1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 24
Текст из файла (страница 24)
å. n À 1, îòìå÷åííûåíåòî÷íîñòè íå âëèÿþò íà ñïðàâåäëèâîñòü âûïèñàííîãî ñîîòíîøåíèÿ.)Íà îñíîâàíèè òåîðåìû ÏàðñåâàëÿZ∞Z∞E 2 (t)dt =−∞| E(ω) |2 dt.−∞Òàê êàê E0 (t − ti ) + E0 (ω)eiωti (ñì. (8.11)), òîE(ω) = E0 (ω)nXi=1eiωti , | E(ω) |2 = | E0 (ω) |2 |nXn=1eiωti |2 =www.phys.nsu.ru154= | E0 (ω) |2nXÃëàâà 11. Èíòåðôåðåíöèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíÃ!nXiω(ti −tk )2e= | E0 (ω) |n+2cos ω(ti − tk )i,k=1i<k(äâîéíóþ ñóììó ïðåîáðàçîâàëè, âûäåëèâ èç íåå ñëàãàåìûå i = k ). Íàïîìíèì, ÷òî ìîìåíòû âðåìåíè ti ñîâåðøåííî ñëó÷àéíû.  ñèëó ýòîãîêîñèíóñ â ïîñëåäíåé ñóììå ñ îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèíèìàåò îäèíàêîâûå ïî ìîäóëþ ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ïîýòîìóïðè n À 1 ýòà ñóììà ðàâíà 0.
Ïîëó÷èëè, ÷òî| E(ω) |2 = n | E0 (ω) |2 .Ñëåäîâàòåëüíî,Z∞I=Z∞I(ω)dω = (n/τ0 )−∞| E0 (ω) |2 dω, ò. å. I(ω) = n1 | E0 (ω) |2 ,−∞ãäå n1 = n/τ0 ñðåäíåå ÷èñëî öóãîâ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó íàáëþäåíèÿ çà åäèíèöó âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ïî ôîðìå ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì îòäåëüíîãî öóãà.Èòàê, êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíûñîâïàäàåò ïî øèðèíå è ôîðìå ñ êîíòóðîì ñïåêòðàëüíîé ëèíèè îäíîãîöóãà. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøå ñîìíåíèå áûëî íåîáîñíîâàííî. Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ äàííîãî ðåçóëüòàòà âàæíà ñëó÷àéíîñòüìîìåíòîâ ïðèõîäà îòäåëüíûõ öóãîâ. Âñïîìíèâ ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ ñèãíàëîâ, ëåãêî ñîîáðàçèòü, êàê áû âèäîèçìåíèëñÿ ñïåêòð,åñëè áû öóãè âîëí ïðèõîäèëè ñòðîãî ñ âûäåðæèâàíèåì èíòåðâàëà.11.5.
Îïûò Þíãà.Êà÷åñòâåííîå ðàññìîòðåíèåÊàê áûëî çàìå÷åíî â 11.3, åñëè ðàçíîñòü ôàç δϕ(t) äâóõ âîëí, ïðèõîäÿùèõ â òî÷êó íàáëþäåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé, òî ýòèâîëíû íå èíòåðôåðèðóþò. Ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî, êîãäà ñèñòåìà âîëí, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 11.3, ïîðîæäàåòñÿ íåçàâèñèìûìè êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèìè èñòî÷íèêàìè S1 , S2 . Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ âîçìîæíîñòè íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè íåîáõîäèìî, ÷òîáû èíòåðôåðèðóþùèåwww.phys.nsu.ru11.5. Îïûò Þíãà.
Êà÷åñòâåííîå ðàññìîòðåíèå155âîëíû èñõîäèëè îò îäíîãî èñòî÷íèêà è áûëè êîãåðåíòíû. Ýòî âïåðâûåáûëî îñóùåñòâëåíî Òîìàñîì Þíãîì â íà÷àëå XIX âåêà. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà îïûòà Þíãà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 11.7. Çäåñü S òî÷å÷íûé èñòî÷íèê, ñîçäàþùèé êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêóþ ñôåðè÷åñêóþ âîëíó, êîòîðàÿ íà äâóõ ìàëûõ (ìåíüøå äëèíû âîëíû) áëèçêîðàñïîëîæåííûõ îòâåðñòèÿõ â ýêðàíå A ïîðîæäàåò âòîðè÷íûå ñôåðè÷åñêèå âîëíû2 .Äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ýòèõ âîëí ñëóæèò äðóãîé ýêðàí, ðàñïîëîæåííûé íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè L îò ïåðâîãî (L À d, ãäå d ðàññòîÿíèå ìåæäó îòâåðñòèÿìè O1 , O2 ).Ðèñ.
11.7Ïîëå âîëíû, ïîðîæäàåìîé èñòî÷íèêîì S, â îòâåðñòèÿõ O1 , O2 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå E(t) = E0 eiϕs (t) e−iωt , ãäå ϕs ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè, õàðàêòåðèçóåìàÿ âðåìåíåì êîãåðåíòíîñòè τ(ñì. 11.3). Òîãäà âîëíû, ïðèõîäÿùèå â òî÷êó íàáëþäåíèÿ P, õàðàêòåðèçóþòñÿ ïîëÿìè, ôàçû êîòîðûõ ñ ó÷åòîì çàïàçäûâàíèÿ íà âðåìåíàr1 /c, r2 /c ðàâíû ñîîòâåòñòâåííîr1r1r2r2Ψ1 (t) = ϕs (t − ) − ω(t − ), Ψ2 (t) = ϕs (t − ) − ω(t − ),ccccãäå r1 , r2 ðàññòîÿíèÿ îò O1 , O2 äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ P. Ïðè ýòîì ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîé èíòåíñèâíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (11.15)pI = I1 + I2 + 2 I1 I2 < cos δΨ >,à â êà÷åñòâå ðàçíîñòè ôàç âûñòóïàåòδΨ = k(r1 − r2 ) + ϕs (t −r1r2) − ϕs (t − ).cc2 Âëèÿíèå ðàçìåðà èñòî÷íèêà S íà èíòåðôåðåíöèîííûå ÿâëåíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿâ 11.7, à êîíå÷íîñòü ðàçìåðîâ îòâåðñòèé áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ãëàâå î äèôðàêöèè.www.phys.nsu.ru156Ãëàâà 11.
Èíòåðôåðåíöèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíÑìåñòèâ íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè, ïîñëåäíþþ âåëè÷èíó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåδΨ = k∆l + ϕs (t) − ϕs (t +∆l), ∆l = r1 − r2 ,còàê êàê äëÿ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ýòî íå ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ < δΨ > .Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â îïûòå Þíãà äëÿîáùåãî ñëó÷àÿ I1 6= I2 îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéI = I1 + I2 + 2p∆lI1 I2 < cos[k∆l + ϕs (t) − ϕs (t +)] > .c(Çàìåòèì, ÷òî îòëè÷èå I1 è I2 â äàííîì îïûòå ìîæåò áûòü âûçâàíîòîëüêî íåîäèíàêîâîñòüþ ìàëûõ îòâåðñòèé O1 , O2 ïî ïëîùàäè; ïðè îäèíàêîâûõ îòâåðñòèÿõ èìååì I1 = I2 .) Èç ôîðìóëû âèäíî, ÷òî çäåñü èíòåðôåðåíöèîííûé ÷ëåí ïîëíîñòüþ çàâèñèò îò âåëè÷èíû ðàçíîñòè õîäà.Åñëè ∆l/c ¿ τ, ãäå τ âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè èñòî÷íèêà, òî âõîäÿùàÿ â àðãóìåíò êîñèíóñà ðàçíîñòü ôàç δϕs (t) ïî÷òè äëÿ âñåõ ìîìåíòîââðåìåíè âíóòðè èíòåðâàëà óñðåäíåíèÿ τ0 ðàâíà íóëþ è < cos δΨ > == cos k∆l.
Òî åñòü, åñëè ðàçíîñòü õîäà ∆l ñóùåñòâåííî ìåíüøå äëèíûâîëíîâîãî öóãà cτ (∆l ¿ cτ ) (â äàëüíåéøåì åå áóäåì íàçûâàòü ïðîäîëüíûì ðàçìåðîì êîãåðåíòíîñòè è îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì lk ), òî âîëíû,ïðèõîäÿùèå â òî÷êó íàáëþäåíèÿ ïî äâóì ðàçíûì ïóòÿì, êîãåðåíòíûè ñîçäàþò èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó, ñîâïàäàþùóþ ñ òîé, êîòîðàÿïîëó÷àåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîíîõðîìàòè÷åñêîé èäåàëèçàöèè. Îíàèññëåäîâàíà â 11.2 è ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 11.3.Ìîæíî ïðåäñòàâèòü, ÷òî êîãäà ðàçíîñòü õîäà äîñòèãíåò çíà÷åíèé,áëèçêèõ ê lk = cτ èëè ïðåâûøàþùèõ ýòó âåëè÷èíó, òî ôóíêöèÿ δϕs (t)íà èíòåðâàëå óñðåäíåíèÿ íà÷èíàåò ïðèíèìàòü ñëó÷àéíûå çíà÷åíèÿ, ÷òîïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ âèäíîñòè (11.11) èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû.Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ñõåìå Þíãà èñïîëüçóåòñÿ òî÷å÷íûé êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñ âðåìåíåì êîãåðåíòíîñòè τ (èëè ñ øèðèíîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ∆ω ∼ π/τ ), òî îò÷åòëèâàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿêàðòèíà íàáëþäàåòñÿ â òåõ ÷àñòÿõ ýêðàíà, äëÿ êîòîðûõ ðàçíîñòü õîäà∆l ¿ lk .Ïðè óâåëè÷åíèè ∆l âèäíîñòü ïîëîñ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû óìåíüøàåòñÿ è ïðè ∆l > lk áûñòðî îáðàùàåòñÿ â íóëü.www.phys.nsu.ru11.6.
Îïûò Þíãà. Êîëè÷åñòâåííûé àíàëèç157Çàìåòèì äëÿ äàëüíåéøåãî, ÷òî ïðîäîëüíûé ðàçìåð êîãåðåíòíîñòèêâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî îäíîé èç ñëåäóþùèõ ôîðìóë:πλ2lk = cτ = c= 0 .(11.17)∆ω2∆λ(Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà èçëó÷åíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçáðîñîì äëèí âîëí ∆λ âîçëå îñíîâíîé âåëè÷èíû λ0 ; ïîëó÷àåòñÿèç ñîîòíîøåíèÿ ω = c(2π/λ), ñâÿçûâàþùåãî êðóãîâóþ ÷àñòîòó ñ äëèíîéâîëíû èçëó÷åíèÿ.) Ïðîäîëüíûé ðàçìåð êîãåðåíòíîñòè äëÿ åñòåñòâåííûõèñòî÷íèêîâ ñâåòà ìîæåò äîñòèãàòü ìåòðîâ. Íàïðèìåð, åñëè èñòî÷íèêîìñâåòà ÿâëÿåòñÿ ðàçðåæåííûé ãàç, òî, êàê îòìå÷àëîñü â 11.4, â êà÷åñòâå âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè âûñòóïàåò âðåìÿ ðàäèàöèîííîãî çàòóõàíèÿτèçë ∼ 10−8 c, è òîãäà lk èìååò ïîðÿäîê τèçë = 3 · 102 ñì.
Ïðè ó÷åòå äîïëåðîâñêîãî óøèðåíèÿ ýòà âåëè÷èíà ñïàäàåò äî ñàíòèìåòðîâ.11.6. Îïûò Þíãà. Êîëè÷åñòâåííûé àíàëèçÈòàê, èç êà÷åñòâåííûõ ñîîáðàæåíèé î âðåìåíè è äëèíå êîãåðåíòíîñòè ìû ïðèøëè ê ïîíèìàíèþ õàðàêòåðà èçìåíåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîéêàðòèíû ïî ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ îò îñè ñèììåòðèè. Òåïåðüïîëó÷åííûé êà÷åñòâåííûé ðåçóëüòàò ïîäòâåðäèì ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì.Èñòî÷íèê áóäåì åùå ïðîäîëæàòü ñ÷èòàòü òî÷å÷íûì. Ïóñòü îí èçëó÷àåòñïåêòð øèðèíû ∆ω ¿ ω0 âáëèçè îñíîâíîé ÷àñòîòû ω0 . Äëÿ ïðîñòîòûèñòèííûé êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè àïïðîêñèìèðóåì ïðÿìîóãîëüíèêîì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 11.8.Ðèñ.
11.8Âûäåëèì â ñïåêòðå ëèíèþ øèðèíû dω, óçêóþ íàñòîëüêî, ÷òî åå ïðî-www.phys.nsu.ru158Ãëàâà 11. Èíòåðôåðåíöèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíäîëüíûé ðàçìåð êîãåðåíòíîñòè lk = cπ/dω íàìíîãî áîëüøå, ÷åì âñåðàññìàòðèâàåìûå çäåñü ðàçíîñòè õîäà.  ýòîì ñëó÷àå äàííàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ýêðàíà ñîçäàåò èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó, îïðåäåëÿåìóþ ñîîòíîøåíèåì (11.10). Îòâåðñòèÿ â ýêðàíåA (ðèñ. 11.7) áóäåì ñ÷èòàòü îäèíàêîâûìè. Òîãäà âõîäÿùèå â ôîðìóëó(11.10) èíòåíñèâíîñòè I1 , I2 ðàâíû è äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé óçêîé ëèíèèdI1 = dI2 =I0dω,∆ωà ðàñïðåäåëåíèå dI(x) çàäàåòñÿ êàêdI(x) = 2´I0 ³ω1 + cos ∆l(x) dω.∆ωcÑîñåäíÿÿ ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ èçëó÷àåò äðóãóþ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêóþ âîëíó, ôàçû â êîòîðîé ìåíÿþòñÿ ñëó÷àéíî, íåçàâèñèìî îò ïåðâîéâîëíû.
Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðàÿ âîëíà íå ìîæåò èíòåðôåðèðîâàòü ñ ïåðâîé. Ó íèõ ïðîñòî ñêëàäûâàþòñÿ èíòåíñèâíîñòè. Ïîýòîìó ñóììàðíîåðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà ýêðàíå áóäåòω0 +∆ω/2Z³I0I(x) = 2∆ω1 + cos´ω∆l(x) dω,cω0 −∆ω/2÷òî ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèîáðåòàåò âè䵶∆ωω0I(x) = 2I0 1 + sinc[∆l(x)] cos ∆l(x) .2cc(11.18)Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå îòëè÷àåòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåçóëüòàòà (11.13)äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ (ïðè δϕ = 0) òîëüêî íàëè÷èåì â èíòåðôåðåíöèîííîì ÷ëåíå ìíîæèòåëÿξ = sinc[∆ω∆l(x)],2cïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé ìåäëåííîìåíÿþùóþñÿ ôóíêöèþ ïî ñðàâíåíèþñ cos[(ω0 /c)∆l(x)].
Íî áëàãîäàðÿ åìó âèäíîñòü èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ (11.11) òåïåðü íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé V = 1, êàê â ñëó÷àå (11.13), àìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèè êîîðäèíàòû x, òàê êàêImax = 2I0 (1+ | ξ |),Imin = 2I0 (1− | ξ |) è V = | ξ(x) | .www.phys.nsu.ru11.6. Îïûò Þíãà. Êîëè÷åñòâåííûé àíàëèç159Äëÿ óäîáñòâà èíòåðïðåòàöèè ðåçóëüòàòîâ àðãóìåíò ôóíêöèè ξ ïðåîáðàçóåì, ââåäÿ â íåãî lk = c(π/∆ω) ïðîäîëüíûé ðàçìåð êîãåðåíòíîñòè.Òîãäàπ ∆l(x)ξ = sinc[],2 lkè ãðàôèê ôóíêöèèV = | ξ | = | sinc[π ∆l(x)]|2 lkèìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 11.9.Ðèñ.
11.9Òàêèì îáðàçîì, êàê óæå îòìå÷àëîñü â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, âèäíîñòüèíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ îñòàåòñÿ áëèçêîé ê åäèíèöå, ïîêà ðàçíîñòüõîäà íàìíîãî ìåíüøå lk . Êîãäà ∆l íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ 0 ≤ ∆l ≤ lk ,âèäíîñòü ïîëîñ ïðåâûøàåò çíà÷åíèå V = 1/2, ò. å.V > 1/2 ïðè ∆l ≤ lk .Òîëüêî ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ðàçíîñòè õîäà çíà÷åíèå V ïàäàåòäî íóëÿ (ïðè ∆lmax = 2lk ).Ôîðìóëó (11.18), çàäàþùóþ ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè, ïåðåïèøåì, çàìåíèâ ðàçíîñòü õîäà ïðèáëèæåííûì âûðàæåíèåì ∆l(x) = xd/L :I(x) = 2I0 [1 + sinc(∆ω dω0 dx) cos(x)],2c Lc Lè äëÿ ÷àñòè ýêðàíà ñî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ x èçîáðàçèì íà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
