1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Âñëåäñòâèå ýòîãî ïîòåíöèàëû ϕ, A äîïóñêàþò íàëîæåíèå äîïîëíèòåëüíîãîòðåáîâàíèÿ â âèäå ñêàëÿðíîãî óðàâíåíèÿ (óñëîâèÿ êàëèáðîâêè). Ðàöèîíàëüíûé âûáîð ýòîãî óñëîâèÿ ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ïîëó÷àþùèåñÿóðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ. Òàê, ïðè èñïîëüçîâàíèè êàëèáðîâêè Ëîðåíöà1 ∂ϕdivA += 0,(13.4)c ∂tâòîðàÿ ïàðà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (13.2) ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèé (13.3) ñâîäèòñÿ ïðîñòî ê ñèñòåìå äâóõ íåçàâèñèìûõ íåîäíîðîäíûõâîëíîâûõ óðàâíåíèéB = rotA,∆A −E=−1 ∂2A4π= − j(r, t),22c ∂tc(13.5)1 ∂2ϕ= −4πρ(r, t).(13.6)c2 ∂t2Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (13.5), (13.6) ñîâìåñòíî ñ (13.4) îáðàçóþòñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåíòíóþ óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà.Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëÿ, âîçáóæäàåìûå òîêàìè è çàðÿäàìè, â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû,îïðåäåëÿåìûå èç óðàâíåíèé (13.5), (13.6).∆ϕ −13.2.
Çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëûÎáðàòèìñÿ ê ïîñòðîåíèþ ðåøåíèé óðàâíåíèé (13.5), (13.6) äëÿ áåçãðàíè÷íîãî ïðîñòðàíñòâà, ñ÷èòàÿ, ÷òî òîêè è çàðÿäû, âõîäÿùèå â ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé, çàíèìàþò îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà.www.phys.nsu.ru13.2. Çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëû251Çàìåòèì, ÷òî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ ïîëåé (ñòàöèîíàðíûõòîêîâ è çàðÿäîâ) ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèÿì ýëåêòðîñòàòèêè (1.13) è ìàãíèòîñòàòèêè (4.16)∆ϕ = −4πρ,∆A = −4πjcè ïðè çàäàííûõ ôóíêöèÿõ ρ(r), j(r) èìåþò ðåøåíèÿ (1.15), (4.11):ZZρ(r 0 )dV 01j(r 0 )dV 0ϕ(r) =,A(r)=,0R(r, r )cR(r, r 0 )ãäå R(r, r 0 ) = |r − r 0 |.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ôóíêöèé j(r, t), ρ(r, t), çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè, ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (13.5), (13.6) èìåþò àíàëîãè÷íóþñòðóêòóðóµ¶Z11R(r, r 0 )0A(r, t) =j r ,t −dV 0 ,(13.7)cR(r, r 0 )cµ¶Z1R(r, r 0 )0ϕ(r, t) =ρ r ,t −dV 0(13.8)R(r, r 0 )cñ òåì ñóùåñòâåííûì îòëè÷èåì, ÷òî òîêè è çàðÿäû ýëåìåíòà îáúåìàdV 0 â òî÷êå íàáëþäåíèÿ r ñêàçûâàþòñÿ ñ íåêîòîðûì çàïàçäûâàíèåìïî âðåìåíè, ðàâíûì âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ ñâåòîâûì ñèãíàëîì ðàññòîÿíèÿ R(r, r 0 ) = |r − r 0 |.
(Âàæíî îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà òî, ÷òîíàçâàííîå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ ïðè çàäàííîì r çàâèñèò îò ïåðåìåííîéèíòåãðèðîâàíèÿ.) Ïîýòîìó âûðàæåíèÿ (13.7), (13.8) íàçûâàþòñÿ çàïàçäûâàþùèìè ïîòåíöèàëàìè.Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ýòèõ ñîîòíîøåíèé, íà÷àâ ñ ïîñëåäíåãî.Äëÿ ýòîãî âñå ïðîñòðàíñòâî ìûñëåííî ðàçîáüåì íà áåñêîíå÷íî ìàëûåó÷àñòêè è îïðåäåëèì ïîëå, ñîçäàâàåìîå çàðÿäîì, íàõîäÿùèìñÿ â îäíîìèç òàêèõ ýëåìåíòîâ îáúåìà.
Âñëåäñòâèå ëèíåéíîñòè óðàâíåíèé ïîëíîåïîëå áóäåò ðàâíî ñóììå ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ âñåìè òàêèìè ýëåìåíòàìè.Ðàññìîòðèì çàðÿä de(t), íàõîäÿùèéñÿ â ýëåìåíòå dV 0 ñ ðàäèóñîìâåêòîðîì r 0 . Ïîìåñòèâ íà÷àëî âñïîìîãàòåëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âýòó òî÷êó, ìîæåì çàïèñàòü ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè çàðÿäà â âèäåρ(R, t) = de(t)δ(R),R = r − r 0.Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà îò ýòîãî çàðÿäà èìååò âèä∆ϕ −1 ∂2ϕ= −4πde(t)δ(R).c2 ∂t2www.phys.nsu.ru252Ãëàâà 13. Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíÂåçäå, êðîìå íà÷àëà êîîðäèíàò, δ(R) = 0, ïîýòîìó∆ϕ −1 ∂2= 0.c2 ∂t2Î÷åâèäíî, ÷òî ϕ îáëàäàåò öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé, ò.
å. ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ϕ(R, t) òîëüêî ðàäèàëüíîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû è âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå èìååò âèä1 ∂21 ∂2ϕ(Rϕ)−=0R ∂t2c2 ∂t2(çäåñü ïðèâû÷íûé ðàäèàëüíûé îïåðàòîð â ëàïëàñèàíå çàìåíåí íà òîæäåñòâåííûé åìó îïåðàòîð ñî âòîðîé ïðîèçâîäíîé). Îòñþäà âèäíî, ÷òîäëÿ íîâîé èñêîìîé ôóíêöèèχ(R, t) = Rϕ(R, t)óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä∂2χ1 ∂2χ−=0∂R2c2 ∂t2îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (7.9) ñ îáùèì ðåøåíèåìχ(R, t) = f1 (R − ct) + f2 (R + ct),ãäå f1 , f2 ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Îíè îïèñûâàþò âîëíû, áåãóùèåîò öåíòðà (ðåøåíèå f1 ) è âîëíû, áåãóùèå ê öåíòðó (f2 ). Èç ïðèíöèïàïðè÷èííîñòè ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ âîëí, ïîðîæäåííûõçàðÿäîì de(t), äîëæíî áûòü f2 ≡ 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, âåçäå, êðîìå íà÷àëàêîîðäèíàò, èñêîìûé ïîòåíöèàë èìååò ðåøåíèåϕ(R, t) =χ(t − R/c),R(13.9)ãäå χ(t) ïîêà ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Åå íåîáõîäèìî âûáðàòü òàê,÷òîáû ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå îïèñûâàëî ðåøåíèå òàêæå è â íà÷àëå êîîðäèíàò. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïðè R → 0 ïîòåíöèàë äîëæåí ñòðåìèòüñÿ ê êóëîíîâñêîìó ïîòåíöèàëó îò òî÷å÷íîãî çàðÿäà de(t), ò. å. ïðèR → 0 ðåøåíèå äîëæíî èìåòü âèä de(t)/R1 . Ñëåäîâàòåëüíî, χ(t) = de(t),è ñîîòíîøåíèå (13.9) ïðèíèìàåò âèäϕ(R, t) =de(t − R/c).R1 Ñòðîãèå ðàññóæäåíèÿ ïî ýòîìó ïîâîäó ñì Ëàíäàó-Ëèôøèö ¾Òåîðèÿ ïîëÿ¿, 62.www.phys.nsu.ru13.3. Ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå253Îòñþäà ñ ó÷åòîì de(t) = ρ(r 0 , t)dV 0 ðåøåíèå (13.8) äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà ïîëó÷àåòñÿ êàê ðåçóëüòàò èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì ýëåìåíòàðíûì çàðÿäàì.Ïðîöåññ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ (13.7) äëÿ âåêòîð-ïîòåíöèàëà ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷åí.13.3.
Ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå äëÿ çàïàçäûâàþùèõ ïîòåíöèàëîâ1. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ìû ïîñòóïàëè â ýëåêòðîñòàòèêå è ìàãíèòîñòàòèêå, ðåøåíèÿìè (13.7), (13.8) ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëîâ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ñèñòåìû äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ, çàíèìàþùèõ îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà. Îãðàíè÷èìñÿâåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì è ïîñòàâèì çàäà÷ó âûðàçèòü A(r, t) ÷åðåç èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè äèïîëüíûå è êâàäðóïîëüíûå ìîìåíòû ñèñòåìû.Äëÿ ýòîãî ðàññòîÿíèå R è ìíîæèòåëü 1/R, âõîäÿùèå â ïîäûíòåãðàëüíîåâûðàæåíèå (13.7), ïðèìåì â âèäå ðàçëîæåíèéR = r − (n · r 0 ),11 (n · r 0 )= +Rrr2r(n = )r(13.10)ñ óäåðæàíèåì ïåðâûõ ìàëûõ äîáàâîê, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ìàëîìó ïàðàìåòðó a/r (a õàðàêòåðíûé ðàçìåð ñèñòåìû).
Âòîðîé ñîìíîæèòåëü ñââåäåíèåì íåêîòîðîãî åäèíîãî äëÿ âñåõ ýëåìåíòàðíûõ îáüåì÷èêîâ dV 0õàðàêòåðíîãî ìîìåíòà âðåìåíèt0 = t −rc(13.11)ïåðåïèøåì â âèäåj(r 0 , t −Rr n · r0n · r0) = j(r 0 , t − +) = j(r 0 , t0 +).cccc(13.12)Ïðèìåì âàæíîå äîïóùåíèå, ÷òî õàðàêòåðíîå âðåìÿ T èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè òîêà j â ñèñòåìå ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò âåëè÷èíó a/c âðåìåíè,íåîáõîäèìîãî ñâåòîâîìó ñèãíàëó äëÿ ïðîõîæäåíèÿ ðàññòîÿíèé ïîðÿäêàðàçìåðîâ ñèñòåìû, ò.
å.a¿1cT(a¿ 1).λ(13.13)www.phys.nsu.ru254Ãëàâà 13. Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíÒîãäà ôóíêöèþ (13.12), ðàññìàòðèâàÿ åå êàê ôóíêöèþ âðåìåíè, ðàçëîæèì â ðÿä Òåéëîðà îòíîñèòåëüíî òî÷êè t0 è ñ óäåðæàíèåì ïåðâîé ìàëîéäîáàâêè ïðåäñòàâèì â âèäåj(r 0 , t −Rn · r0∂j(r 0 , t0 ) (n · r 0 )) = j(r 0 , t0 +) = j(r 0 , t0 ) +.cc∂t0c(13.14)Ïîäñòàâèâ ðàçëîæåíèÿ (13.10), (13.14) â èíòåãðàë (13.7), ïîëó÷àåì½ZZ11A(r, t) =j(r 0 , t0 )dV 0 +j(r 0 , t0 )(n · r 0 )dV 0 +crr1 ∂+c ∂t0¾Z000j(r , t ) (n · r )dV0.(13.15)Òåïåðü ïîä èíòåãðàëû ïëîòíîñòü òîêà âõîäèò â âèäå ôóíêöèè j(r 0 , t0 ),ãäå t0 (13.11) íå çàâèñèò îò ïåðåìåííîé r 0 .  ýòîì ñîñòîèò îñíîâíîå óïðîùåíèå, äîñòèãíóòîå áëàãîäàðÿ óñëîâèþ (13.13), ïîçâîëèâøåìó ïåðåõîäîò èíòåãðàëà (13.7) ê ðåçóëüòàòó (13.15).
Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàâíûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ, à âòîðîå è òðåòüå ìàëûåäîáàâêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïàðàìåòðàì a/r ¿ 1 è a/λ ¿ 1 ñîîòâåòñòâåííî.2. Âñïîìíèì, ÷òî â ìàãíèòîñòàòèêå ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ (13.15)òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ, à èíòåãðàë, âõîäÿùèé âî âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ìàãíèòíûé ìîìåíò ñèñòåìû (ñì. 4.8).  ñëó÷àå ïåðåìåííûõ ïîëåé ïîäõîä, èñïîëüçîâàííûé â ãëàâå 4 è îñíîâàííûéíà óñëîâèè divj = 0, íåïðèãîäåí.
Ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñìûñëà ðàññìàòðèâàåìûõ èíòåãðàëîâ ìûñëåííî îáðàòèìñÿ êî âñåì N òî÷å÷íûì çàðÿäàì, ñîñòàâëÿþùèì ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó. Îáúåìíóþ ïëîòíîñòüòîêà, ñîçäàâàåìóþ îäíèì äâèæóùèìñÿ çàðÿäîì ei , ðàäèóñ-âåêòîð êîòîðîãî ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó ri (t0 ), ïðåäñòàâèì â âèäåj(r 0 , t0 ) = ei vi δ[r 0 − ri (t0 )]( vi (t0 ) = dri (t0 )/dt0 ).(13.16)RÒîãäà j(r 0 , t0 )dV 0 = ei vi (t0 ), à èíòåðåñóþùèé íàñ ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ (13.15) ñâîäèòñÿ ê ñóììå, ðàâíîé ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ äèïîëüíîãîìîìåíòà ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t0Zj(r0 , t0 )dV 0 =VNXi=1ei vi (t0 ) =Nd Xei ri (t0 ) = ḋ(t0 ).dt0 i=1www.phys.nsu.ru13.3. Ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèåÒàêèì îáðàçîì,255Zj(r0 , t0 )dV 0 = ḋ(t0 ).(13.17)VÂòîðîé èç èíòåãðàëîâ (13.15) ïîñëå ïîäñòàíîâêè (13.16) äàåò1cZNj(r 0 , t0 )(n · r 0 )dV 0 =V1Xei vi (t0 )(n · r 0 (t0 )).c i=1(13.18)Ñóììó â ïîëó÷åííîì ñîîòíîøåíèè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ìàãíèòíûé èêâàäðóïîëüíûé ìîìåíòû ñèñòåìû, ïðîäåëàâ äëÿ ýòîãî íåñêîëüêî èñêóññòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðîèçâåäåíèÿ vi (t0 )(n · r 0 ).
Âî-ïåðâûõ, ïåðåïèøåì åãî â âèäåd[ri (t0 )(n · ri (t0 )] − ri (t0 )(n · vi (t0 )).( à)dt0Âî-âòîðûõ, ðàññìàòðèâàåìóþ âåëè÷èíó ðàçîáüåì íà äâå ðàâíûå ïîëîâèíêè, îäíó èç êîòîðûõ âîçüìåì â âèäå (à):vi (t0 )(n · ri (t0 )) =vi (n · ri ) =1 d11vi (n · ri ) +[ri (n · ri )] − ri (n · vi ).22 dt02Äàëåå çàìåòèì, ÷òî ïîä÷åðêíóòûå ñëàãàåìûå îáúåäèíÿþòñÿ â òðîéíîåâåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå, è â êà÷åñòâå îêîí÷àòåëüíîãî âûðàæåíèÿ äëÿðàññìàòðèâàåìîé âåëè÷èíû ïðèìåì·¸11 d0000vi (t )(n · ri (t )) =[ri (t ) × vi (t )] × n +[ri (t0 )(n · ri (t0 ))].
(á)22 dt0È, íàêîíåö, ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ (à) èíòåãðàë (13.18) ïðèìåòçíà÷åíèå"#ZN11 X0 00000j(r , t )(n · r )dV =ei [ ri (t ) × vi (t ) ] × n +c2c i=1V+N1 d Xei ri (t0 )( n · ri (t0 ) ).2c dt0 i=1Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå åñòü [m × n], à âòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå(1/2c)Q̇(t0 ), ãäå Q åñòü âåêòîð, îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèåìXQα = Qαβ nβ , Qαβ =exα xβ − òåíçîð êâàäðóïîëüíûõ ìîìåíòîâ.www.phys.nsu.ru256Èòàê,Ãëàâà 13.
Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí1cZj(r0 , t0 )(n · r0 )dV 0 = [m(t0 ) × n] +1Q̇(t0 ),2cVà âåêòîð-ïîòåíöèàë (13.15), ñîñòàâëåííûé èç òðåõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ,ñîîòâåòñòâóþùèõ äèïîëüíîìó, ìàãíèòíî-äèïîëüíîìó è êâàäðóïîëüíîìóìîìåíòàì ñèñòåìû çàðÿäîâ, èìååò âèäÃ!µ¶ḋ(t0 )[m(t0 ) × n] [ṁ(t0 ) × n]1 Q̇(t0 ) Q̈(t0 )A(r, t) =++++.crr2cr2cr2cr(13.19)3. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ìàãíèòíî-äèïîëüíûé è êâàäðóïîëüíûé÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ ïîòåíöèàëà êàæäûé ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ. Òîëüêî â âèäå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñóìì îíè óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîìóâîëíîâîìó óðàâíåíèþ (óðàâíåíèþ (13.5) ïðè j = 0) è ïðèãîäíû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëåé âî âñåì ïðîñòðàíñòâå r À a.2 Îáû÷íî èñïîëüçóåìûåðàçëîæåíèÿ ñ óäåðæàíèåì òîëüêî ïîñëåäíèõ ñëàãàåìûõ â êàæäîé ñóììåòàêóþ çàäà÷ó íå ðåøàþò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
