1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 14
Текст из файла (страница 14)
9.2, äåìîíñòðèðóåò íàëè÷èåãðàíè÷íîé ÷àñòîòû, íèæå êîòîðîé âîëíà â ñðåäå íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ.3 Äàííîå óòâåðæäåíèå çäåñü ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà.www.phys.nsu.ru9.3. Äèñïåðñèÿ è âîëíîâîé ïàêåò89Ðèñ. 9.2Ïîäîáíîé äèñïåðñèîííîé çàâèñèìîñòüþ îáëàäàþò âîëíû â âîëíîâîäàõ,êîòîðûå ïîäðîáíî îáñóæäàþòñÿ â § 10.6, 10.7.4. Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (9.7) ïðèìåíèìà è ê ãàçó ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëàõ.
Çäåñü ïîñòîÿííàÿ çàòóõàíèÿ γ, ðàâíàÿ ñðåäíåé ÷àñòîòå ñòîëêíîâåíèÿ ýëåêòðîíà ñ èîíàìè γ = 1/τs , õàðàêòåðèçóåòñÿ (ñì.§ 3.3) ïîðÿäêîì âåëè÷èíûγ ≈ 2,5 · 1013 1/c,à ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà ωp , îïðåäåëÿåìàÿ êîíöåíòðàöèåé ýëåêòðîíîâ N ≈8 · 1022 1/ñì3 , íàõîäèòñÿ â îáëàñòè äàëåêîãî óëüòðàôèîëåòà. Îòñþäàïîíÿòíû êà÷åñòâåííûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õàðàêòåðà äèýëåêòðè÷åñêîéïðîíèöàåìîñòè, ïðèâåäåííûå äëÿ ìåòàëëîâ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå.Äåéñòâèòåëüíî, êàê âèäíî èç ôîðìóëû (9.7), ïðè ω ¿ γ (ò. å. λ À λ∗ )äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ìíèìîé è õàðàêòåðèçóåòñÿ íåèçìåííîé ïðîâîäèìîñòüþ (9.1).
 óñëîâèÿõ ω À γ (λ ¿ λ∗ )²(ω) ñòàíîâèòñÿ âåùåñòâåííîé (9.8), à ãðàíèöà ìåæäó ýòèìè îáëàñòÿìèîïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðíîé äëèíîé âîëíûλ∗ =2πc ≈ 10−2 ñì.γ9.3. Äèñïåðñèÿ è âîëíîâîé ïàêåò1. Ïðåäâàðèòåëüíîå ðàññìîòðåíèå. Ðàññìîòðåíèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ôàêòè÷åñêè íå èëëþñòðèðóåò ïîëíîñòüþ ÿâëåíèå äèñïåðñèè. Ïîýòîìó äëÿ åãî íàáëþäåíèÿ íåîáõîäèìî îáðàòèòüñÿ ê èçó÷åíèþíåìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí.www.phys.nsu.ru90Ãëàâà 9. Äèñïåðñèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíÑ îäíîìåðíîé íåìîíîõðîìàòè÷åñêîé ïëîñêîé âîëíîé, ñîñòîÿùåé èçñîâîêóïíîñòè ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, ìû ÷àñòè÷íî ïîçíàêîìèëèñü ⧠8.6.
Âûÿñíèëè, ÷òî åñëè ñîñòàâëÿþùèé âîëíîâîé ïàêåò âîëíû áåãóòñ îäèíàêîâûìè ôàçîâûìè ñêîðîñòÿìè u, òî ñîâîêóïíàÿ âîëíà ïåðåìåùàåòñÿ êàê öåëîå, èìåÿ òó æå ñêîðîñòü u. Èíûìè ñëîâàìè, â ñðåäå ñçàâèñèìîñòüþ ω(k) âèäà (8.37) ω = ku (íàïðèìåð, â âàêóóìå, ãäå u = c),âîëíîâîé ïàêåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ ñâîåãî ïðîôèëÿ èëè,êàê ãîâîðÿò, âîëíîâîé ïàêåò íå ðàñïëûâàåòñÿ.Òåïåðü ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ïàêåòà âîëí, èìåþùèõ íåîäèíàêîâûå ôàçîâûå ñêîðîñòè. Íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà, ïðåäëîæåííîãîåùå Ñòîêñîì â 1876 ã., êîãäà ãðóïïà ñîñòîèò èç äâóõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè, áåãóùèõ â îäíîì íàïðàâëåíèèñ ìàëî ðàçíÿùèìèñÿ âîëíîâûìè ÷èñëàìè è ÷àñòîòàìè.
Îáîçíà÷àÿ ýòèðàçíîñòè ÷åðåç 2∆k è 2∆ω ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå âîëíû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèä婪ψ(z, t) = ψ0 ei[(k0 +∆k)z−(ω0 +∆ω)t] + ei[(k0 −∆k)z−(ω0 −∆ω)t] == 2ψ0 cos(∆k z − ∆ω t)ei(k0 z−ω0 t) .(9.9)Ýòî âûðàæåíèå îïèñûâàåò ¾ñèíóñîèäàëüíóþ¿ âîëíó ñ âîëíîâûì ÷èñëîì k0 è ÷àñòîòîé ω0 , íî ñ àìïëèòóäîé, ìîäóëèðîâàííîé êîñèíóñîì(ïî ýòîé ïðè÷èíå âîëíà íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé). Ïîñêîëüêóïî ïðåäïîëîæåíèþ âåëè÷èíû ∆k/k è ∆ω/ω ìàëû, ÿñíî, ÷òî àìïëèòóäàïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåäëåííî ìåíÿþùóþñÿ êàê ïî z, òàê è ïî t ôóíêöèþ, îãèáàþùóþ áûñòðî îñöèëëèðóþùèå ïóëüñàöèè.
Èç ãðàôèêà (ðèñ.9.3) äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (9.9), âçÿòîãî äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ìîìåíòà âðåìåíè, âèäíî, ÷òî â êà÷åñòâå âîëíîâîãî ïàêåòà â äàííîìñëó÷àå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñîâîêóïíîñòü îñöèëëÿöèé, ñîäåðæàùèõñÿìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè óçëàìè îãèáàþùåé.Ðèñ. 9.3www.phys.nsu.ru9.3. Äèñïåðñèÿ è âîëíîâîé ïàêåò91Ýòè îñöèëëÿöèè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ ω0 /k0 , â òîâðåìÿ êàê ñêîðîñòü îãèáàþùåé ðàâíà ∆ω/∆k, îòëè÷íîé â îáùåì ñëó÷àåîò ω0 /k0 . (Òîëüêî äëÿ äèñïåðñèîííîé çàâèñèìîñòè (8.37) ñâÿçü ìåæäó∆ω, ∆k òàêîâà, ÷òî ∆ω/∆k = ω0 /k0 è îãèáàþùàÿ ¾ïðèêëååíà¿ ê ñâîèìïóëüñàöèÿì è áåæèò âìåñòå ñ íèìè.)Èç äàííîãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî âîëíîâîé ïàêåò ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ, îòëè÷íîé îò ñêîðîñòè îòäåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõâîëí. Íî ôîðìà âîëíîâîãî ïàêåòà ïðè åãî ðàñïðîñòðàíåíèè â äàííîìñëó÷àå åùå íå ìåíÿåòñÿ.2.
Íåðàñïëûâàþùèéñÿ âîëíîâîé ïàêåò. Òåïåðü ïåðåéäåì ê áîëåå îáùåìó ñëó÷àþ äâèæåíèÿ âîëíîâîãî ïàêåòà â áåçãðàíè÷íîé îäíîðîäíîé ñðåäå, õàðàêòåðèçóåìîé íåêîòîðîé äèñïåðñèîííîé çàâèñèìîñòüþω(k), îòëè÷íîé îò ïðîñòåéøåãî ñîîòíîøåíèÿ ω = ku, u = const. Ïóñòüâîëíîâîé ïàêåò çàäàí ðàñïðåäåëåíèåì ïîëÿ â íåì â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 â âèäåE(z, 0) = E0 (z)eik0 z .(9.10)Äàííîå íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäóëèðîâàííóþâîëíó ñ îñíîâíîé äëèíîé âîëíû λ = 2π/k0 è àìïëèòóäîé, îïðåäåëÿåìîéôóíêöèåé |E0 (z)|.Âñëåä çà çàäàíèåì íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñðàçó âîçíèêàåò âîïðîñ, ÷åì îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèå âîëíû ïðè t > 0? ßñíî, ÷òî íå âîëíîâûì óðàâíåíèåì1 ∂2E∂2E− 2= 0,2∂zu ∂t2òàê êàê ðåøåíèÿ ïîñëåäíåãî, êàê ìû óáåäèëèñü â ï.2 § 8.6., ïðåäñòàâëÿþò íåäèñïåðãèðóþùóþ âîëíó.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è òðåáóåòñÿ èíîéïîäõîä, äåìîíñòðèðóåìûé íèæå. ñëó÷àå âîëí ñ äèñïåðñèåé íàì èçâåñòíî ïîâåäåíèå êàæäîé ãàðìîíè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ðàñïðåäåëåíèÿ (9.10), êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ ñîñâîåé ôàçîâîé ñêîðîñòüþ. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèèE(z, t) íåîáõîäèìî âíà÷àëå ðàñïðåäåëåíèå E(z, 0) ïðåäñòàâèòü â âèäåðàçëîæåíèÿZ∞1E(z, 0) = √Ê(k)eikz dk(9.11)2π−∞íà ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå Ê(k)eikz , à çàòåì âíîâü ñîáðàòü ýòèãàðìîíèêè ñî ñâîèìè ôàçîâûìè ìíîæèòåëÿìè e−iω(k)t è ïîëó÷èòü îòâåòZ∞1E(z, t) = √Ê(k)ei[kz−ω(k)t] dk.(9.12)2π−∞www.phys.nsu.ru92Ãëàâà 9. Äèñïåðñèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíÝòî ôîðìàëüíîå ðåøåíèå, òàê êàê äëÿ ïðîèçâîëüíûõ Ê(k) è ω(k)íå ïðåäîñòàâëÿåò âîçìîæíîñòè äëÿ àíàëèçà ðåçóëüòàòà. Ïîýòîìó ñóçèìçàäà÷ó, íàëîæèâ îãðàíè÷åíèå íà ïðîòÿæåííîñòü îáëàñòè âäîëü îñè z,çàíÿòîé ìîäóëèðîâàííîé âîëíîé (9.10).
Ïðèìåì, ÷òî ýòîò ðàçìåð L íàìíîãî áîëüøå äëèíû âîëíû, ò. å. k0 L À π. Òîãäà, êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè ∆kL ∼ π, øèðèíà ñïåêòðà ôóíêöèè E(z, 0)äîñòàòî÷íî ìàëà:∆k ∼ (π/L) ¿ k0 ,è ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü Ê(k), âõîäÿùàÿ â èíòåãðàë (9.2), îòëè÷íà îòíóëÿ òîëüêî â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè k = k0 ñ øèðèíîé ∆k. ¾Öåíòð¿ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè íàõîäèòñÿ â òî÷êå k = k0 , ò. ê. ìîäóëèðîâàííîéôóíêöèè (9.10) ñîîòâåòñòâóåò ñïåêòð îãèáàþùåé, ñäâèíóòûé íà íåñóùóþ ÷àñòîòó k0 (àíàëîãè÷íî ñîîòíîøåíèþ (8.12)), ò.
å.Ê(k) = Ê0 (k − k0 ), ãäå Ê0 (k) + E0 (z).(9.13) ýòîì ñëó÷àå èñòèííóþ äèñïåðñèîííóþ çàâèñèìîñòü ω(k) äëÿ íåáîëüøîãî èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî çàìåíèòü ïåðâûìè ÷ëåíàìè ååðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðàω(k) = ω(k0 ) +dωd2 ω(k − k0 )2(k0 )(k − k0 ) + 2 (k0 ),dkdk2(9.14)÷òî ïðèíöèïèàëüíî óâåëè÷èâàåò âîçìîæíîñòè àíàëèçà ðåçóëüòàòà (9.12).Âíà÷àëå îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè ñóììû (9.14).
Òîãäàω(k) = ω0 + Vq (k − k0 ),(9.15)ãäå ω0 = ω(k0 ), Vq = dω/dk (â òî÷êå k0 ). Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (9.15)â èíòåãðàë (9.12), ó÷òÿ ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèÿ (9.13). Ïðîìåæóòî÷íûéðåçóëüòàò çàïèøåì â âèäå1E(z, t) = √2πZ∞Ê0 (k − k0 )ei[(k−k0 )z−ω0 t−Vq (k−k0 )t+k0 z] d(k − k0 ).−∞Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïîñëå âûíåñåíèÿ exp[i(k0 z − ω0 t)] îñòàþùèéñÿèíòåãðàë îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ E0 (z − Vq t) è, ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûéðåçóëüòàò èìååò âèäE(z, t) = E0 (z − Vq t)ei(k0 z−ω0 t) .(9.16)www.phys.nsu.ru9.3. Äèñïåðñèÿ è âîëíîâîé ïàêåò93Îòñþäà âèäíî, ÷òî, êàê è â ïðèìåðå Ñòîêñà (9.9), îãèáàþùàÿ âîëíîâîãîïàêåòà ïåðåìåùàåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ ôîðìû.
Åå ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿñîîòíîøåíèåìdωVq =(k0 )(9.17)dkè íàçûâàåòñÿ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îáùåé ëèíåéíîé äèñïåðñèîííîé çàâèñèìîñòè (9.15)ôàçîâûå ñêîðîñòè ñîñòàâëÿþùèõ âîëíîâîé ïàêåò âîëí íå îäèíàêîâû,êàê ëåãêî çàìåòèòü èç ðèñ. 9.4. (Çäåñü äâå âûäåëåííûå âîëíû ñ âîëíîâûìè ÷èñëàìè k1 è k2 èìåþò ðàçíûå ôàçîâûå ñêîðîñòè u = ω/k,îïðåäåëÿåìûå òàíãåíñàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ β1 è β2 .)Ðèñ. 9.4Òàêèì îáðàçîì, ìû óáåäèëèñü, ÷òî âîëíîâîé ïàêåò íå ðàñïëûâàåòñÿíå òîëüêî ïðè äèñïåðñèîííîé çàâèñèìîñòè ω = ku, êîãäà ôàçîâûå ñêîðîñòè âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ âîëí îäèíàêîâû, íî è â áîëåå îáùåì ñëó÷àåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè (9.15).Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç: óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ôàçîâûõ ñêîðîñòåé íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåèçìåííîñòè ôîðìû âîëíîâîãî ïàêåòà.Âîëíîâîé ïàêåò íå ðàñïëûâàåòñÿ òîãäà, êîãäà ó âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ âîëíîâîé ïàêåò ãðóïï âîëí ãðóïïîâûå ñêîðîñòè îäèíàêîâû.3.
Î ðàñïëûâàíèè âîëíîâîãî ïàêåòà. Çàìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíîé äèñïåðñèîííîé çàâèñèìîñòè ω(k), êîãäà00ω0 =d2 ω(k0 ) 6= 0,dk 2ðåøåíèå (9.16), ïîëó÷åííîå ñ óäåðæàíèåì ëèøü ïåðâûõ äâóõ ÷ëåíîââ ðàçëîæåíèè (9.14), ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãîïðîìåæóòêà âðåìåíè. Ýòîò ïðîìåæóòîê óñòàíàâëèâàåòñÿ òðåáîâàíèåì,www.phys.nsu.ru94Ãëàâà 9.
Äèñïåðñèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí÷òîáû äîïîëíèòåëüíûé ôàçîâûé ìíîæèòåëü ïîä èíòåãðàëîì (9.12), îáó00ñëîâëåííûé îòáðîøåííûì ÷ëåíîì ω0 (k − k0 )2 /2 ðàçëîæåíèÿ (9.14), íàèíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ ìàëî îòëè÷àëñÿ îò åäèíèöû. Äëÿ ýòîãî äîïîëíèòåëüíàÿ ôàçà, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ t, äîëæíà áûòü ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ π/2, ò. å.00|ω0 |(∆k)2 t ¿ π.(9.18)00Òàê êàê ω0 = dVq /dk(k0 ), òî, ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå ðàçáðîñ ãðóïïîâîéñêîðîñòè â ïðåäåëàõ ïàêåòà∆Vq = |dVq(k0 )|∆k,dkóñëîâèå (9.18) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó∆Vq t ¿ π/∆k,÷òî ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè ñâîäèòñÿ ê òðåáîâàíèþ∆Vq t ¿ L (èëèt ¿ t∗ , t∗ = L/∆Vq ).(9.19)Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå (9.16) ñïðàâåäëèâî íà íà÷àëüíîì ýòàïå ïðîöåññà, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ (9.19), êîãäà èçìåíåíèå ïðîòÿæåííîñòèïàêåòà, îáóñëîâëåííîå ðàçáðîñîì ãðóïïîâîé ñêîðîñòè îòäåëüíûõ ãðóïïâîëí â ïðåäåëàõ ïàêåòà, ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì ðàçìåðîì L.Èç ïðèâåäåííûõ êà÷åñòâåííûõ ðàññóæäåíèé ïîíÿòíî, ÷òî ó÷åò êâàäðàòè÷íîãî ÷ëåíà â ðàçëîæåíèè (9.14) ïðèâîäèò ê ðàñïëûâàíèþ âîëíîâîãî ïàêåòà, ïðè÷åì ñêîðîñòü ðàñïëûâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì00ïàðàìåòðîì ∆Vq = ω0 ∆k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
