1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ïîëîñòü, îêðóæåííàÿ õîðîøî ïðîâîäÿùèìè ãðàíèöàìè, ÿâëÿåòñÿ ðåçîíàòîðîì, îáëàäàþùèì ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè. Ïðèèäåàëüíûõ ãðàíèöàõ áåç ñîïðîòèâëåíèÿ êîëåáàíèÿ ïîëÿ â ðåçîíàòîðå,áóäó÷è âîçáóæäåíû âíåøíèì èñòî÷íèêîì, ïðîèñõîäÿò áåç çàòóõàíèÿ,à ïðè íàëè÷èè ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ñîïðîòèâëåíèÿ äëÿ ïîääåðæàíèÿíåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé íåîáõîäèìî ïðèñóòñòâèå âíåøíåãî èñòî÷íèêà.www.phys.nsu.ru116Ãëàâà 10.
Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ðåçîíàòîðû. Âîëíîâîäû êà÷åñòâå òàêîãî èñòî÷íèêà ìîæåò ñëóæèòü ìåòàëëè÷åñêèé øòûðü, íàêîòîðûé ïîäàåòñÿ ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå, ââîäèìûé â ðåçîíàòîð. ×àñòî èñòî÷íèêîì ñëóæèò ýëåêòðîííûé ïó÷îê ñ ìîäóëèðîâàííûì òîêîì,ïðîïóñêàåìûé ÷åðåç ïîëîñòü. Ïðè ýòîì ÷àñòîòà ìîäóëÿöèè ñîâïàäàåòñ îäíîé èç ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò, à ôàçà êîëåáàíèé òîêà óñòàíàâëèâàåòñÿ òàê, ÷òî ñãóñòêè ýëåêòðîíîâ ïó÷êà â ñðåäíåì çà ïåðèîä ñîâåðøàþòïîëîæèòåëüíóþ ðàáîòó ïðîòèâ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ðåçîíàòîðå.2. Îáðàòèìñÿ ê çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è êîíôèãóðàöèè ïîëåé âíóòðè çàìêíóòîé ïîëîñòè, ñ÷èòàÿ ãðàíèöû èäåàëüíîïðîâîäÿùèìè.
Ìîíîõðîìàòè÷åñêèå ïîëÿ E(r, t) = Ê(r) e−iωt , B(r, t) =B̂(r) e−iωt âíóòðè îáëàñòè ïîä÷èíÿþòñÿ äâóì íåçàâèñèìûì óðàâíåíèÿìèç ñèñòåìû (7.21) (ïðè ² = µ = 1)ωrotÊ = i B̂,cè ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìEτ |Γ = 0,ωrotB̂ = −i Êc(10.13)Bn|Γ = 0.(10.14)Êàê ìíîãîêðàòíî ïîä÷åðêèâàëîñü, âûïîëíåíèå óñëîâèÿ äëÿ Eτ àâòîìàòè÷åñêè îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå âòîðîãî óñëîâèÿ (10.14).
Ïîýòîìó âêà÷åñòâå èñêîìîé ôóíêöèè ïðèìåì ïîëå Ê(r), óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà (7.24)∆Ê +ω2Ê = 0c2(10.15)è äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþdiv Ê = 0.(10.16)Êàçàëîñü áû, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è çàâåðøåíà: òðåáóåòñÿ íàéòè ïîëå Ê(r), óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ (10.15) è óñëîâèÿì(10.14), (10.16). Íî ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî âñåì íàçâàííûì òðåáîâàíèÿìóäîâëåòâîðÿåò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå Ê(r) ≡ 0. Ïîýòîìó, èñõîäÿ èç îïûòà ñ ùåëåâûì ðåçîíàòîðîì, ôîðìóëèðîâêó çàäà÷è íåîáõîäèìî âèäîèçìåíèòü: òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü íàáîð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ω∗ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé Ê∗ (r) óðàâíåíèÿ (10.15),óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (10.14), (10.16).Ìû âïåðâûå ïîëó÷èëè çäåñü òàê íàçûâàåìóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èëè ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äàííîé çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ïîëîñòè, à ñîáñòâåííûåwww.phys.nsu.ru10.4.
Ðåçîíàòîðû117ôóíêöèè Ê∗ (r) âìåñòå ñ ôóíêöèÿìè B̂∗ (r), âûðàæàåìûìè ÷åðåç Ê∗ (r)ïî ïåðâîìó èç ñîîòíîøåíèé (10.13), îïðåäåëÿþò ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿïîëÿ â ðåçîíàòîðå, èëè åãî ìîäû.×èñëî ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ðåçîíàòîðà áåñêîíå÷íî, è îíèñîñòàâëÿþò äèñêðåòíûé ñïåêòð. Ïîðÿäîê âåëè÷èíû íàèìåíüøåãî èçíèõ åñòü c/l, ãäå l õàðàêòåðíûé ëèíåéíûé ðàçìåð ïîëîñòè. Ýòî î÷åâèäíî óæå èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè, ò. ê. l åñòü åäèíñòâåííûé ðàçìåðíûé ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé óñëîâèÿ çàäà÷è.
Ïðè áåñêîíå÷íîéïðîâîäèìîñòè ñòåíîê ðåçîíàòîðà ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò áåççàòóõàíèÿ, ò. å. ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè.3. Âûñêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ ïðîäåìîíñòðèðóåì íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå ðåçîíàòîðà â âèäå ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëåëëåïèïåäà ñ ðàçìåðàìèa, b è d (ðèñ. 10.6).Ðèñ. 10.6Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî êàæäàÿ èç òðåõ êîìïîíåíò èñêîìîãî ïîëÿ Ê(x, y, z), óäîâëåòâîðÿÿ ñêàëÿðíîìó óðàâíåíèþÃåëüìãîëüöà âèäà (7.25), äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìòèïà âûïèñàííûõ çäåñü äëÿ êîìïîíåíòû Êx :Êx |y=0,y=b = 0,Êx |z=0,z=d = 0.(10.17)Òî åñòü êàæäàÿ èç êîìïîíåíò íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíÿõ ïàðàëåëëåïèïåäà îáÿçàòåëüíî ïðèíèìàåò íóëåâûå çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó â êà÷åñòâåÊx , Êy , Êz çäåñü ñëåäóåò áðàòü ïðîèçâåäåíèÿ òèïà sin αx sin βy cos γz, êîòîðûå, êàê è ïðîèçâåäåíèÿ exp(iαx), exp(iβy), exp(iγz) èç óïðàæíåíèÿ§ 7.5, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (7.25) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿα2 + β 2 + γ 2 = ω 2 /c2(10.18)www.phys.nsu.ru118Ãëàâà 10.
Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ðåçîíàòîðû. Âîëíîâîäû(ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ²µ = 1). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ïîëå â êàæäîéòî÷êå âíóòðè îáëàñòè îáÿçàíî óäîâëåòâîðÿòü äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ(10.16), ñòðóêòóðó ðåøåíèÿ íåòðóäíî óãàäàòü:Êx = E1 cos αx sin βy sin γz,Êy = E2 sin αx cos βy sin γz,Êz = E1 sin αx sin βy cos γz.Çäåñü ñèíóñîèäàëüíûå ìíîæèòåëè â êàæäîì èç âûðàæåíèé âçÿòû òàê,÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü óäîâëåòâîðèòü íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìòèïà (10.17), ïðèäàâàÿ êîíñòàíòàì α, β, γ çíà÷åíèÿα=mπnπpπ, β=, γ=,abd(10.19)ãäå m, n, p öåëî÷èñëåííûå ïàðàìåòðû. Êîñèíóñîèäàëüíûå ìíîæèòåëèïðèíÿòû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû div Ê ïðèîáðåòàëà ôîðìódiv Ê = −(E1 α + E2 β + E3 γ) sin αx sin βy sin γz,äîïóñêàþùóþ òîæäåñòâåííîå îáðàùåíèå â íóëü çà ñ÷åò óñëîâèÿE1mnp+ E2 + E3 = 0.abd(10.20)Òàêèì îáðàçîì, íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ çàäà÷è äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ðåçîíàòîðà ñóùåñòâóþò ïðè ñîáñòâåííûõ ÷àñòîòàõrmnpωmnp = cπ ( )2 + ( )2 + ( )2 ,(10.21)abdâûòåêàþùèõ èç óñëîâèÿ (10.18) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (10.19), è çàäàâàåìûõ íàáîðîì òðåõ öåëî÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ m, n, p.
Ïðè ýòîì â îáùåìñëó÷àå âñå òðè êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî ïîëÿ Êmnp (x, y, z) exp(−iωmnp t)îòëè÷íû îò íóëÿ è îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìèmπnπpπx siny sinz,abdmπnπpπÊy = E2 sinx cosy sinz,abdmπnπpπÊz = E3 sinx siny cosz,abdÊx = E1 cos(10.22)www.phys.nsu.ru10.4. Ðåçîíàòîðû119ïðè÷åì àìïëèòóäû E1 , E2 , E3 ïîä÷èíåíû îãðàíè÷åíèþ (10.20).Ìàãíèòíîå ïîëå B̂mnp (x, y, z) exp(−iωmnp t) îïðåäåëÿåòñÿ èç ïåðâîãîóðàâíåíèÿ ñèñòåìû (10.13):B̂mnp = −irot Êmnp (x, y, z).ω/c(10.23)Íàëè÷èå ìíîæèòåëÿ i â ýòîì âûðàæåíèè îçíà÷àåò, ÷òî ïîëÿ B è E â ðåçîíàòîðå ñäâèíóòû ïî ôàçå íà π/2. Ýòî ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî â îáúåìíîìðåçîíàòîðå, êàê è â ëþáîé ýëåêòðîìàãíèòíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå,ïðîèñõîäèò íåïðåðûâíûé ïðîöåññ îáìåíà ýíåðãèé ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèìè ìàãíèòíûì ïîëÿìè.
Äâàæäû çà ïåðèîä ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿïåðåõîäèò â ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ è íàîáîðîò.4. Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî êîíôèãóðàöèþ ïîëåé äëÿ ñëó÷àÿ ìèíèìàëüíîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû, ïîëó÷àþùåéñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (10.21),åñëè îäíî èç çíà÷åíèé m, n, p ïîëîæèòü ðàâíûì 0, à äâà äðóãèå ïðèíÿòüðàâíûìè 1.
Êîãäà, íàïðèìåð, ðàçìåð a ïî îñè x, êàê íà ðèñ. 10.6, ìåíüøå äâóõ äðóãèõ, ò. å. a < (b, d), ñëåäóåò ïðèíÿòü m = 0, n = p = 1, èòîãäàpωmin = ω011 = cπ (1/b)2 + (1/d)2 .Ýòîé ÷àñòîòå, êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèé (10.22), (10.23), ñîîòâåòñòâóåòïðîñòåéøàÿ ìîäà êîëåáàíèé, äëÿ êîòîðîé ýëåêòðè÷åñêîå ïîëåπyπz −iω011 tE(y, z, t) = E0 sinsineex(10.24)bdâñþäó ïåðïåíäèêóëÿðíî ê âûäåëåííûì ãðàíÿì x = 0, x = a, à ìàãíèòíîåïîëåπyπzππyπzE0 π( sincosey − cossinez )e−iω011 tB(y, z, t) = −iω/c dbdbbd(10.25)ïàðàëëåëüíî ýòèì ãðàíÿì, ïðè÷åì îáà ïîëÿ íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàòû x.Ñèëîâûå ëèíèè ïîëÿ B, íåèçìåííûå âî âðåìåíè, ëåæàùèå â ïëîñêîñòèx = const, èçîáðàæåíû íà ðèñ.
10.7 äëÿ ïðèìåðà ïàðàëåëëåïèïåäà ñîñòîðîíàìè b = 2d.Ïîëÿ (10.24), (10.25) ñîñòàâëÿþò ñòîÿ÷óþ âîëíó, êîòîðóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí (â äàííîì ñëó÷àå ÷åòûðåõâîëí) ñ âîëíîâûìè âåêòîðàìè ±k1 , ±k2 ,k1 = (π/b)ey + (π/d)ez ,k2 = (π/b)ey − (π/d)ez . ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, âûðàçèâ ñèíóñû â ñîîòíîøåíèè (10.24) ÷åðåç ìíèìûå ýêñïîíåíòû ïî ôîðìóëàì Ýéëåðà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëå Ex ïðèíèìàåò èñêîìûé âèäEx (y, z, t) = −E0 i(k1 r−ωt){e− ei(k2 r−ωt) − ei(−k2 r−ωt) + ei(−k1 r−ωt) }4(10.26)www.phys.nsu.ru120Ãëàâà 10. Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ðåçîíàòîðû. ÂîëíîâîäûÐèñ.
10.7Ðèñ. 10.8(çäåñü ÷àñòîòà ω011 äàíà áåç èíäåêñîâ). Äëÿ êàæäîé èç ãðàíåé, ïàðàëëåëüíûõ îñèx, ýòè âîëíû ñîñòàâëÿþò äâå ïàðû ïàäàþùèõ-îòðàæåííûõ âîëí, êàê ñõåìàòè÷åñêèïîêàçàíî íà ðèñ. 10.8 (ïðèìåð b = 2d). Äëÿ ãðàíè z = 0 òàêèìè ïàðàìè ÿâëÿþòñÿâîëíû ñ âîëíîâûìè âåêòîðàìè (k2 , k1 ) è (−k1 , −k2 ), à äëÿ ãðàíè y = 0 ñ âåêòîðàìè(−k2 , k1 ), (−k1 , k2 ) (ïîñëåäíÿÿ íà ðèñóíêå íå ïîêàçàíà). Îáðàùàåì âíèìàíèå, ÷òîêàæäàÿ èç ïàð äëÿ ëþáîé êîíêðåòíîé ãðàíè, êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (10.26), èìååòàìïëèòóäû, ðàâíûå ïî ìîäóëþ è ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó, ÷òî åñòåñòâåííî äëÿîòðàæåíèÿ îò èäåàëüíîãî çåðêàëà.10.5.
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïîëåé â ùåëåâîì ðåçîíàòîðå ñ ïîòåðÿìè1. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïðè íàëè÷èè ïîòåðü äëÿ ïîääåðæàíèÿíåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé íåîáõîäèìî ïðèñóòñòâèå âíåøíåãî èñòî÷íèêà. Èíûìè ñëîâàìè, íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ïîëÿ â ðåàëüíîì ðåçîíàòîðå ÿâëÿþòñÿ âûíóæäåííûìè êîëåáàíèÿìè, ïîääåðæèâàåìûìè ñòîðîííèì èñòî÷íèêîì.
Ñ÷èòàÿ, ÷òî èñòî÷íèêîì ïîòåðü ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íàÿïðîâîäèìîñòü ìåòàëëè÷åñêèõ ñòåíîê, â äàííîì ïàðàãðàôå ðàññìîòðèìóñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ â ïëîñêîé ùåëè. Âûÿâèì ðåçîíàíñíûé õàðàêòåð ýíåðãèè âîçáóæäàåìûõ êîëåáàíèé è îïðåäåëèì äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà, ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå ñòîðîííåãî èñòî÷íèêà ïîâåðõíîñòíûé òîê i0 exp(−iωt) ey è ðàçìåñòèâ åãî äëÿ îïðåäåëåííîñòè âñðåäèííîé ïëîñêîñòè (ïëîñêîñòü z = 0, ñì.
ðèñ. 10.9).2. Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîáðàæåíèÿìè ñèììåòðèè (ñõåìàòè÷åñêè òàêæå ïðåäñòàâëåííûìè íà ðèñ. 10.9), óñòàíîâèâøèåñÿ ïîëÿ â ïðàâîé èwww.phys.nsu.ru10.5. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ â ðåçîíàòîðå ñ ïîòåðÿìè121ëåâîé ïîëîâèíàõ ðåçîíàòîðà ìîæíî çàïèñàòü â âèäåÊïð = (Ê0 eikz + Ê1 e−ikz )ey ,Êëåâ = (Ê0 e−ikz + Ê1 eikz )ey ;B̂ïð = (−Ê0 eikz + Ê1 e−ikz )ex ,B̂ëåâ = (Ê0 e−ikz − Ê1 eikz )ex ,(10.27)îáîçíà÷èâ ÷åðåç Ê0 è Ê1 àìïëèòóäû ïîëåé äëÿ âîëí, óõîäÿùèõ îò èñòî÷íèêà è ïðèõîäÿùèõ ê íåìó, ñîîòâåòñòâåííî.Ðèñ. 10.9Äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ ñëóæàò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ïåðâîå èç íèõ, ñâÿçûâàþùåå ðàçðûâ òàíãåíöèàëüíîé x-êîìïîíåíòû ïîëåé Bïð è Bëåâ íàïîâåðõíîñòíîì òîêå â ïëîñêîñòè z = 0, ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþÊ1 − Ê0 =2πi0 .c(10.28)Íåïðåðûâíîñòü y -êîìïîíåíòû ïîëÿ E íà ýòîé ãðàíèöå îáåñïå÷èâàåòñÿàâòîìàòè÷åñêè èñïîëüçîâàííûìè óñëîâèÿìè ñèììåòðèè ôîðìóë (10.27).Ïîýòîìó ñëåäóþùèì ñîäåðæàòåëüíûì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå Ëåîíòîâè÷à (10.7) íà ãðàíèöå z = a/2.
Òàê êàê çäåñü n = ez , àÊt = (Ê0 eika/2 + Ê1 e−ika/2 )ey ,Ĥt = (−Ê0 eika/2 + Ê1 e−ika/2 )ex ,òî ñ ó÷åòîì [ez × ey ] = −ex óñëîâèå (10.7) ñâîäèòñÿ ê ñâÿçè ìåæäóàìïëèòóäàìè Ê0 exp(ika/2), Ê1 exp(−ika/2) ïàäàþùåé íà ñòåíêó z = a/2è îòðàæåííîé îò íåå âîëí â âèäåÊ1 e−ika/2 = −Ê0 eika/21+i−χ,1+i+χ(10.29)www.phys.nsu.ru122Ãëàâà 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
