1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Èíûìè ñëîâàìè, åñëè íàáîðñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé γ íàéäåí èç çàäà÷è (10.45), òî ýòîò íàáîð íå áóäåòòàêîâûì äëÿ çàäà÷è (10.46), è íàîáîðîò.Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè γn íàõîäèì èç çàäà÷è∆⊥ Ψ + γ 2 Ψ = 0,Ψ|Γ = 0,òî èì ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè Ψ = Êz (x, y), îïðåäåëÿþùèå ïðîäîëüíóþ êîìïîíåíòó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â âîëíå; ïðè ýòîìB̂z (x, y) ≡ 0.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïî âîëíîâîäó áåæèò ÒÌ-âîëíà(ïîïåðå÷íî-ìàãíèòíàÿ) èëè âîëíà òèïà E. äðóãîì ñëó÷àå, ñîîòâåòñòâóþùåì çàäà÷å∆⊥ Ψ + γ 2 Ψ = 0,∂Ψ/∂n |Γ = 0,êîãäà Ψ(x, y) = B̂z (x, y), Êz (x, y) ≡ 0, èìååì äåëî ñ TE-âîëíîé (ïîïåðå÷íîýëåêòðè÷åñêîé) èëè âîëíîé òèïà H.Âîò è âñÿ îáùàÿ òåîðèÿ öèëèíäðè÷åñêîãî ìåòàëëè÷åñêîãî âîëíîâîäà ñ ïðîèçâîëüíûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì.
Êîíå÷íî, åå åùå íåîáõîäèìî¾ïðî÷óâñòâîâàòü¿. Äëÿ ýòîãî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèìêîíêðåòíûé âîëíîâîä ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì ñàìûéïðîñòîé äëÿ ðàññìîòðåíèÿ è ñàìûé ðàñïðîñòðàíåííûé. Íî ïåðåä ýòèìñðàçó îòâåòèì íà âîïðîñû, âîëíû êàêîé ÷àñòîòû ìîãóò, à êàêèå íå ìîãóò áåæàòü ïî äàííîìó âîëíîâîäó, êàêîâà ñêîðîñòü ýòèõ âîëí? Îòâåòûíà ïîäîáíûå âîïðîñû ôàêòè÷åñêè ñîäåðæàòñÿ â ñîîòíîøåíèè (10.42) è âçàäà÷àõ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (10.45), (10.46).
Ðåøàÿ îäíó èç ýòèõ çàäà÷ äëÿ äàííîãî âîëíîâîäà, ìû ïîëó÷àåì çíà÷åíèå γ. Ïóñòü êîíêðåòíîåçíà÷åíèå áóäåò γmn . Òîãäà ñîîòíîøåíèå (10.42) ÿâèòñÿ äèñïåðñèîííûìóðàâíåíèåì äëÿ êîíêðåòíîé âîëíû, áåãóùåé â âîëíîâîäå,²µω22= k 2 + γmn.c2(10.47)Îòñþäà âèäíî, ÷òî äëÿ âîëíû, õàðàêòåðèçóåìîé ôèêñèðîâàííûì çíà÷åíèåì γmn , ñóùåñòâóåò ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòàcωmn = √ γmn²µ(10.48)òàêàÿ, ÷òî ïðè ω < ωmn âîëíîâîå ÷èñëî k ñòàíîâèòñÿ ìíèìûì è äàííàÿâîëíà ïî âîëíîâîäó íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ (ωmn îïðåäåëÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé k = 0 â ñîîòíîøåíèå (10.47)).www.phys.nsu.ru130Ãëàâà 10. Ñòîÿ÷èå âîëíû.
Ðåçîíàòîðû. ÂîëíîâîäûÄëÿ âîëíîâîäà ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìèíèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ γ, íèæå êîòîðîé íèêàêèåâîëíû ïî äàííîìó âîëíîâîäó ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íå ìîãóò.10.7. Âîëíîâîä ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïîïåðå÷íûìñå÷åíèåìÏóñòü ñå÷åíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçìåðàìè a, b, óêàçàííûìè íà ðèñ.10.12.Ðèñ. 10.12Ðàññìîòðèì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÒÅ-âîëíó (âîëíó òèïà Í), ïðåäñòàâëÿþùóþ îñíîâíîé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ. Äëÿ íåå çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè Ψ = B̂z (x, y) èìååò âèä∂2Ψ ∂2Ψ++ γ 2 Ψ = 0,∂x2∂y 2∂Ψ= 0,∂x |x=0,x=a∂Ψ|y=0,y=b = 0.∂yÈñõîäÿ èç îïûòà, ïðèîáðåòåííîãî ïðè èññëåäîâàíèè ïîëÿ ðåçîíàòîðà,ðåøåíèå çàäà÷è âûïèøåì ñðàçó:mπnπx cosy,abmn= π 2 [( )2 + ( )2 ],abΨ(x, y) = B0 cos2γmn(10.49)ãäå m, n öåëî÷èñëåííûå èíäåêñû.
Îòñþäà, îïèðàÿñü íà ðåçóëüòàò èññëåäîâàíèé ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ìîìåíòû,õàðàêòåðèçóþùèå âîëíó Hmn â äàííîì âîëíîâîäå.www.phys.nsu.ru10.7. Âîëíîâîä ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì131Êîíôèãóðàöèÿ ïîëåé â âîëíå çàäàåòñÿ êîìïîíåíòàìèmπnπ i(kz−ωt)Bz = B0 cosx cosye, Ez ≡ 0,abmπnπ2B⊥ = (ik/γmn) B0 grad⊥ (cosx cosy) ei(kz−ωt) ,abnπmπ2E⊥ = −(i/γmn)(ω/c)B0 [ez × grad⊥ (cosx cosy)] ei(kz−ωt) .ab(10.50)(Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ m, n ôîðìóëû B⊥ , E⊥ ïîêîìïîíåíòíî íå ðàñïèñàíû.)Ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà ÷åðåç íàéäåííûå çíà÷åíèÿ γmn (10.49) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé (10.48).
Ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå äàííîãî âîëíîâîäà äîñòèãàåòñÿ èìåííî â ðàññìàòðèâàåìîé âîëíå òèïà Í, ò. ê. çäåñüîäèí èç èíäåêñîâ m, n ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ2 . Åñëè áîëüøèéèç ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ åñòü a (ò. å. a > b), γmin ïîëó÷àåòñÿïðè m = 1, n = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà äëÿ äàííîãîâîëíîâîäàπ cωmin = ω10 = √ .a ²µÏðè ÷àñòîòàõ ω < ω10 íèêàêèå âîëíû ïî âîëíîâîäó íå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ. Äëÿ ñòàíäàðòíîãî âîëíîâîäà ñ ðàçìåðàìè a = 2b èìååì ω01 = 2ω10è â äèàïàçîíå ÷àñòîò ω10 < ω < 2ω10 ïî âîëíîâîäó áåæèò òîëüêî îäíàâîëíà H10 .
Ýòîò äèàïàçîí îò ωmin äî 2ωmin ñîñòàâëÿåò ðàáî÷èé ó÷àñòîêñïåêòðà äëÿ äàííîãî âîëíîâîäà, ò. ê. çäåñü ïåðåíîñ ýíåðãèè îñóùåñòâëÿåòñÿ îäíîé êîíòðîëèðóåìîé âîëíîé.Çàêîí äèñïåðñèè. Ñ ââåäåíèåì ãðàíè÷íîé ÷àñòîòû (10.48) äèñïåðñèîííóþ çàâèñèìîñòü ω(k) äëÿ êîíêðåòíîé âîëíû óäîáíî ïðåäñòàâëÿòüëèáî â âèäåc2 22ω2 =k + ωmn,(10.51)²µëèáî êàêrω2√ ω1 − mn.(10.52)k = ²µcω2Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå òîëüêî ìíîæèòåëåì èç êâàäðàòíîãî êîðíÿ îòëè÷àåòñÿ îò äèñïåðñèîííîé ôîðìóëû (7.27) äëÿ âîëí â áåçãðàíè÷íîìïðîñòðàíñòâå. Ïðè ω → ∞ ýòîò ìíîæèòåëü ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå è äèñ√ïåðñèîííûå êðèâûå ïðèáëèæàþòñÿ ê àñèìïòîòå ω = kc/ ²µ, êàê ýòî2  âîëíå òèïà Å íàèìåíüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå åñòü γ , ñì. óïðàæíåíèå ê11äàííîìó ïàðàãðàôó.www.phys.nsu.ru132Ãëàâà 10.
Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ðåçîíàòîðû. Âîëíîâîäûâèäíî èç ðèñ. 10.13.Ðèñ. 10.13Çäåñü äëÿ ïðèìåðà a = 2b èçîáðàæåíû äèñïåðñèîííûå êðèâûå äëÿ âîëíH10 , H01 (H20 ) è H11 . Âèäíî, ÷òî ïðè ω < ω10 íåò âîëíû, áåãóùåé ïîâîëíîâîäó. Ïðè âûäåëåííîé íà ðèñóíêå ÷àñòîòå ω10 < ω < ω01 ïî âîëíîâîäó áåæèò H10 -âîëíà ñ ïàðàìåòðàìè ω, k, ñîîòâåòñòâóþùèìè æèðíîéòî÷êå íà êðèâîé.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé γmn ïðîñìàòðèâàåòñÿ óæåèç ñîîòíîøåíèÿ (10.47), â êîòîðîì ëåâàÿ ÷àñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò âîëíîâîãî âåêòîðà ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â îäíîðîäíîé ñðåäå ñ ïîêàçàòåëÿìè ², µ, à ïåðâîå ñëàãàåìîå k 2ïðàâîé ÷àñòè åñòü êâàäðàò âîëíîâîãî ÷èñëà äëÿ âîëíû (10.50), áåãóùåéïî âîëíîâîäó.
Îòñþäà ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ âîëíà Hmn â âîëíîâîäå (Emn òîæå) åñòü ðåçóëüòàò ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, ó êîòîðûõ kz = k, à ïîïåðå÷íûå êîìïîíåíòûk⊥ êàæäîé âîëíû èìåþò äëèíó, ðàâíóþ γmn .  ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ìû óáåæäàëèñü ïðè ïîñòðîåíèè ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ(10.11), êîòîðîå, êàê òåïåðü ïîíÿòíî, åñòü ðåøåíèå, îòâå÷àþùåå âîëíåHm0 . Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ (10.50) âûñêàçàííîå ïîëîæåíèå î÷åâèäíî.Ôàçîâàÿ u = ω/k è ãðóïïîâàÿ vg = dω/dk ñêîðîñòè äëÿ âîëí â âîëíîâîäå èìåþò çíà÷åíèÿÃr!−12cωmnu= √1− 2,(10.53)²µωÃr!2cωmnvg = √1− 2 .(10.54)²µωwww.phys.nsu.ru10.7.
Âîëíîâîä ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì133Ïåðâûé èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç çàêîíà äèñïåðñèè (10.52), à äëÿ ïîëó÷åíèÿ âòîðîãî óäîáíåå âñåãî âîñïîëüçîâàòüñÿôîðìóëîéuvg = c2 /²µ,âîçíèêàþùåé ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (10.51) ïî ïåðåìåííîé k.Êàê âèäíî èç ñîîòíîøåíèé (10.53), (10.54), âîëíà ïî âîëíîâîäó ðàñ√ïðîñòðàíÿåòñÿ ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ, ïðåâûøàþùåé c/ ²µ (ò. å. â ïóñòîì âîëíîâîäå áåæèò áûñòðåå ñêîðîñòè ñâåòà), íî ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü(ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè) ïðè ýòîì ìåíüøå äàííîé âåëè÷èíû.Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïðèâåäåì åùå ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèé âûâîä ôîðìóë(10.53), (10.54), ðàññìàòðèâàÿ ïðîñòåéøóþ âîëíó H10 , äëÿ êîòîðîé γ10 =π/a, à ïîëÿ, îïðåäåëÿåìûå ñîîòíîøåíèÿìè (10.50), ïðè m = 1, n = 0ïðèîáðåòàþò âèäBz = B0 cos γ10 x ei(kz−ωt) ,Ez ≡ 0,Bx = −(ik/γ10 ) B0 sin γ10 x ei(kz−ωt) , By ≡ 0,Ey = iω/cB0 sin γ10 x ei(kz−ωt) ,γ10Ex ≡ 0.(Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòè âûðàæåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòàòàìè(10.11), (10.12), åñëè â ïîñëåäíèõ êîíñòàíòó E0 çàìåíèòü íà êîìïëåêñ−(ω/c)(2γ10 )−1 B0 , à â êà÷åñòâå γ ïðèíÿòü çíà÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþùååm = 1, n = 0.)Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ðàññìàòðèâàåìîé âîëíå, ñîñòîÿùåå èç îäíîé y êîìïîíåíòû, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ sin γ10 x, ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå íàëîæåíèÿ äâóõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëíE(x, z, t) = B0ω/c i(k1 r−ωt)[e− ei(k2 r−ωt) ] ey2γ10ñ âîëíîâûìè âåêòîðàìèk1 = kez + γ10 ex , k2 = kez − γ10 ex ,√èìåþùèìè äëèíó |k1 | = |k2 | = ²µ ω/c.
Íà ðèñ. 10.14 ýòè âîëíû ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíû âìåñòå ñ óêàçàíèåì íàïðàâëåíèé ïîëåé â íèõ.Âèäíî, ÷òî ïîëÿ B â ýòèõ âîëíàõ èìåþò êîìïîíåíòû Bx è Bz .Òàêîå ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âîëíû H10 â âèäå ñóïåðïîçèöèèäâóõ íàêëîííûõ âîëí ïîçâîëÿåò íàãëÿäíî óâèäåòü ôàçîâóþ è ãðóïïîâóþ ñêîðîñòè è ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêè âû÷èñëèòü èõ âåëè÷èíû.
Äëÿ ýòîãîwww.phys.nsu.ru134Ãëàâà 10. Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ðåçîíàòîðû. Âîëíîâîäûîáðàòèìñÿ, íàïðèìåð, ê âîëíå ñ íàêëîííûì âîëíîâûì âåêòîðîì k1 , âîëíîâîé ôðîíò êîòîðîé ïåðåìåùàåòñÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ k1 ñî ñêîðîñòüþ√c/ ²µ.Ðèñ. 10.14Òîãäà ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà ñîñüþ z è åñòü ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû â âîëíîâîäåu=√c/ ²µcos β√(ïðåâûøàþùàÿ âåëè÷èíó c/ ²µ),ãäåp cos β = k/|k1 | ïðè ó÷åòå ñîîòíîøåíèÿ (10.52) ïðèîáðåòàåò çíà÷åíèå1 − (ω10 /ω)2 . Îòñþäà äëÿ u ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå (10.54).Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ ýíåðãèè.√Êàæäàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âîëíà ïåðåíîñèò ýíåðãèþ ñî ñêîðîñòüþ c/ ²µ,íî çà ñ÷åò ìíîãîêðàòíûõ îòðàæåíèé åå ôàêòè÷åñêèé ïóòü áóäåò óäëèíÿòüñÿ.
Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñêîðîñòü âäîëü îñè âîëíîâîäà áóäåòccVg = √ cos β = √²µ²µr1−2ω10c<√ .ω2²µÓïðàæíåíèå. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èñîáñòâåííûå ôóíêöèè äëÿ âîëí òèïà Å. Óáåäèòüñÿ, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷èèìååò âèämπnπΨ(x, y) = Ez (x, y) = B0 sinx siny,ab2γmn= π 2 [(m 2n) + ( )2 ].abÎòñþäà âèäíî, ÷òî íåòðèâèàëüíûì ðåøåíèÿì ñîîòâåòñòâóþò èíäåêñû m ≥ 1, n ≥ 1; ñëåäîâàòåëüíî, γmin = γ11 .www.phys.nsu.ru10.8. ÒÅÌ-âîëíû13510.8. ÒÅÌ-âîëíûÂñå âûøåñêàçàííîå î ÒÌ- è ÒÅ-âîëíàõ îòíîñèëîñü ê âîëíîâîäàì ñîäíîñâÿçíîé ôîðìîé ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ïîëîæåíèå ñîâåðøåííî ìåíÿåòñÿ ïðè ìíîãîñâÿçíîé ôîðìå ñå÷åíèÿ òèïà ïðèâåäåííîãî íèæå íàðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
