ìàëûì óãëîì α0 ¿ 1, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 12.5. Ïðè ýòîìãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò íóëÿ â èíòåðâàëå |x| ≤ a/2, ðàâíàẼ(x) = E0 eikα0 x ,(12.31)à åå ôóðüå-îáðàçE0Ẽ(kx ) = √2πZa/2−a/2E0 aeikα0 x e−ikx x dx = √ sinc[(kx − kα0 )a/2].2π(12.32)Àìïëèòóäà äèôðàãèðîâàííîé âîëíû â òî÷êå íàáëþäåíèÿ P ñ óãëîâîéêîîðäèíàòîé αp = xp /zp (ñì. ðèñ.
12.5), îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì(12.30), ïîñëå îòáðàñûâàíèÿ íåñóùåñòâåííîãî ôàçîâîãî ìíîæèòåëÿ ïðèîáðåòàåò âèäsk E0 a√Êp =sinc[k(αp − α0 )a/2].izp 2πÎòñþäà èíòåíñèâíîñòü ðàâíàIp = Ip0 sinc2 [k(αp − α0 )a/2](12.33)è èìååò ðàñïðåäåëåíèå ñ õàðàêòåðíûì óãëîì äèôðàêöèè λ/a, ïðåäñòàâëåííîå íà ðèñ. 12.23. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè â öåíòðåäèôðàêöèîííîé êàðòèíûIp0 = (a2 /λzp )I0(I0 = E02 )ïðîïîðöèîíàëüíî ïàðàìåòðó Ôðåíåëÿ, óäîâëåòâîðÿþùåìó óñëîâèþ (12.27).Ñëåäîâàòåëüíî, íà ðàññòîÿíèÿõ zp À a2 /λ, ãäå ñïðàâåäëèâû ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ, èíòåíñèâíîñòü ìàëà, è ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùóþ äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó Ôðàóíãîôåðà íàáëþäàþò â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, óñòàíîâëåííîé íåïîñðåäñòâåííî çà ýêðàíîì, êàê ïîêàçàíî íàðèñ.
12.24. Ïðè ýòîì Ip0 = (a2 /λF )I0 .www.phys.nsu.ru220Ãëàâà 12. ÄèôðàêöèÿÐèñ. 12.23Ðèñ. 12.242. Äèôðàêöèÿ íà ïðÿìîóãîëüíîì îòâåðñòèè. Äëÿ îòâåðñòèÿ ñðàçìåðàìè a, b ïî îñÿì x, y è íîðìàëüíî ïàäàþùåé âîëíû ãðàíè÷íàÿôóíêöèÿ Ẽ(x, y) îòëè÷íà îò íóëÿ è ðàâíà E0 òîëüêî â ïðåäåëàõ | x |≤≤ a/2, | y |≤ b/2. Åå ôóðüå-îáðàçẼ(kx , ky ) =¡ kxp a ¢¡ kyp b ¢E0 absincsinc,2π2zp2zpà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè äèôðàãèðîâàííîé âîëíû â ïëîñêîñòè z = zp , êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (12.29), èìååìI(xp , yp ) = I0¡ ab ¢2¡ kxp a ¢¡ kyp b ¢sinc2sinc2.λzp2zp2zpÂìåñòî ñõåìàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ äàííîãî äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà ðèñ. 12.25 ïðèâåäåíà ôîòîãðàôèÿ êàðòèíû äèôðàêöèè íà ïðÿìîóãîëüíîì îòâåðñòèè ñ îòíîøåíèåì ñòîðîí a/b = 17/64 . Âèäíî, ÷òîäèôðàêöèîííûå ïÿòíà âûòÿíóòû â íàïðàâëåíèè y, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ññîîòâåòñòâóþùèìè óãëàìè äèôðàêöèè ∆θx ∼ λ/a, ∆θy ∼ λ/b.3.×òîáû ñäåëàòü âîçìîæíûì èññëåäîâàíèå êàðòèíû äèôðàêöèè äëÿñëó÷àÿ íàêëîííî ïàäàþùåé âîëíû, êîãäà ïðåäñòàâëÿþùàÿ èíòåðåñ îáëàñòü íàáëþäåíèÿ íàõîäèòñÿ â ñòîðîíå îò îñè z, îòêàæåìñÿ îò ïðåäïîëîæåíèÿ cos θ = 1 è ôîðìóëû (12.28)(12.30) ñîîòâåòñòâåííî îáîáùèì.Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèå R îò ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêè dxdy äîòî÷êè íàáëþäåíèÿ ïðåîáðàçóåì,ââåäÿ â êà÷åñòâå îñíîâíîãî åãî çíà÷åq22íèÿ ðàññòîÿíèå Rp = zp + xp + yp2 îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî òî÷êè P4 Ëþáåçíî ïðåäîñòàâëåíà ñîòðóäíèêàìè Ëàáîðàòîðèè äåìîíñòðàöèé ÍÃÓ.www.phys.nsu.ru12.9.
Ïðèìåðû äèôðàêöèîííûõ êàðòèí Ôðàóíãîôåðà221(ðèñ. 12.22):q(x2 + y 2 ) − 2(xp x + yp y)R = Rp2 + (x2 + y 2 ) − 2(xp x + yp y) ' Rp +.2RpÐèñ. 12.25Â çíàìåíàòåëå âûðàæåíèÿ (12.11) R çàìåíèì íà Rp , â ýêñïîíåíòå eikR íà Rp − (xp x + yp y)/Rp (òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ïðèáëèæåíèåÔðàóíãîôåðà), à cos θ çàìåíèì íà cos θp , ãäå θp óãîë ìåæäó îñüþ z èâåêòîðîì Rp (ðèñ.
12.22), íå çàâèñÿùèé îò ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿx, y.  ðåçóëüòàòå âìåñòî ôîðìóë (12.28)(12.30) ïîëó÷èì èõ îáîáùåíèÿkÊp =eikRp cos θp2πiRpZ∞ZẼ(x, y) exp{−ik−∞xp x + yp y}dxdy,Rp(12.34)¯¯k ikRpecos θp Ẽ(kx , ky )¯¯,(12.35)iRpkx =kxp /Rp ,ky =kyp /Rps¯¯k ikRpecos αp Ẽ(kx )¯¯Êp =,(12.36)iRpkx =kxp /Rpïîëíîñòüþ ñîâïàäàþùèå ñ ãëàâíûì ÷ëåíîì àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ èíòåãðàëà (12.6), êîòîðûé â îäíîìåðíîì ñëó÷àå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé (12.9).Êp =www.phys.nsu.ru222Ãëàâà 12. ÄèôðàêöèÿÂîñïîëüçóåìñÿ ïîñëåäíåé ôîðìóëîé ((12.36) èëè (12.9), ÷òî îäíî èòî æå) äëÿ çàäà÷è äèôðàêöèè íà ùåëè, ñ÷èòàÿ óãîë ïàäåíèÿ α0 ïðîèçâîëüíûì. Ïðè ýòîì âìåñòî ôóíêöèé (12.31), (12.32) ïîëó÷àåìẼ(x) = E0 eik sin α0 x ,E0 aẼ(kx ) = √ sinc[(kx − k sin α0 )a/2].2πÇàìåíèâ â ôîðìóëå (12.36) xp /Rp íà sin αp , ðåçóëüòàò ïðèâåäåì ê âèäóE0 a ikRpÊp = pecos αp sinc[k(sin αp − sin α0 )a/2].iλRpÈñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå sin αp = sin α0 + cos α0 (αp − α0 ), îòñþäà ïîëó÷èìÊp =Ip =E0 a cos α0 ikRppesinc[k(αp − α0 )a cos α0 /2],iλRp(a cos α0 )2I0 sinc2 [k(αp − α0 )a cos α0 /2].λRp(12.37)Òàêèì îáðàçîì, êàê âèäíî èç ñðàâíåíèÿ ñ ôîðìóëîé (12.33), óãîë íàêëîíà α0 ïðåîáðàçóåò äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó òàê, êàê åñëè áû ýôôåêòèâíàÿ øèðèíà ùåëè óìåíüøèëàñü äî âåëè÷èíû a cos α0 .
Ýòî ïðèâîäèò êóâåëè÷åíèþ óãëà äèôðàêöèè äî âåëè÷èíû λ/(a cos α0 ), (ðèñ. 12.26), à èíòåíñèâíîñòü äèôðàãèðîâàííîé âîëíû ñïàäàåò ïðîïîðöèîíàëüíî cos2 α0 .Ðèñ. 12.26www.phys.nsu.ru12.10. Ïðèìåð äèôðàêöèîííîé êàðòèíû Ôðåíåëÿ12.10. Ïðèìåð äèôðàêöèîííîé êàðòèíûÔðåíåëÿ2231.
Ðàññ÷èòàòü äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó Ôðåíåëÿ áûâàåò ñëîæíåå,÷åì äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó Ôðàóíãîôåðà.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèèðàññìîòðèì äèôðàêöèþ Ôðåíåëÿ íà ùåëè, îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëèâïðåäåëüíîìó ñëó÷àþ øèðîêîé ùåëè äèôðàêöèè íà êðàþ ïîëóïëîñêîñòè. Íà÷èíàòü íåïîñðåäñòâåííî ñ ïîñëåäíåé çàäà÷è ìû íå ìîæåì, ò.ê.èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíèå Ôðåíåëÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ êàðòèíû äèôðàêöèè îò êðàÿ ïîëóïëîñêîñòè, íà ïåðâûé âçãëÿä, êàæåòñÿ íåäîïóñòèìûì,ïîñêîëüêó îòêðûòàÿ ÷àñòü ýêðàíà â ýòîì ñëó÷àå ïðîñòèðàåòñÿ äî áåñêîíå÷íîñòè è ïðåäïîëîæåíèå cos θ ' 1 âìåñòå ñ àïïðîêñèìàöèåé (12.21),ïðèíÿòûå â ïðèáëèæåíèè Ôðåíåëÿ, ôîðìàëüíî çäåñü ÿâíî íàðóøàþòñÿ.Ïîýòîìó ìû íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ ùåëè ñ êîíå÷íîé øèðèíîé l ïðè zp À l,êîãäà íàçâàííîå ïðîòèâîðå÷èå íå ñóùåñòâóåò è èñïîëüçîâàíèå ðåøåíèÿ(12.23) íå âûçûâàåò ñîìíåíèÿ.
Óâèäèì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè øèðèíûùåëè áûñòðî äîñòèãàåòñÿ òàêîå åå çíà÷åíèå l = l∗ ¿ zp , âûøå êîòîðîãîíàëè÷èå âòîðîãî êðàÿ ó ùåëè ïåðåñòàåò ñêàçûâàòüñÿ íà ñîñòîÿíèè ïîëÿäèôðàãèðîâàííîé âîëíû â îñâåùåííîé îáëàñòè è â îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè çà ýêðàíîì âáëèçè äðóãîãî êðàÿ ùåëè. Ïîëó÷àåòñÿ, òàêèìîáðàçîì, ÷òî íà ñîñòîÿíèå ïîëÿ äèôðàêöèè âëèÿíèå îêàçûâàåò òîëüêîíåáîëüøàÿ îáëàñòü îòêðûòîé ÷àñòè ïëîñêîñòè ýêðàíà, íåïîñðåäñòâåííî ïðèëåãàþùàÿ ê åãî êðàþ, ïðè÷åì øèðèíà ýòîé îáëàñòè ñîñòàâëÿåòêîíå÷íîå ÷èñëî (íåáîëüøîå, ïîðÿäêà äåñÿòè) çîí Ôðåíåëÿ.
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ôàêòè÷åñêè ñíèìàåò òå âîçðàæåíèÿ, êîòîðûå ïðåïÿòñòâîâàëè íåïîñðåäñòâåííîìó ïðèìåíåíèþ ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ ê çàäà÷å äèôðàêöèè íà êðàþ ïîëóïëîñêîñòè.2. Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ùåëü øèðèíû l â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå(ðèñ. 12.27), îñâåùåíà íîðìàëüíî ïàäàþùåé âîëíîéE0 ei(kz−ωt) . ýòîì ñëó÷àå ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ(Ẽ =E00ïðè 0 < x < l,âíå äàííîãî èíòåðâàëà,www.phys.nsu.ru224Ãëàâà 12.
Äèôðàêöèÿè èç ñîîòíîøåíèÿ (12.23) èìååì2E0Êp = piλzpZ l ik (x − xp )ikz2zpe p edx.0Ðèñ. 12.27Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ±qλzp /2v = (x − xp )pè ââåäåíèÿ c ïîìîùüþ ëèíåéíîãî ìàñøòàáà λzp /2 áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ±q±qξp = x pλzp /2,ξl = lλzp /2äàííûé ðåçóëüòàò ïðèâîäèòñÿ ê âèäóE0Êp = √ eikzp2iξZl −ξpππ¸·Zξp π 2i v2i v2i vE0 ikzp222dv = √ edv +edv .ee2iξZl −ξp−ξp00Êàæäûé èç èíòåãðàëîâ â ïîñëåäíåé ñóììå, èìåþùèé ñòðóêòóðóZuJ(u) =0πi v2e 2 dv,(12.38)www.phys.nsu.ru12.10. Ïðèìåð äèôðàêöèîííîé êàðòèíû Ôðåíåëÿ225âûðàæàåòñÿ ÷åðåç òàáóëèðîâàííûå ôóíêöèèZ uZ uπ 2πC(u) =cos v dv, S(u) =sin v 2 dv,2200èçâåñòíûå ïîä íàçâàíèåì èíòåãðàëîâ Ôðåíåëÿ.
Òî åñòüZuJ(u) =πi v2e 2 dv = C(u) + iS(u).(12.39)0Äëÿ íåáîëüøîãî èíòåðâàëà ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé u ôóíêöèè C(u), S(u)ïðèâåäåíû â ãðàôè÷åñêîì âèäå íà ðèñ. 12.28. À äëÿ çíà÷åíèé u > 5 èõìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ïðèáëèæåííûìè ôîðìóëàìè5C(u)S(u))πsin u2 0,3182= 0,5 ±.×πucos u2 2(12.40)Ðèñ. 12.283.
Ñïèðàëü Êîðíþ. Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå îá èíòåãðàëå (12.39)êàê êîìïëåêñíîì ÷èñëå, çàâèñÿùåì îò âåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà u, äàåò5 Ñïðàâî÷íèê ïî ñïåöèàëüíûì ôóíêöèÿì. Ïîä ðåä. Ì. Àáðàìîâèöà è È. Ñòèãàí. Ì.: Íàóêà, 1979.www.phys.nsu.ru226Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿåãî âåêòîðíàÿ äèàãðàììà, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ñïèðàëüþ Êîðíþ. Çíàêîìñòâî ñ íåé íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ åå ãðóáîé ìîäåëè. Äëÿ ýòîãî ïîñòóïèì òàê, êàê ìû ñòðîèëè äèàãðàììó äëÿ èíòåãðàëà (12.12) â âèäåïðåäåëà èíòåãðàëüíîé ñóììû.  äàííîì ñëó÷àå âìåñòî öåïî÷êè (12.14)èìååìZu π 2N−1Xi v2πu2edv = lim ΣN , ΣN =∆v eiαn , ∆v = , α = (∆v)2 .N →∞N2n=00Çäåñü êàæäûé ÷ëåí ñóììû ΣN èìååò ïîñòîÿííûé ìîäóëü ∆v, êàê è âñëó÷àå (12.14), íî àðãóìåíò êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî n-ãî ÷ëåíà òåïåðüáîëüøå ïðåäûäóùåãî íà âåëè÷èíó α[n2 − (n − 1)2 ] = α(2n − 1).
Èìåííîáëàãîäàðÿ ýòîìó ïîëó÷àþùàÿñÿ ëîìàíàÿ ëèíèÿ, ñõåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 12.29 (äëÿ N = 10), óæå èìååò õàðàêòåðíûé âèä, ñîäåðæàùèé îñíîâíûå îñîáåííîñòè ñïèðàëè Êîðíþ. (Íàïîìíèì, ÷òî ñóììàðíàÿ äëèíà ëîìàíîé ðàâíà u, à âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé åå íà÷àëî è êîíåö,ïðåäñòàâëÿåò êîìïëåêñíîå ÷èñëî ΣN .)Ðèñ. 12.29Ïîñëå ïåðåõîäà ê ïðåäåëó N → ∞ ëîìàíàÿ ñ ñóììàðíîé äëèíîé uïðåîáðàçóåòñÿ â ãëàäêóþ êðèâóþ òîé æå äëèíû, ïðè÷åì òàêóþ, ÷òî ëþáîé åå ýëåìåíòàðíûé ó÷àñòîê dv ñ êîîðäèíàòîé v, îòñ÷èòûâàåìîé âäîëüêðèâîé, êàê êîìïëåêñíîå ÷èñëî õàðàêòåðèçóåòñÿ àðãóìåíòîì (π/2)v 2 .Òàêèì îáðàçîì, ñïèðàëü Êîðíþ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèâóþ, ñîåäèíÿþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíûå òî÷êè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ êîîðäèíàòàìèC(u), S(u), ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè âîçðàñòàíèè u.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
