1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 29
Текст из файла (страница 29)
11.21). Òàê êàê îïòè÷åñêèå äëèíû âñåõëó÷åé ìåæäó ñîïðÿæåííûìè òî÷êàìè îäèíàêîâû, òî ðàçëè÷èå âåëè÷èí∆p â òî÷êå P 0 âûçûâàåòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì ðàçëè÷èåì çíà÷åíèé cos θ0 .Åñëè èíòåðâàë èçìåíåíèé cos θ0 äîñòàòî÷íî ìàë, òî èíòåðâàë âåëè÷èí ∆pâ òî÷êå P 0 ìíîãî ìåíüøå λ, äàæå ñ èñòî÷íèêîì çíà÷èòåëüíûõ ðàçìåðîâ,è ïîëîñû îò÷åòëèâî âèäíû. Î÷åâèäíî, ÷òî îíè ëîêàëèçîâàíû â ïëåíêå.Ïðàêòè÷åñêè óñëîâèå ìàëîñòè èíòåðâàëà èçìåíåíèé cos θ0 ìîæíî âûïîëíèòü ïðè íàáëþäåíèè â íàïðàâëåíèè, áëèçêîì ê íîðìàëüíîìó, èëèïðè îãðàíè÷åíèè âõîäíîãî çðà÷êà, õîòÿ çðà÷îê íåâîîðóæåííîãî ãëàçà èñàì ïî ñåáå ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî ìàë. Ñ ó÷åòîì îãîâîðåííîé âûøå(11.34) ïîòåðè ïîëóâîëíû íàõîäèì, ÷òî ìàêñèìóìû èíòåíñèâíîñòè â Píàõîäÿòñÿ ïðè______2hn cos θ0 ± λ/2 = mλ,m = 0, 1, 2, .
. . ,(11.39)www.phys.nsu.ru11.10. Èíòåðôåðåíöèÿ íà òîíêîé ïëåíêå______185ãäå cos θ0 ñðåäíåå çíà÷åíèå cos θ0 äëÿ òî÷åê èñòî÷íèêà, îò êîòîðûõñâåò äîõîäèò â P 0 . Âåëè÷èíà nh, ïðèñóòñòâóþùàÿ â ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ,ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïòè÷åñêóþ òîëùèíó ïëåíêè â P, è åñëè íàøå ïðèáëèæåíèå îñòàåòñÿ â ñèëå, èíòåðôåðåíöèÿ â P íå çàâèñèò îò òîëùèíûïëåíêè â äðóãèõ ìåñòàõ.Ðèñ.
11.21Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñîîòíîøåíèå (11.39) îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äàæåïðè íåïëîñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ__ïëåíêè,ïðè óñëîâèè ÷òî óãîë ìåæäó íèìè____îñòàåòñÿ ìàëûì. Òîãäà, åñëè cos θ0 äîñòàòî÷íî ïîñòîÿíåí, èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ñîîòâåòñòâóþò ñîâîêóïíîñòè ìåñò ïëåíêè, ãäå îïòè÷åñêèåòîëùèíû îäèíàêîâû. Ïî ýòîé ïðè÷èíå òàêèå ïîëîñû íàçûâàþò ïîëîñàìèðàâíîé òîëùèíû, ïðè÷åì, êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ (11.39), êàæäîéòîëùèíå ñîîòâåòñòâóåò ñâîé ¾öâåò¿, åñëè èíòåðôåðåíöèÿ íàáëþäàåòñÿâ áåëîì ñâåòå.4. Êîëüöà Íüþòîíà.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîëîñ ðàâíîé òîëùèíûðàññìîòðèì ñëó÷àé èíòåðôåðåíöèè â òîíêîì âîçäóøíîì ñëîå, èçâåñòíûé ïîä èìåíåì êîëåö Íüþòîíà. Ýòà êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ, êîãäà âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü ëèíçû ìàëîé êðèâèçíû ñîïðèêàñàåòñÿ â íåêîòîðîéòî÷êå ñ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè, òàê ÷òî îñòàþùàÿñÿ ìåæäó íèìè âîçäóøíàÿ ïðîñëîéêà ïîñòåïåííî óòîëùàåòñÿ îò òî÷êèñîïðèêîñíîâåíèÿ ê êðàÿì (ðèñ.
11.22). Åñëè íà ñèñòåìó ïðèáëèçèòåëüíî ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè ïàäàåò ïó÷îê êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, òî ñâåòîâûå âîëíû, îòðàæåííûå îò âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö âîçäóøíîé ïðîñëîéêè, áóäóò èíòåðôåðèðîâàòü ìåæäó ñîáîé.Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ êàðòèíà: â òî÷êå ñîïðèêîñíîâåíèÿ íàáëþäàåòñÿ ÷åðíîå ïÿòíî, îêðóæåííîå ðÿäîì êîíöåíòðè÷åñêèõ ñâåòëûõwww.phys.nsu.ru186Ãëàâà 11. Èíòåðôåðåíöèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíè ÷åðíûõ ïîëîñ óáûâàþùåé øèðèíû.Ïóñòü R ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ëèíçû.
Òîãäà òîëùèíà âîçäóøíîãî çàçîðà íà ðàññòîÿíèè r îò îñè ñèììåòðèèrpr2r222h = R − R − r = R(1 − 1 − 2 ) ≈.R2RÏðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà äâóõ îòðàæåííûõâîëí áóäåòλr2λ∆ = 2h + =+ .2R2Ðèñ. 11.22Äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîé (îäíîöâåòíîé) âîëíû ðàäèóñû òåìíûõ êîëåö îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì∆ = mλ + (λ/2).Ïðèðàâíèâàÿ äâà ïîñëåäíèõ âûðàæåíèÿ, äëÿ ðàäèóñîâ òåìíûõ êîëåöïîëó÷àåì√rm = mλRm = 0, 1, 2 .
. . ,ãäå m = 0 ñîîòâåòñòâóåò öåíòðàëüíîìó ÷åðíîìó ïÿòíó.Åñëè ïàäàþùèé öâåò íåìîíîõðîìàòè÷åñêèé, òî ðàçíûì λ ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå rm , ò. å. âìåñòî ÷åðíûõ è ñâåòëûõ ïîëîñ ìû ïîëó÷àåìñèñòåìó öâåòíûõ êîëåö. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öâåòîâ ýòèõ êîëåö âïîëíåîïðåäåëåííà è èçâåñòíà êàê öâåòà Íüþòîíà, íî îáñóæäåíèå ýòîãî âîïðîñà âûõîäèò çà ïðåäåëû äàííîãî êóðñà. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öâåòîâ Íüþòîíà ñîâåðøåííî íå ïîõîæà íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ¾ðàäóæíûõ öâåòîâ¿.www.phys.nsu.ruÃëàâà 12ÄÈÔÐÀÊÖÈß12.1. Ââåäåíèå ñàìîì ãðóáîì ïðèáëèæåíèè ÿâëåíèå äèôðàêöèè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê îãèáàíèå âîëíîé ïðåïÿòñòâèÿ, èìåþùåå ìåñòî â âîëíàõëþáîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû.
ßâëåíèå ëåãêî íàáëþäàåòñÿ, êîãäà ðàçìåðû ïðåïÿòñòâèÿ ñîèçìåðèìû ñ äëèíîé âîëíû. Ïîýòîìó, ê ïðèìåðó, ìûèìååì âîçìîæíîñòü ñëûøàòü çâóêè, èäóùèå îò èñòî÷íèêà, íàõîäÿùåãîñÿ çà óãëîì. À â ñëó÷àå ñâåòîâûõ âîëí äëÿ íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèè òðåáóþòñÿ ñïåöèôè÷åñêèå óñëîâèÿ, îáóñëîâëåííûå ÷ðåçìåðíîé ìàëîñòüþäëèí âîëí ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðèâû÷íûìè ðàçìåðàìè.Çàìåòèì, ÷òî â ïðèíöèïèàëüíîì ïëàíå ëþáàÿ çàäà÷à äèôðàêöèèýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Íà ïóòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ çàäàííîé âîëíû, íàïðèìåð, ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû, èìååòñÿ ïðåïÿòñòâèå â âèäå íåêîòîðîãî òåëà èëè â âèäå ýêðàíà ñîòêðûòîé ÷àñòüþ, êîòîðóþ ìû âñåãäà áóäåì íàçûâàòü îòâåðñòèåì. Òðåáóåòñÿ íàéòè ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó, ðàññåÿííóþ ïðåïÿòñòâèåì. òî÷íîé ôîðìóëèðîâêå ïîäîáíàÿ çàäà÷à îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìîé ôèçè÷åñêîé òåîðèè äèôðàêöèè è ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ðåøåíèÿóðàâíåíèé Ìàêñâåëëà âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâîðÿþùåãî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà ïîâåðõíîñòè ïðåïÿòñòâèÿ è óñëîâèÿì íà áåñêîíå÷íîñòè.
Ïîíÿòíî, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ ïàäàþùåé âîëíû â ìàòåðèàëåïðåïÿòñòâèÿ âîçáóæäàþòñÿ òîêè è çàðÿäû, ÿâëÿþùèåñÿ èñòî÷íèêîìðàññåÿííûõ âîëí.  ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå èõ âëèÿíèå ó÷èòûâà-www.phys.nsu.ru188Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿåòñÿ ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè äëÿ îáëàñòè ïðåïÿòñòâèÿ è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, êîòîðûå, òàêèì îáðàçîì, çàâèñÿò îò ìàòåðèàëà ïðåïÿòñòâèÿ.  òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è äèôðàêöèè ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíûè îòíîñÿòñÿ, ñêîðåå, ê îáëàñòè ìàòåìàòèêè è â íàøåì êóðñå âîâñå íåðàññìàòðèâàþòñÿ1 .Äëÿ äèôðàêöèè ñâåòîâûõ âîëí èñïîëüçóåòñÿ ñóùåñòâåííî áîëåå ïðîñòàÿ ïðèáëèæåííàÿ òåîðèÿ, ðàçðàáîòàííàÿ óñèëèÿìè âûäàþùèõñÿ ó÷åíûõ îò Ãþéãåíñà è Ôðåíåëÿ äî Êèðõãîôà, Ãåëüìãîëüöà è Çîììåðôåëüäà.Îòíîñèòåëüíàÿ ïðîñòîòà ýòîé òåîðèè (îáû÷íî åå íàçûâàþò òåîðèåé ÊèðõãîôàÃåëüìãîëüöà) îñíîâàíà íà íåñêîëüêèõ óïðîùàþùèõ ìîìåíòàõ.
Âî-ïåðâûõ, ýòî ñêàëÿðíàÿ òåîðèÿ, â êîòîðîé âìåñòî âåêòîðíûõ ïîëåé E, B ôèãóðèðóåò íåêîòîðàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ âîëíîâîìó óðàâíåíèþ. Äëÿ ñëó÷àÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíýòî áóäåò êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò ïðîñòðàíñòâà (îáîçíà÷èì ååäëÿ äàëüíåéøåãî Ê(x, y, z)), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà∆Ê + (ω 2 /c2 )Ê = 0. (Çàìåòèì, ÷òî, íåñìîòðÿ íà ¾ïîäñêàçêó¿ ñî ñòîðîíû òàêîãî îáîçíà÷åíèÿ, ôóíêöèþ Ê íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê àìïëèòóäó êàêîé-ëèáî îïðåäåëåííîé êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â âîëíå.Ýòî ïðîñòî ¾àìïëèòóäà ïîëÿ â äèôðàãèðîâàííîé âîëíå¿, ïðè÷åì êâàäðàò ìîäóëÿ | Ê(x, y, z) |2 â êàæäîé òî÷êå ïðèíèìàåòñÿ çà èíòåíñèâíîñòüâîëíû.)Âòîðîå óïðîùàþùåå îáñòîÿòåëüñòâî ñâÿçàíî ñ âîçìîæíîñòüþ ðàöèîíàëüíîãî âûáîðà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè Ê(x, y, z).
Êàêóæå îòìå÷àëîñü âûøå, â ôèçè÷åñêîé òåîðèè äèôðàêöèè îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ ïîëåé ÿâëÿåòñÿ âñå ïðîñòðàíñòâî âìåñòå ñ íàõîäÿùèìèñÿ â íåì ðàññåèâàþùèìè òåëàìè ñ èõ ãðàíèöàìè ðàçäåëà. Ïðè òåõóñëîâèÿõ, äëÿ êîòîðûõ ïðèìåíèìà òåîðèÿ ÊèðõãîôàÃåëüìãîëüöà, êîãäà ðàçìåðû ïðåïÿòñòâèÿ íàìíîãî áîëüøå äëèíû âîëíû è ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíû õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëàáûì îòêëîíåíèåì îò çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, ãëàâíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò äèôðàãèðîâàííàÿ âîëíàâ îáëàñòè çà ïðåïÿòñòâèåì. Îáëàñòü çà ïðåïÿòñòâèåì â âèäå ñâîáîäíîãîïîëóïðîñòðàíñòâà z > 0 (êàê ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàíî íà ðèñ. 12.1) ïðèíèìàåòñÿ â ðàññìàòðèâàåìîé òåîðèè çà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèèÊ(x, y, z). Íàéäåííàÿ Êèðõãîôîì âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü ïðèáëèæåííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèè Ê(x, y, z) íà ãðàíèöå z =0 ýòîé îáëàñòè ïîçâîëÿåò çàìêíóòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà1 Ñàìûå èçâåñòíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ çàäà÷ ôèçè÷åñêîé òåîðèè äèôðàêöèè çàäà÷à Çîììåðôåëüäà äèôðàêöèè íà ïîëóïëîñêîñòè è çàäà÷à Ìè äèôðàêöèè íà ìåòàëëè÷åñêîì øàðå, èìåþòñÿ â ôóíäàìåíòàëüíîì òðóäå: Áîðí Ì., Âîëüô Ý.
Îñíîâûîïòèêè. Ì.: Íàóêà, 1970.www.phys.nsu.ru12.2. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è189÷è è ïîñòðîèòü åå ðåøåíèå, çàâåðøàÿ òåì ñàìûì ïîñòðîåíèå òåîðèèÊèðõãîôàÃåëüìãîëüöà. Íåñìîòðÿ íà ïðèíÿòûå óïðîùåíèÿ, âûâîäû òåîðèè õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè îïòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ, èïîýòîìó äàííàÿ òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ñðåäñòâîì èññëåäîâàíèÿ äèôðàêöèè â îáëàñòè ñâåòîâûõ âîëí.Ðèñ. 12.112.2.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è äèôðàêöèè è ïðèáëèæåííûå ãðàíè÷íûåóñëîâèÿ ÊèðõãîôàÒàêèì îáðàçîì, çàäà÷à äèôðàêöèè â òåîðèè ÊèðõãîôàÃåëüìãîëüöàñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ â ïîëóïðîñòðàíñòâå z > 0 íåêîòîðîé ôóíêöèèÊ(x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà∆Ê + (ω 2 /c2 )Ê = 0,(12.1)Ê|z=0 = Ẽ(x, y)(12.2)ãðàíè÷íîìó óñëîâèþè äîïîëíèòåëüíîìó òàê íàçûâàåìîìóóñëîâèþ èçëó÷åíèÿ,(12.3)www.phys.nsu.ru190Ãëàâà 12. Äèôðàêöèÿñâîäÿùåìóñÿ ê òðåáîâàíèþ, ÷òîáû â ñîñòàâ ðåøåíèÿ âõîäèëè âîëíûòîëüêî óõîäÿùèå îò ïëîñêîñòè z = 0 íà áåñêîíå÷íîñòü âïðàâî, íî íåáûëî âîëí, ïðèõîäÿùèõ èç áåñêîíå÷íîñòè âëåâî.Ãðàíè÷íîå óñëîâèå (12.2), ôîðìóëèðóåìîå äëÿ ãðàíèöû z = 0, íåïîñðåäñòâåííî ïðèìûêàþùåé ê ïðåïÿòñòâèþ â âèäå îáúåìíîãî òåëà èëèïîãëîùàþùåãî ýêðàíà ñ îòâåðñòèåì ( ðèñ. 12.1), ñîñòàâëÿåò íåòðèâèàëüíûé ìîìåíò ðàññìàòðèâàåìîé òåîðèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
