1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà êðèâàÿ ñòðîèòñÿ ïî òàáëè÷íûì çíà÷åíèÿì íàçâàííûõ ôóíêöèé è â ðåçóëü-www.phys.nsu.ru12.10. Ïðèìåð äèôðàêöèîííîé êàðòèíû Ôðåíåëÿ227òàòå ïðèîáðåòàåò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 12.30. Çäåñü íàðàâíå ñ âåòâÿìè ñïèðàëè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîëîæèòåëüíûì çíà÷åíèÿì u, ïðåäñòàâëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû òàêæå è äëÿ îòðèöàòåëüíûõ u,ïîëó÷àþùèåñÿ èç ñâîéñòâà ñèììåòðèè èíòåãðàëîâ ÔðåíåëÿC(−u) = −C(u),S(−u) = −S(u).Ðèñ. 12.30Íà êðèâîé óêàçàíû íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà u îò0,5 äî 2, 5 (à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).
Ïîëåçíî ïîìíèòü, ÷òî ïàðàìåòð u, îòâå÷àþùèé òî÷êå íà ýòîé êðèâîé, ñâÿçàíñ óãëîâîé êîîðäèíàòîé êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå, ðàâíîé (π/2)u2 . Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè,÷òî òî÷êè íà êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà√ √ñëåäóåò,√÷åíèÿì u = 1, 3, 5, .
. . , ìîæíîîïðåäåëèòüïî èõ âåðòèêàëüíûì√ √√êàñàòåëüíûì, à çíà÷åíèÿì u = 2, 4, 6, . . . , ïî ãîðèçîíòàëüíûì êàñàòåëüíûì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 12.31, ãäå ñïåöèàëüíî âûäåëåíôðàãìåíò ñïèðàëè äëÿ íåáîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé u.Òàêèì îáðàçîì, êà÷åñòâåííîå ïîâåäåíèå èíòåãðàëà J(u) (12.39) ëåãêîïðåäñòàâèòü èç ðèñ. 12.32, ãäå âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé íà÷àëî êîîðäèíàò ñòî÷êîé íà ñïèðàëè, ñîîòâåòñòâóþùåé çíà÷åíèþ u, èçîáðàæàåò êîìïëåêñíîå ÷èñëî J(u). Ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà√ u êîíåö âåêòîðà ñêîëüçèò ïîñïèðàëè, òàê ÷òî ïðè èçìåíåíèè u îò 1 äî 5 ñ ïåðâîé âåòâè ñïèðàëè ïåðåõîäèò íà âòîðóþ.
Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè u âåùåñòâåííàÿ (C ) èìíèìàÿ (S ) ñîñòàâëÿþùèå ýòîé ôóíêöèè òàê æå, êàê è åå ìîäóëü |J(u)|,www.phys.nsu.ru228Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿñîâåðøàþò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèéýòèõ ôóíêöèé, îïðåäåëÿåìûõ ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì èíòåãðàëàZ∞ π 2i v1+iJ(∞) = e 2 dv =.20Ðèñ. 12.31Ðèñ. 12.32Êàê âèäíî èç ïðèáëèæåííîé ôîðìóëû (12.40), êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð ôóíêöèé C(u), S(u), |J(u)| îòíîñèòåëüíî ñâîèõ ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé õàðàêòåðèçóåòñÿ áûñòðûì óìåíüøåíèåì ïåðèîäà ïðè îòíîñèòåëüíîìåäëåííîì (∼ u) çàòóõàíèè àìïëèòóäû êîëåáàíèé.Äàëüøå íàì ïîíàäîáèòñÿ çíà÷åíèå ïàðàìåòðà u = u∗ , íà÷èíàÿ ñêîòîðîãî àìïëèòóäû êîëåáàíèé íàçâàííûõ ôóíêöèé ñòàíîâÿòñÿ íèæå,íàïðèìåð, 5% îò èõ ñðåäíèõ (ïðåäåëüíûõ) çíà÷åíèé.
Íåòðóäíî âèäåòü,÷òî ýòî ÷èñëî îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ 0,318/u∗ = 0,1 · 0,5, îòêóäà u∗ '' 12,7. Çàôèêñèðóåì ýòîò ðåçóëüòàò äëÿ ôèçè÷åñêèõ îöåíîê:|J(u) − J(∞)| < 0,05|J(∞)| ïðè u ≥ u∗ , ãäå u∗ ' 12,7.(12.41)Çàìå÷àíèå ê 12.8. Çíà÷åíèþ ìàêñèìàëüíîé ôàçû (12.26) â èíòåãðàëå (12.39) ñîîòâåòñòâóåò ïàðàìåòð u, îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîìπ¡ D ¢2/3π= u2 .λ2www.phys.nsu.ru12.10. Ïðèìåð äèôðàêöèîííîé êàðòèíû Ôðåíåëÿ229Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè u ïðèáëèæàåòñÿ èëè ïðåâûøàåò çíà÷åíèå u∗ , òî íåáîëüøîå èçìåíåíèå ïàðàìåòðà, âûçâàííîå äîáàâî÷íîé ôàçîé â 1 ðàä, äåéñòâèòåëüíî ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíèò âåëè÷èíó èíòåãðàëà.4. Âåðíåìñÿ ê îáñóæäåíèþ ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà (12.38).
Èìåÿ ââèäó îáîçíà÷åííóþ â íà÷àëå ïàðàãðàôà öåëü èç ðåçóëüòàòîâ äèôðàêöèè íà ùåëè ïåðåéòè ê îïèñàíèþ äèôðàêöèè íà êðàþ ïîëóïëîñêîñòè, îáëàñòü íàáëþäåíèÿ îãðàíè÷èì óñëîâèåì xp < l/2 è ξp < ξl /2. Ïðèýòîì íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü óñëîâèå, êîãäà ïîëå â òî÷êå xp = l/2E0Êp (xp = l/2) = 2 √ eikzp2iπi v2e 2 dvξZl /20ñ îïðåäåëåííîé òî÷íîñòüþ ñîâïàäàåò ñ íåâîçìóùåííûì çíà÷åíèåì E0 eikzpè ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò øèðèíû ùåëè. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ïÿòèïðîöåíòíûå êîëåáàíèÿ àìïëèòóäû ïîëÿ (ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòâåðòüïðîöåíòíûåêîëåáàíèÿ èíòåíñèâíîñòè) îòíîñèòåëüíî íåâîçìóùåííûõ çíà÷åíèé àìïëèòóäû äîïóñòèìû, òî èç çàôèêñèðîâàííîãî âûøå ðåçóëüòàòà (12.41)ñëåäóåò, ÷òî øèðèíà ùåëè äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ξl ≥ 2u∗ .(Åñòåñòâåííî, ýòî òðåáîâàíèå âî ñêîëüêî óãîäíî ðàç ìîæíî óæåñòî÷èòü.)Ïðè ýòîì äëÿ òî÷åê íàáëþäåíèÿ xp < l/2 (ξp < (1/2)ξl ) âåðõíèé ïðåäåëξl − ξp â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå (12.38) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ξl − ξp > u∗è ìîæåò áûòü çàìåíåí íà áåñêîíå÷íîñòü.
Òîãäà èñêîìàÿ àìïëèòóäà ïîëÿïðèîáðåòàåò ñëåäóþùèé îêîí÷àòåëüíûé âèäµZξp π 2 ¶i vE0 ikzp 1 + iÊp = √ e+ e 2 dv .22i(12.42)0Ñêîáêà â âûðàæåíèè (12.42), ðàâíàÿ J(∞) + J(ξp ), íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 12.33) èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì, íà÷àëî êîòîðîãî íàõîäèòñÿâ öåíòðå ëåâîé ñïèðàëè −(1+i)/1, à êîíåö â òî÷êå ñïèðàëè Êîðíþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ïàðàìåòðó u = ξp . (Äëÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ξp ýòîòâåêòîð ïîêàçàí ïóíêòèðîì.) Îòñþäà õàðàêòåðíîå ïîâåäåíèå çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè âîëíû â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ z = zp îò êîîðäèíàòûxp êà÷åñòâåííî ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïðåäñòàâèòü è ñîãëàñîâàòü ñ ðåçóëüòàòîì âû÷èñëåíèé, èçîáðàæåííûì íà ãðàôèêå (ðèñ. 12.34).
Âèäíî,âî-ïåðâûõ, ÷òî â îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè (xp < 0, ξp < 0) |Êp | èI = |Êp |2 ìîíîòîííî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè óâåëè÷åíèè |ξp |. Èíòåíñèâíîñòü ïðàêòè÷åñêè îáðàùàåòñÿ â íóëü óæå ïðè äîñòèæåíèè çíà÷åíèÿwww.phys.nsu.ru230Ãëàâà 12.
Äèôðàêöèÿpξp = −3, ò. å. xp = −3òåíè (ò. å. ïðè xp = 0)λzp /2. Âî-âòîðûõ, íà ãðàíèöå ãåîìåòðè÷åñêîéE01+i11Êp = √ eikzp= E0 eikzp è I = I0 , ãäå I0 = E02 .2242iÐèñ. 12.33Ðèñ. 12.34Â-òðåòüèõ, ïî ìåðå ïåðåìåùåíèÿ â ñòîðîíó îñâåùåííîé îáëàñòè |Êp | èI âîçðàñòàþò è â òî÷êå xp , ñîîòâåòñòâóþùåé çíà÷åíèþ ξp ' 1,5, ïðèíèìàþò ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ, ïðåâûøàþùèå ñîîòâåòñòâåííî E0 èI0(I = 1,37 I0 ).
Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè xp èõ ïîâåäåíèå íîñèòêîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð ñ çàòóõàþùåé àìïëèòóäîé îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèé E0 è I0 . Ïåðâîå ïàäåíèå äî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðîèçîéäåò ïðèξp ' 1,9. Àìïëèòóäûêîëåáàíèé ïàäàþò ïðàêòè÷åñêè äî íóëÿ íà ðàññòîpÿíèè xp = λzp /2 u∗ îò ãðàíèöû òåíè è â äàëüíåéøåì â ñîîòâåòñòâèè ñãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêîé èíòåíñèâíîñòü èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå I0 .Îáñóæäåíèå äèôðàêöèè Ôðåíåëÿ íà ïîëóïëîñêîñòè çàâåðøèì ñëåäóþùèì çàìå÷àíèåì.
Êàê ìû óáåäèëèñü, íà ñîñòîÿíèå ïîëÿ äèôðàêöèèâëèÿíèå îêàçûâàåò íåáîëüøàÿîáëàñòü îòêðûòîé ÷àñòè ïëîñêîñòè ýêðàpíà ñ øèðèíîé l∗ = λzp /2 u∗ ¿ zp . Ïðåäñòàâëÿþùèé èíòåðåñ ðàçìåðîáëàñòè íàáëþäåíèÿ òàêæå õàðàêòåðèçóåòñÿ ýòèì çíà÷åíèåì. Òåì ñàìûì ñíèìàþòñÿ òå êàæóùèåñÿ ïðîòèâîïîêàçàíèÿ ê ïðèìåíèìîñòè ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å, êîòîðûå áûëè âûñêàçàíûâ íà÷àëå äàííîãî ïàðàãðàôà.www.phys.nsu.ru12.11. Äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè12.11. Äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè2311.
Íàèáîëåå ÿðêî äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà ïðîÿâëÿåò ñåáÿ â äèôðàêöèîííîé ðåøåòêå, èìåþùåé âàæíîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå âñïåêòðîñêîïèè. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè ùåëåâàÿ ðåøåòêà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé íàáîð áîëüøîãî ÷èñëà îäèíàêîâûõ ïàðàëëåëüíûõ ùåëåé, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóãîò äðóãà. Èìåííî ýòîò ÷àñòíûé âèä äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè èçîáðàæåí íà ðèñ. 12.35,à, íî âíà÷àëå ìû ïðîâåäåì âû÷èñëåíèÿ äëÿ îáùåãîñëó÷àÿ ðåøåòêè, ñîñòîÿùåé èç íàáîðà N ïåðèîäè÷åñêè ðàñïîëîæåííûõäèôðàãèðóþùèõ ýëåìåíòîâ ñ ïåðèîäîì d. Ïðèìåì, ÷òî âîëíà ïàäàåò ïîíîðìàëè ê ïëîñêîñòè ðåøåòêè.Ðèñ. 12.35Ðåçóëüòàò äëÿ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà â îäíîìåðíîé çàäà÷å âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé (12.30), ãäå Ẽ(kx ) + Ẽ(x) åñòü ôóðüå-îáðàç ãðàíè÷íîéôóíêöèè Ẽ(x), ò.
å. ïîëÿ â ïëîñêîñòè z = 0+, íåïîñðåäñòâåííî ïðèìûêàþùåé ê îáúåêòó, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò äèôðàêöèÿ. Åñëè îáúåêò (âäàííîì ñëó÷àå äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà) èìååò ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùóþñÿ ñòðóêòóðó, à âîëíà ïàäàåò ïî íîðìàëè, òî ôóíêöèÿ Ẽ(x) òàêæåèìååò âèä ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ ñèãíàëîâ, ñõåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 12.366 .6 Ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè Ẽ(x) èìååò áîëåå ñëîæíóþ ñòðóêòóðó.www.phys.nsu.ru232Ãëàâà 12.
ÄèôðàêöèÿÐèñ. 12.36Ôóðüå-îáðàç òàêîé ôóíêöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (8.13):sin N kx d/2Ẽ(kx ) = E˜1 (kx ) e−ikx (N −1)d/2,sin kx d/2(12.43)ãäå E˜1 (kx ) ôóðüå-êîìïîíåíòà îò îäíîãî ñòðóêòóðíîãî ýëåìåíòà ðåøåòêè, à ïîñëåäíèé ìíîæèòåëü (îòíîøåíèå ñèíóñîâ) åñòü èíòåðôåðåíöèîííûé ìíîæèòåëü.Ìû èññëåäîâàëè åãî â âèäå ôóíêöèè sin N x YN = sin xâ ï.4 § 8.2 è ïðåäñòàâèëè ãðàôè÷åñêè äëÿ íåáîëüøèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà N (ðèñ.
8.4,8.5). Âèäåëè, ÷òî ãëàâíûå ìàêñèìóìû ýòîé ôóíêöèè ðàñïîëîæåíû â òî÷êàõ xm = mπè ðàâíû N, ìåæäó íèìè ðàñïîëàãàþòñÿ N − 2 ïîáî÷íûõ ìàêñèìóìîâ. Ïåðâûé íóëüôóíêöèè YN íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè π/N îò ãëàâíîãî ìàêñèìóìà.Èòàê, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò (12.43), àìïëèòóäó ïîëÿ (12.30) äèôðàãèðîâàííîé âîëíû â òî÷êå íàáëþäåíèÿ ñ êîîðäèíàòàìè xp , zp (èëè ñóãëîâîé êîîðäèíàòîé αp = xp /zp íà ýêðàíå z = zp (ðèñ. 12.35,à), ÷òîáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíî), ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåÊ(αp ) = Eˆ1 (αp )sãäåEˆ1 (αp ) =sin N kαp d/2exp[−i(N − 1)kαp d/2],sin kαp d/2¯x2pkexp [ik(zp +)]E˜1 (kx )¯kx =kxp /zp =kαpizp2zpåñòü àìïëèòóäà ïîëÿ âîëíû, ïðèõîäÿùåé â òî÷êó íàáëþäåíèÿ, îò îäíîãîýëåìåíòà ðåøåòêè.
Îòñþäà äëÿ èíòåíñèâíîñòè èìååì2I(αp ) = | Ê(αp ) | = I1 (αp )sin2 N kαp d/2,sin2 kαp d/2(12.44)www.phys.nsu.ru12.11. Äèôðàêöèîííûå ðåøåòêèI1 (αp ) =233k2| Ẽ(kx = kαp ) | .zp(12.45)Äàííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü è áåç îáðàùåíèÿ ê ñîîòíîøåíèþ(8.13), çàìåòèâ, ÷òî ïîëå â òî÷êå íàáëþäåíèÿÊ(αp ) = Eˆ1 (αp )[1 + e−ik∆ + e−2ik∆ + · · · + e−i(N −1)k∆ ](12.46)ñîñòîèò èç N ñëàãàåìûõ, ïîðîæäåííûõ ýëåìåíòàìè ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðû, ïðè÷åì îò êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî ýëåìåíòà âîëíà ïðèõîäèò ñ ôàçîâûì ñäâèãîì, îáóñëîâëåííûì ðàçíîñòüþ õîäà ∆ = αp d (ðèñ. 12.35,á).Ðåçóëüòàò ñóììèðîâàíèÿ ïîëó÷åííîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè (ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
