1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ïîñëå çàìåíûÊ(P0 ) → Êp , Ê(x, y) → Ẽ(x, y), r01 → R, (er · n) → cos θðàçëè÷èÿ ìåæäó íèìè èñ÷åçàþò.Ïðèìåð 3. Ïðèíÿâ â êà÷åñòâå Ê ïîëå ñôåðè÷åñêîé âîëíûÊ = eikR1 /R1www.phys.nsu.ru212Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿñ öåíòðîì â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïëîñêîñòè S1 íà ðàññòîÿíèè a îò öåíòðà ñôåðû SR (ðèñ. 12.20), óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè óñëîâèÿ Çîììåðôåëüäà (12.6).Ðèñ.
12.20Ðåøåíèå. Òàê êàê ïðè R1 À λ dÊ/dR1 = ikeikR1 /R1 (ñì. (12.4)),äëÿ âõîäÿùåé â (12.6) ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè ê ñôåðå SR èìååì:∂ Êd=∂ndR1µeikR1R1¶(n1 · n)(åäèíè÷íûå âåêòîðà n1 , n óêàçàíû íà ðèñ. 12.20). ÒîãäàR(∂ ÊeikR1− ik Ê) = ikR(n1 · n − 1).∂nR1Çàìåíèâ ïîñëåäíèé ìíîæèòåëü òîæäåñòâåííûì âûðàæåíèåì n · (n1 − n)è ìûñëåííî äîïîëíèâ ðèñ. 12.20 èçîáðàæåíèåì âåêòîðà n1 −n, íåòðóäíîóâèäåòü îöåíêè| n1 − n |≤aa, | n · (n1 − n) |≤| n1 − n |.R2RÎòñþäà | n · (n1 − n) |≤ a2 /2R2 è, ñëåäîâàòåëüíî,| R(∂ ÊR a2− ik Ê) |≤ k→ 0 ïðè R → ∞,∂nR1 2R2÷òî òðåáîâàëîñü ïîëó÷èòü.Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà âîëíû â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå çà ýêðàíîì,óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (12.10), äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷àåòñÿ êàê ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ ñôåðè÷åñêèõ âîëí ñ öåíòðàìè, íàõîäÿùèìèñÿ â ¾îòâåðñòèè¿.www.phys.nsu.ru12.7. Èíòåãðàë Êèðõãîôà äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ âîëí12.7.
Èíòåãðàë Êèðõãîôàäëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ âîëí213Èìååòñÿ â âèäó ñèòóàöèÿ, êîãäà ãðàíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Ẽ íå çàâèñèòîò îäíîé èç äâóõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò â ïëîñêîñòè ýêðàíà, íàïðèìåð,îò y. (Ñëåäîâàòåëüíî, ïàäàþùàÿ íà ýêðàí âîëíà îáëàäàåò ïîäîáíûìñâîéñòâîì.) Êðîìå òîãî, ¾îòâåðñòèå¿ â ýêðàíå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ùåëü(èëè ñèñòåìó ùåëåé), ïàðàëëåëüíóþ îñè y . Òîãäà èñêîìàÿ àìïëèòóäàâîëíû â ïðàâîì ïîëóïðîñòðàíñòâå òàêæå íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû ypòî÷êè íàáëþäåíèÿ. Ïîýòîìó, ñ÷èòàÿ òî÷êó P ëåæàùåé â ïëîñêîñòè z =zp , èíòåãðàë (12.11) ïðåäñòàâèì â âèäåkÊ(xp , zp ) =2πiZZ∞Ẽ(x)−∞ΣeikRcos θdy dx.R(10)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âíóòðåííåãî èíòåãðàëà ïî ïåðåìåííîé y âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ñòàöèîíàðíîé ôàçû.
Äëÿ ýòîãî îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïðèçàäàííîì x ðàññòîÿíèå Rpîò ôèêñèðîâàííîé òî÷êè P äî ýëåìåíòàðíîé2 , ãäå R ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüïëîùàäêè dxdy ðàâíî R⊥ 1 + y 2 /R⊥⊥êî x (ðèñ. 12.21). Óãîë θ çàâèñèò êàê îò x, òàê è îò ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ y, ïðè÷åì ïðè y = 0 ïðèíèìàåò çíà÷åíèå θ⊥ , ïîêàçàííîå íàðèñóíêå.Ðèñ. 12.21Ââåäÿ âðåìåííîå îáîçíà÷åíèåΩ(y) =q2,1 + y 2 /R⊥www.phys.nsu.ru214Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë çàïèøåì â âèäåZ∞−∞1cos θ eikR⊥ Ω(y) dy.RÎòñþäà âèäíî, ÷òî ïðè kR⊥ À 1 åãî çíà÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì(9.30), ãäå ñòàöèîíàðíîé òî÷êîéÿâëÿåòñÿ y =¯ 0 (ò. å. Ω0 (0) = 0), ïðè÷åì¯002¯Ω (0) = 1/R⊥ . Òàê êàê R y=0 = R⊥ , cos θ¯y=0 = cos θ⊥ , âíóòðåííèéèíòåãðàë èç âûðàæåíèÿ (10) ðàâåírq12πi ikR⊥2 √ 1cos θ⊥ eikR⊥ eiπ/4 2πR⊥e=cos θ⊥ .R⊥kR⊥kR⊥Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë Êèðõãîôà äëÿ ñëó÷àÿ öèëèíäðè÷åñêèõ âîëíïðèîáðåòàåò ñëåäóþùèé îêîí÷àòåëüíûé âèärÊ(xp , zp ) =k2πiZ∞−∞eikR⊥cos θ⊥ dxẼ(x) √R⊥(12.19)√è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ öèëèíäðè÷åñêèõ âîëí eikR⊥ / R⊥ ñîñÿìè ñèììåòðèè, ðàñïîëîæåííûìè â îòêðûòûõ ÷àñòÿõ ïëîñêîñòè ýêðàíà.12.8.
Ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ èÔðàóíãîôåðàÏîñëå îáùåé ñêàëÿðíîé òåîðèè äèôðàêöèè Êèðõãîôà-Ãåëüìãîëüöàïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ðÿäà ïðèáëèæåíèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñâåñòè ðàñ÷åò äèôðàêöèîííîé êàðòèíû ê áîëåå ïðîñòûì ìàòåìàòè÷åñêèìäåéñòâèÿì. Ñíîâà îáðàòèìñÿ ê äèôðàêöèè ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà íàáåñêîíå÷íîì íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå ñ îòâåðñòèåì Σ êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ.Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïëîñêèé ýêðàí, ñ êîòîðûì ñâÿçàíà äåêàðòîâà ñèñòåìàêîîðäèíàò x, y (ðèñ. 12.22). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáëàñòü íàáëþäåíèÿïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêîñòü z = zp = const.Ðàññìàòðèâàåìûå ïðèáëèæåíèÿ áóäóò îñíîâûâàòüñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðàññòîÿíèå zp ìåæäó îòâåðñòèåì è ïëîñêîñòüþ íàáëþäåíèÿçíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ìàêñèìàëüíûé ëèíåéíûé ðàçìåð îòâåðñòèÿ Σ.www.phys.nsu.ru12.8. Ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ è Ôðàóíãîôåðà215Ðèñ.
12.22Êðîìå òîãî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â îáëàñòè íàáëþäåíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî êîíå÷íàÿ îáëàñòü âáëèçè îñè z è ðàññòîÿíèå zp ìíîãîáîëüøå ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà ýòîé îáëàñòè. Ñ ó÷åòîì ýòèõ äîïóùåíèéìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ íå õóæå 5%cos θ ' 1,åñëè óãîë θ íå ïðåâûøàåò 18◦ . Ïðè ýòîì âåëè÷èíà R â çíàìåíàòåëå âûðàæåíèÿ (12.11) áóäåò ëèøü íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àòüñÿ îò zp , è ýòèìîòëè÷èåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Çàìåòèì, ÷òî â ýêñïîíåíòå eikR çàìåíà Ríà zp íåäîïóñòèìà, òàê êàê âîçíèêàþùàÿ ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü óìíîæàåòñÿ íà î÷åíü áîëüøîå ÷èñëî k è ôàçîâûå ïîãðåøíîñòè ñòàíîâÿòñÿìíîãî áîëüøå 2π ðàä.Ïðèáëèæåíèå Ôðåíåëÿ. Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü,ïðèíèìàÿ íåêîòîðîå ïðèáëèæåíèå äëÿ R â ýêñïîíåíòå.
Äëÿ àïïðîêñèìàöèèsµ¶2 µ¶2qxp − xyp − y222R = zp + (xp − x) + (yp − y) = zp 1 ++zpzpâîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåì êâàäðàòíîãî êîðíÿ√111 + b = 1 + b − b2 + · · · ,28| b |< 1.(12.20)Ïðèìåì ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî êâàäðàòíûé êîðåíü äîñòàòî÷íî õîðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè ýòîãî ðàçëîæåíèÿ.
Òîãäà"µ¶2µ¶2 #1 xp − x1 yp − y+.(12.21)R ' zp 1 +2zp2zpwww.phys.nsu.ru216Ãëàâà 12. ÄèôðàêöèÿÑ ó÷åòîì ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåíèåì Ôðåíåëÿ, èíòåãðàë Êèðõãîôà (12.11) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåkÊp =eikzp2πizpèëè â âèäåÊp =Z∞ZẼ(x, y) exp{i−∞skeikzp2πizpk[(xp −x)2 +(yp −y)2 ]}dxdy (12.22)2zpZẼ(x) exp{ik(xp − x)2 }dx2zp(12.23)(äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ âîëí). Òàêèì îáðàçîì, êîãäà ðàññòîÿíèå zp äîñòàòî÷íî âåëèêî äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàæåíèå (12.21) ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü òî÷íûì, ãîâîðÿò, ÷òî íàáëþäàòåëü íàõîäèòñÿ â îáëàñòè äèôðàêöèèÔðåíåëÿ.
Ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, îñòàåòñÿ âîïðîñ î ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè zp , êîãäà ïðèáëèæåíèå (12.22), (12.23) åùå ïðèìåíèìî. êà÷åñòâå äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ ìîæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ìàêñèìàëüíîå èçìåíåíèå ôàçû, îáóñëîâëåííîå îòáðîøåííûì òðåòüèì ÷ëåíîì â ðàçëîæåíèè (12.20) êâàäðàòíîãî êîðíÿ, áûëî ìíîãî ìåíüøå 1 ðàä. Âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ ïðîñòîòû âûðàæåíèåì (12.23), íàçâàííîå óñëîâèå çàïèøåì â âèäåk(x − xp )4max /8zp3 ¿ 1, ÷òî ðàâíîñèëüíîzp3 Àπ(x − xp )4max .4λ(12.24)Îäíàêî ýòî òðåáîâàíèå íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì.
Äëÿ ñïðàâåäëèâîñòèïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ òðåáóåòñÿ òîëüêî, ÷òîáû ÷ëåíû áîëåå âûñîêîãîïîðÿäêà íå èçìåíÿëè âåëè÷èíó èíòåãðàëàZẼ(x)eikR dx.Äëÿ ýòîãî íåîáÿçàòåëüíî, ÷òîáû ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ íàçâàííîãîâûøå èçìåíåíèÿ ôàçû áûëè ìíîãî ìåíüøå 1 ðàä. ×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, ðàññìîòðèì áëèçêîå ðàññòîÿíèå (îáîçíà÷èì zp∗ ) òàêîå, íà êîòîðîì âåëè÷èíà äîáàâî÷íîé ôàçû äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ 1 ðàä. Ïóñòü |x−xp |max == l∗ (äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ áëèçêèõ ðàññòîÿíèé ìîæíî ïðèíÿòü l∗ = D,ãäå D õàðàêòåðíûé ðàçìåð îòâåðñòèÿ â ýêðàíå); òîãäà äëÿ zp∗ èç âûðàæåíèÿ (12.24) ïîëó÷àåì çíà÷åíèåµ ¶1/3Dzp∗ ' D.(12.25)λwww.phys.nsu.ru12.8. Ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ è Ôðàóíãîôåðà217Äëÿ òàêèõ ðàññòîÿíèé ôàçà â èíòåãðàëå (12.22) èëè (12.23) ìåíÿåòñÿ îòìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî íóëþ â òî÷êå x = xp , äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿµ ¶2/3D2Dk ∗ =π,(12.26)2zpλêîòîðîå çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò åäèíèöó.
(Íàïðèìåð, ïðè D/λ = 103ðàâíî π · 102 .) Ïîýòîìó åñëè ñþäà ïðèáàâèòü äîáàâî÷íóþ ôàçó ïîðÿäêà åäèíèöû îò íåó÷èòûâàåìîãî â äèôðàêöèè Ôðåíåëÿ òðåòüåãî ÷ëåíàðàçëîæåíèÿ (12.20), òî íà âåëè÷èíó èíòåãðàëà ýòî íå ïîâëèÿåò (ñì.çàìå÷àíèå â êîíöå ï. 3 12.10). Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (12.24) äåéñòâèòåëüíî íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ïðèáëèæåíèÿÔðåíåëÿ. Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ D/λ äàæå íà ðàññòîÿíèÿõ (12.25) ýòîïðèáëèæåíèå îêàçûâàåòñÿ åùå ïðèìåíèìûì.Ïðèáëèæåíèå Ôðàóíãîôåðà. Ðàñ÷åò äèôðàêöèîííîé êàðòèíû ñòàíîâèòñÿ åùå ïðîùå ïðè áîëåå æåñòêèõ îãðàíè÷åíèÿõ, ÷åì â ïðèáëèæåíèè Ôðåíåëÿ. À èìåííî, åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ðàññòîÿíèå zp âåëèêî íàñòîëüêî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ÔðàóíãîôåðàD2¿ 1,λzp(12.27)ãäå D õàðàêòåðíûé ðàçìåð îòâåðñòèÿ â ýêðàíå, ôàçîâàÿ ôóíêöèÿïîä èíòåãðàëîì (12.22) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ. Ïåðåïèøåì åå â âèäåïðîèçâåäåíèÿexp{ikx2p + yp2x2 + y 2xp x + yp y} exp{ik} exp{−ik}2zp2zpzpè çàìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (12.27) ïåðâûé èç ñîìíîæèòåëåé ïî âñåìó îòâåðñòèþ ïðèáëèçèòåëüíî ðàâåí åäèíèöå è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ñêàçûâàåòñÿ íà âåëè÷èíå èíòåãðàëà.
Âòîðîé ñîìíîæèòåëü,ÿâëÿþùèéñÿ êîíñòàíòîé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ, ìîæåò áûòü âûíåñåí èç-ïîä èíòåãðàëà, è ïîä èíòåãðàëîì îñòàåòñÿ òîëüêîïîñëåäíèé èç ìíîæèòåëåé. Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà ïîëå â òî÷êå íàáëþäåíèÿx2p + yp2kÊp =exp (ikzp ) exp{ik}2πizp2zpZ∞ZẼ(x, y) exp{−ik−∞xp x + yp y}dxdyzp(12.28)www.phys.nsu.ru218Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòàò ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí. Îòñþäà âèäíî, ÷òî íàáëþäàåìîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ çäåñüîïðåäåëÿåòñÿ ôóðüå-îáðàçîì Ẽ(kx , ky ) + Ẽ(x, y) ãðàíè÷íîé ôóíêöèè âñàìîì îòâåðñòèè:Êp =¯¯x2p + yp2kexp (ikzp ) exp{ik}Ẽ(kx , ky )¯¯. (12.29)izp2zpkx =kxp /zp ,ky =kyp /zp(Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå îäíîìåðíîé çàäà÷è ýòà ôîðìóëà ïðèîáðåòàåòâèäs¯¯x2pkexp{ik(zp +)}Ẽ(kx )¯¯,(12.30)Êp =izp2zpkx =kxp /zpíåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåçóëüòàòà (12.19).)Ìû ïîëó÷èëè ðåçóëüòàò, â îãîâîðåííûõ óñëîâèÿõ cos θ = 1 ñîâïàäàþùèé ñ ãëàâíûì ÷ëåíîì àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ èíòåãðàëà (12.6)(ñì.
12.3) äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà kzp . Íî òåïåðü ìû èìååì áîëåå îïðåäåëåííîå óêàçàíèå íà îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè äàííîãî ðåçóëüòàòà. Ýòî îáëàñòü äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà, çàäàâàåìàÿ óñëîâèåì(12.27)zp À¡ D ¢2D2, äëÿ êîòîðîãî kzp À 2π.λλÎòíîøåíèå D2 /λzp , ôèãóðèðóþùåå â óñëîâèè (12.27), îáû÷íî íàçûâàþò ïàðàìåòðîì Ôðåíåëÿ. Îí õàðàêòåðèçóåò ÷èñëî çîí Ôðåíåëÿ, ïðèõîäÿùèõñÿ íà îòâåðñòèå â ýêðàíå ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì D (äëÿ íàáëþäàòåëÿ íà ðàññòîÿíèè zp îò ýêðàíà). Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå (12.27)îçíà÷àåò, ÷òî â îáëàñòè äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà îòâåðñòèå ìàëî ïîñðàâíåíèþ ñ ïåðâîé çîíîé Ôðåíåëÿ.Äëÿ äèôðàêöèè Ôðåíåëÿ, íà÷èíàþùåéñÿ ñ ðàññòîÿíèé ïîðÿäêà zp∗ (12.25), ðàññìàòðèâàåìûé ïàðàìåòð ìåíÿåòñÿ îò ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèéD2'λzp∗Dλ2/3À1äî íóëÿ íà áåñêîíå÷íîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
