1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 40
Текст из файла (страница 40)
13.3). Çàìåòèì, ÷òî èçëó÷åíèå ìàê¨ 0 ), à â íàïðàâëåíèèñèìàëüíî â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó d(týòîãî âåêòîðà ðàâíî íóëþ.Sds____nE__B_..-..d(t’)d(t‘)θdΩÐèñ. 13.2Ðèñ. 13.3www.phys.nsu.ru264Ãëàâà 13. Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíÏîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü äèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ¯2 d̈ 2 (t0 )J ¯t =3 c3(13.31)ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (13.30)ïî âñåì òåëåñíûì óãëàìZJ=dJ =d̈ 2 (t0 )4πc3Zπsin2 θ 2π sin θdθ.0Åñëè èçëó÷àþùåé ñèñòåìîé ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûé òî÷å÷íûé çàðÿä,äâèæóùèéñÿ âî âíåøíåì ïîëå, òî d(t0 ) = er(t0 ), d̈(t0 ) = ew(t0 ), ãäå w óñêîðåíèå, è âûðàæåíèå (13.31) ïðèíèìàåò âèä¯2 e2 w2 (t0 )J ¯t =.3c3(13.32)Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü äèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ çàðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ êâàäðàòîì óñêîðåíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëû (13.30), (13.31) õàðàêòåðèçóþò ìãíîâåííûåçíà÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòè â ìîìåíò t, ñîîòâåòñòâóþùèé âðåìåíè èçëó÷åíèÿ t0 .
Äëÿ ñèñòåìû, ìåíÿþùåéñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ d(t) == d̂e−iωt , èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðåçóëüòàò óñðåäíåíèÿ ïî ïåðèîäó< J >=2ω4| d̂ | .3 c3Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé<2dJω4>=| [ d̂ × n ] |3dΩ8πcè òîëüêî â ñëó÷àå äèïîëüíîãî ìîìåíòà d0 e−iωt ñ íåèçìåííûì íàïðàâëåíèåìdJd 2 ω4<> = 0 3 sin2 θdΩ8πcîïèñûâàåòñÿ ìíîæèòåëåì sin2 θ.Ñëó÷àé âðàùàþùåãîñÿ äèïîëÿ ìû ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà,äåìîíñòðèðóþùåãî äðóãóþ äèàãðàììó íàïðàâëåííîñòè, êîòîðàÿ âïîñëåäñòâèè íàì ïîíàäîáèòñÿ äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ íàïðàâëåííîñòüþ èçëó÷åíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî çàðÿäà íà êðóãîâîé îðáèòå.www.phys.nsu.ru13.5.
Äèïîëüíîå èçëó÷åíèå265Ïðèìåð 1. Èçëó÷åíèå çàðÿäà, äâèæóùåãîñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå. Ïóñòü e, a, Ω âåëè÷èíà çàðÿäà, ðàäèóñ îðáèòû è óãëîâàÿ ñêî-ðîñòü âðàùåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 13.4 ), ïðè÷åì v = aΩ ¿ 1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (13.21) ïðèìåíèìîñòè äèïîëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Òîãäàdx = d0 cos Ωt, dy = d0 sin Ωt, ò. å.d(t) = d̂e−iΩt , d̈(t) = −Ω2 d̂e−iΩt , d̂ = d0 (ex + iey ), d0 = ea.Ïî ôîðìóëå (13.28) èìååìB(r, t) = B̂(r)e−iΩt , B̂(r) = −Ω21[ d̂ × n ] eiΩr/c ,c2rà óãëîâàÿ èíòåíñèâíîñòü (13.29) ïîñëå óñðåäíåíèÿ ïî âðåìåíè<22cdJΩ4>=| B̂(r) | r2 =| [ d̂ × n ] | .3dΩ8π8πcÏîñêîëüêó óñðåäíåííàÿ èíòåíñèâíîñòü îñåñèììåòðè÷íà, â êà÷åñòâå nìîæíî âçÿòü åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü ëþáîãî ëó÷à, èñõîäÿùåãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò è ñîñòàâëÿþùåãî óãîë θ ñ îñüþ z.
Âûáåðåì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ëó÷, ëåæàùèé â ïëîñêîñòè xz, äëÿ êîòîðîãî n = sin θex + cos θez .Òîãäà2[ d̂ × n ] = d0 (i cos θex − cos θey − i sin θez ), | [ d̂ × n ] | = d02 (1 + cos2 θ).Ñëåäîâàòåëüíî,<à ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòüdJd 2 Ω4> = 0 3 (1 + cos2 θ),dΩ8πc< J >=(13.33)2d02 Ω4.3 c3Äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè óñðåäíåííîãî èçëó÷åíèÿ â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü ñèììåòðèè, ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 13.5Òîò ôàêò, ÷òî çàðÿä âäâîå áîëüøå èçëó÷àåò â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè,÷åì â ïëîñêîñòè îðáèòû, îáúÿñíÿåòñÿ èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ óñêîðåíèÿ ÷àñòèöûçà ïåðèîä âðàùåíèÿ.
Äëÿ íàïðàâëåíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ïëîñêîñòè îðáèòû, óñêîðåíèå çàðÿäà â êàæäîé òî÷êå ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîìó íàïðàâëåíèþ è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé òî÷êè îðáèòû èçëó÷åíèå â äàííîì íàïðàâëåíèè ìàêñèìàëüíî. Äëÿíàïðàâëåíèÿ n, ëåæàùåãî â ïëîñêîñòè îðáèòû, íàîáîðîò, òîëüêî èç äâóõ íåáîëüøèõó÷àñòêîâ îðáèòû èçëó÷åíèå â äàííîì íàïðàâëåíèè èñõîäèò ïî÷òè ìàêñèìàëüíî, àwww.phys.nsu.ru266Ãëàâà 13. Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëízyew0ΩtxÐèñ. 13.4Ðèñ. 13.5èç äðóãèõ ó÷àñòêîâ èçëó÷åíèå â äàííîì íàïðàâëåíèè ìåíÿåòñÿ îò íóëÿ äî ïî÷òèìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.Ïðèìåð 2.
Âðåìÿ ðàäèàöèîííîãî çàòóõàíèÿ àòîìíîãî îñöèëëÿòîðà. Èçëó÷àþùèé àòîì ïðåäñòàâèì â âèäå çàòóõàþùåãî îñöèëëÿòîðà ñ äèïîëüíûì ìîìåíòîìd(t) = ex(t),x(t) = X(t) cos ωt,â êîòîðîì õàðàêòåðíîå âðåìÿ τ èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû X(t) íàìíîãîáîëüøå ïåðèîäà êîëåáàíèé:τ À 2π/ω(1)(ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ ïîäòâåðäèò ýòî óñëîâèå). Ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðàW =kX 2mω02 2=X22îïðåäåëÿåòñÿ àìïëèòóäîé X è ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé êîëåáàíèé ω0 , âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñîâïàäàþùåé ñ ω. Íî â óñëîâèÿõ (1) ðàçíèöåé ìåæäó¨ ïðèíÿòüω0 è ω ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, à â êà÷åñòâå d(t)¨ = −eω 2 X(t) cos ωt.d(t)Òîãäà óñðåäíåííàÿ çà ïåðèîä êîëåáàíèé èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ< J >=1 2 < d¨ 2 >1 e2 ω 4 2=X (t),2 3c33 c3www.phys.nsu.ru13.6. Ìàãíèòíî-äèïîëüíîå è êâàäðóïîëüíîå èçëó÷åíèÿ267è èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèèdW=−<J >dtïðè óñëîâèè ω = ω0 ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèåd 22 e2 2 2X =−ω Xdt3 mc3(e, m çàðÿä è ìàññà ýëåêòðîíà). Îòñþäà äëÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé èýíåðãèè îñöèëëÿòîðà ñëåäóþò ðåøåíèÿX 2 (t) = X 2 (0) e−t/τ(ò.
å. x(t) = x0 e−t/2τ cos ωt),(2)W (t) = W (0) e−t/τ ,ãäå èñêîìîå âðåìÿ ðàäèàöèîííîãî çàòóõàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåìτ=3mc3.2e2 ω 2(13.34)Äëÿ îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà íà ÷àñòîòå ω = 4 · 1015 c−1 , ñîîòâåòñòâóþùåéäëèíå âîëíû λ = 0,5 · 10−4 ñì, îòñþäà ïîëó÷àåì çíà÷åíèåτ ' 10−8 c,ïîäòâåðæäàþùåå ïðèíÿòîå óñëîâèå (1).Äëÿ çàâåðøåíèÿ ïðèìåðà îáðàòèìñÿ ê êëàññè÷åñêîìó óðàâíåíèþ äâèæåíèÿ çàòóõàþùåãî îñöèëëÿòîðàè åãî ðåøåíèþẍ + 2γ ẋ + ω02 x = 0x(t) = x0 e−γt cos ωt, ω =(3)qω02 − γ 2 .Âèäíî, ÷òî åñëè çàòóõàíèå îñöèëëÿòîðà îáóñëîâëåíî òîëüêî èçëó÷åíèåì, êàê â ðåøåíèè (2), òî â êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (3) íåîáõîäèìî ïðèíÿòü γ = 1/2τ, à ÷àñòîòà êîëåáàíèé è ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðàñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìqω=ω02 − (1/2τ )2 .Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèíÿòîå ó íàñ óñëîâèå ω = ω0 îïðàâäàííî.13.6.
Ìàãíèòíî-äèïîëüíîå è êâàäðóïîëüíîåèçëó÷åíèÿÒåïåðü ðàññìîòðèì èçëó÷åíèå, îáóñëîâëåííîå ñëåäóþùèìè ìàãíèòíîäèïîëüíûì è êâàäðóïîëüíûì ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöè-www.phys.nsu.ru268Ãëàâà 13. Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíàëà (13.20). Âêëàä â èçëó÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ âòîðûìè ñëàãàåìûìè êàæäîãî èç íàçâàííûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ (îíè íà áåñêîíå÷íîñòè ñïàäàþòêàê 1/r.) Ýòè ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìàëûìè äîáàâêàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè îòíîøåíèþ a/λ, è ïîýòîìó èõ âêëàä â èçëó÷åíèå, âîîáùåãîâîðÿ, ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ äèïîëüíûì.
Íî îíè ñòàíîâÿòñÿ ãëàâíûìè,êîãäà äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû ðàâåí íóëþ è äèïîëüíîå èçëó÷åíèåâîîáùå îòñóòñòâóåò.Ïåðåä òåì êàê ïåðåéòè ê ìàãíèòíî-äèïîëüíîìó èçëó÷åíèþ, ïðåäâàðèòåëüíî óñòàíîâèì îïðåäåëåííîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîëÿìè îò ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî äèïîëåé. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ôóðüå-ñîñòàâëÿþùèå ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî äèïîëüíûõ ìîìåíòîâ íà ïðîèçâîëüíîé ÷àñòîòå ω, d̂e−iωt , m̂e−iωt è ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëÿ,ïîìåòèâ èõ ïîäîáàþùèìè íèæíèìè èíäåêñàìè.Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ ìàãíèòíîå ïîëå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé(13.27), êîòîðàÿ äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî ñëó÷àÿ èìååò âèäÃ!µ 2¶iω d̂ × n ω 2 d̂ × nkikikrB̂d (r) = −− 2e =−+ 2 [d̂ × n] eikr .c r2crrr(13.35)Ñîîòâåòñòâóþùåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ Êd (r) == (i/k)rot B̂d (r) è, ñëåäîâàòåëüíî,µ¶1ikÊd (r) = rot ( 2 − ) eikr [d̂ × n] .rr(13.36)Âåêòîð-ïîòåíöèàë (13.20) ìàãíèòíîãî äèïîëÿ m̂e−iωt õàðàêòåðèçóåòñÿêîìïëåêñíîé àìïëèòóäî鵶µ¶m̂ × n iω m̂ × n ikr1ikÂm (r) =−e=−eikr [m̂ × n],r2crr2rè åé ñîîòâåòñòâóåò ìàãíèòíîå ïîë嵶1ik ikrB̂m (r) = rot ( 2 − ) e [m̂ × n] .rr(13.37)Òîæäåñòâåííîñòü ñòðóêòóðû ôîðìóë (13.36), (13.37) ïîêàçûâàåò, ÷òîìàãíèòíîå ïîëå B̂m (r)e−iωt ìàãíèòíîãî äèïîëÿ m̂e−iωt ñîâïàäàåò ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ, çàìåíåííîãî íà m̂e−iωt .
Ïîñêîëüêó äàííîå ñîâïàäåíèå èìååò ìåñòî ïðè âñåõ ω, ïîëó÷åííîå ñîîòâåòñòâèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çàâèñèìîñòåé d(t) è m(t).www.phys.nsu.ru13.6. Ìàãíèòíî-äèïîëüíîå è êâàäðóïîëüíîå èçëó÷åíèÿ269Âû÷èñëåíèå ðîòîðà, âõîäÿùåãî â âûðàæåíèÿ (13.36), (13.37), äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêî, ïîýòîìó âìåñòî âñåé öåïî÷êè âû÷èñëåíèé çäåñü âûïèøåì îäíó ïðîìåæóòî÷íóþ ôîðìóëórot[m × n] =1((m · n)n + m)rè òîëüêî îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ äëÿêàæäîãî èç ïîëå鵶1ik1B̂m (r) =−[3(m̂ · n)n − m̂] eikr + k 2 [[ n × m̂ ] × n] eikr ,32rrrµÊd (r) =ik1− 23rr(13.38)¶hihi13(d̂ · n)n − d̂ eikr + k 2 [ n × d̂ ] × neikr .r(Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ d̂ = d0 ñ íåèçìåííûì íàïðàâëåíèåì èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ (13.23).) Ïåðâûå ñëàãàåìûå âñîîòíîøåíèÿõ (13.38), ÿâëÿþùèåñÿ ãëàâíûìè ïðè kr ¿ 1, ñîâïàäàþò ñïîëÿìè ñòàöèîíàðíûõ äèïîëåé.
Âòîðûå ñëàãàåìûå, ãëàâíûå â âîëíîâîéçîíå, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëÿ ðàñõîäÿùèõñÿ ñôåðè÷åñêèõ âîëí, ïåðïåíäèêóëÿðíûå íàïðàâëåíèþ n.Àíàëîãè÷íî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ìàãíèòíîãî äèïîëÿ ðàâíî âçÿòîìóñ îáðàòíûì çíàêîì ìàãíèòíîìó ïîëþ ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ (çàìåíåííîãî íà m̂(t)), ÷òî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ñèììåòðèè óðàâíåíèérotÊ = ik B̂, rotB̂ = −ik Ê.  ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì (13.35) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿµ¶iÊm (r) = k 2 1 +[ m̂ × n ] eikr /r,kr(13.39)µ¶iB̂d (r) = −k 2 1 +[ d̂ × n ] eikr /r.krÈç óñòàíîâëåííîãî ñîîòâåòñòâèÿ ïîëåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãîäèïîëåé, âûðàæàåìîãî ñîîòíîøåíèÿìè (13.38), (13.39), ñëåäóåò, ÷òî êàêóãëîâîå, òàê è ïîëíîå èçëó÷åíèå îáîèõ äèïîëåé îäèíàêîâû.
Åäèíñòâåííîå ðàçëè÷èå ïîëåé èçëó÷åíèÿ ñâÿçàíî ñ èõ ïîëÿðèçàöèåé.Êâàäðóïîëüíîå èçëó÷åíèå îïèñûâàåòñÿ ïîñëåäíèì ñëàãàåìûì (13.20)âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëàD̈(t0 )A(r, t) = 2 .6c rwww.phys.nsu.ru270Ãëàâà 13. Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíÂû÷èñëåíèå rotA â äàííîì ñëó÷àå óñëîæíåíî òåì, ÷òî âåêòîð D, êàêóæå îòìå÷àëîñü, çàâèñèò îò óãëîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè íàáëþäåíèÿ, ò.å. îò âåêòîðà n. Íî äëÿ âîëíîâîé çîíû èçìåíåíèÿìè êàê ìíîæèòåëÿ1/r, òàê è âåêòîðà n ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è âåêòîð-ïîòåíöèàë ñ÷èòàòüôóíêöèåé òîëüêî t0 = t − r/c :A(r, t) = A(t − r/c).ÏîýòîìórrȦ × nB(r, t) = rotA(t − ) = [ grad(t − ) × Ȧ ] =.cccÑëåäîâàòåëüíî, â âîëíîâîé çîíå ìàãíèòíîå è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëÿ îòêâàäðóïîëüíîãî ïîòåíöèàëàB(r, t) =...D(t0 ) × n,6 c3 rE(r, t) = [ B(r, t) × n ],à óãëîâàÿ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì...2c | D(t0 ) × n |dJ ¯¯=dΩ t 4π36 c6(13.40)è â îáùåì ñëó÷àå èìååò äîâîëüíî ñëîæíûé õàðàêòåð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
