1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè t → ∞ L(t) ≈ ∆Vq t, ààìïëèòóäà ïîëÿ â ïàêåòå, êàê ñëåäóåò èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèèLE02 = L(t)E 2 (t), äîëæíà ñïàäàòü ïðîïîðöèîíàëüíî t−1/2 .4∗ . Êîëè÷åñòâåííûé (àñèìïòîòè÷åñêèé) àíàëèç. Äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïàêåòà áåñêîíå÷íûåïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ â ðåøåíèè (9.12) çàìåíèì íà êîíå÷íûå (ñ ó÷åòîì øèðèíû ñïåêòðà Ê(k) = Ê0 (k − k0 )), à ôóíêöèþ ω(k) íà âûðàæåíèå (9.14). Ðåçóëüòàò íåòðóäíî ïðèâåñòè ê âèäóei(k0 z−ω0 t)√E(z, t) =2πZ∆k1 0Ê0 (k−k0 )exp{i(k−k0 )[z−(Vq + Vq (k−k0 ))t]}d(k−k0 )2−∆kèëè, ïîñëå ââåäåíèÿ îáîçíà÷åíèé1 0zχ = k − k0 , Ω = [χ − (Vq χ + Vq χ2 )],t2(9.20)www.phys.nsu.ru9.3. Äèñïåðñèÿ è âîëíîâîé ïàêåò95ê âèäó1E(z, t) = √ ei(k0 z−ω0 t)2πZ∆kÊ0 (χ)ei t Ω(z/t, χ) dχ.(9.21)−∆kÎòíîøåíèå z/t, âõîäÿùåå â ôóíêöèþ Ω (9.20), ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñâîáîäíûé ïàðàìåòð, à âåëè÷èíûVq =0dωdVqd2 ω(k0 ), Vq =(k0 ) =(k0 )dkdkdk 2ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè.
Èíòåãðàë, âõîäÿùèé â ðåøåíèå (9.21), âñå åùåíå ìîæåò áûòü òî÷íî âû÷èñëåí. Îäíàêî äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé âðåìåíè äëÿ íåãî ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå, èñïîëüçóÿòàê íàçûâàåìûé ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû, êðàòêî îïèñàííûé â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.Èç ýòîãî èçëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå èíòåãðàëà ïðè áîëüøèõ t çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè χ∗ ñòàöèîíàðíîé ôàçû îòíîñèòåëüíî ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ [−∆k, ∆k] : åñëè −∆k <χ∗ < ∆k, òî ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ èíòåãðàëàïðîïîðöèîíàëåí t−1/2 , à â ñëó÷àå |χ∗ | > ∆k èíòåãðàë ñïàäàåò áûñòðåå(êàê t−1 ).
Òàê êàê ôàçà Ω(χ), çàäàâàåìàÿ âûðàæåíèåì (9.20), ñîäåðæèòâ ñâîåì ñîñòàâå ïàðàìåòð z/t, òî÷êà ñòàöèîíàðíîé ôàçûχ∗ =z − Vq t,Vq0 t0îïðåäåëÿåìàÿ óñëîâèåì Ω (χ) = 0, çàíèìàåò ïîëîæåíèå âíóòðè ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ, åñëè0| z − Vq t |< |Vq |∆k t = ∆Vq t.(9.22)Ïðè ýòîì ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ èíòåãðàëà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (9.30), è ðåøåíèå (9.21) äëÿ îáëàñòè (9.22) ïðèîáðåòàåò âèäsÊ0 (χ∗ )2π 1E(z, t) ∼ √exp {i[k0 z − ω0 t + tΩ(χ∗ ) ± π/4]}0 √ ,|Vt2πq|÷òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè çíà÷åíèÿΩ(χ∗ ) = χ∗z − Vq t 1 0 21 (z − Vq t)2− Vq χ∗ =t22 Vq0 t2www.phys.nsu.ru96Ãëàâà 9. Äèñïåðñèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíäàåòÊ0 (χ∗ )1 (z − Vq t)2π1E(z, t) ∼ qexp {i[k0 z − ω0 t +± ]} √ .002Vt4tq|Vq |(9.23)Òàêîâî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïîëÿ E(z, t) â öåíòðàëüíîé ÷àñòèâîëíîâîãî ïàêåòà, çàíèìàþùåé ïîëîæåíèå (9.22) âîêðóã ¾öåíòðà¿ z =Vq t, ïåðåìåùàþùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ Vq . Îíî ïîäòâåðæäàåò ðåçóëüòàòûêà÷åñòâåííîãî ðàññìîòðåíèÿ, ïðèâåäåííûå âûøå.
Ïðîòÿæåííîñòü ãëàâíîé çîíû (9.22) ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî t êàê L(t) = ∆Vq t, ãäå ∆Vqåñòü õàðàêòåðíàÿ âåëè÷èíà ðàçáðîñà ãðóïïîâîé ñêîðîñòè âíóòðè ïàêåòà; âíå ãëàâíîé çîíû ïîëÿ çàòóõàþò ïðîïîðöèîíàëüíî t−1 è ïîýòîìóçäåñü íå ðàññìàòðèâàþòñÿ. Îñöèëëÿöèè, çàïîëíÿþùèå âîëíîâîé ïàêåòâ ïðåäåëàõ çîíû (9.22), îïèñûâàþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì ìíîæèòåëåì âðåøåíèè (9.23). Íàëè÷èå â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû ñëàãàåìîãî, ïðîïîðöèîíàëüíîãî (z − Vq t)2 , ïðèâîäèò ëèøü ê íåçíà÷èòåëüíîìó îòêëîíåíèþâîëíîâîãî ÷èñëà è ÷àñòîòû îñöèëëÿöèé îò çíà÷åíèé k0 è ω0 (ïî ìåðåóäàëåíèÿ îò öåíòðà ïàêåòà).
Ýòîò âîïðîñ íå ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîãî èíòåðåñà è çäåñü òàêæå íå îáñóæäàåòñÿ.Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ïðîêîììåíòèðóåì ñ ïîìîùüþ ïðèìåðà. Ïóñòüíà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå E0 (z) èç (9.10) çàäàíî ñïåêòðîì ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû½E0 ïðè |k| < ∆k,E0 (k) =0ïðè |k| > ∆k,ãäå ∆k ¿ k0 . Òîãäà2E0 ∆k sin(∆k z) ik0 zE(z, 0) = E0 (z)eik0 z = √e,∆k z2πè ðåøåíèå (9.16) äëÿ íà÷àëüíîãî ýòàïà t ¿ t∗ , ãäå ïî îïðåäåëåíèþ (9.19)t∗ =ππL==,00∆Vq ∆k∆Vq|ω0 |(∆k)2èìååò âèä2E0 ∆k sin(∆k (z − Vq t)) i(k0 z−ω0 t)E(z, t) = √e.∆k (z − Vq t)2π(9.24)Ãðàôèê âåùåñòâåííîé ÷àñòè ôóíêöèè (9.24) äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ t ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 9.5. Êàê è â ïðèìåðå Ñòîêñà, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëñÿ âîëíîâîé öóã ñî ñðåäíèì âîëíîâûì ÷èñëîì k0 è ñ àìïëèòóäîé,www.phys.nsu.ru9.4.
Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû97ìîäóëèðîâàííîé ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ îãèáàþùåé, êîòîðàÿ ôîðìèðóåò ñèñòåìó âîëíîâûõ ïàêåòîâ. Ïàêåòû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ ãðóïïîâîéñêîðîñòüþ Vq , â òî âðåìÿ êàê ñîñòàâëÿþùèå èõ îñöèëëÿöèè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ ω0 /k0 .Ðèñ. 9.5Ïî ïðîøåñòâèè áîëüøîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, ò. å. ïðè t À t∗ , âîëíîâîé ïàêåò ïðåîáðàçóåòñÿ â öóã âîëí, çàíèìàþùèé îáëàñòü |z − Vq t| ≤∆Vq t, â ïðåäåëàõ êîòîðîé âîëíîâîå ÷èñëî îñöèëëÿöèé ìåíÿåòñÿ îò çíà÷åíèÿ k0 (â öåíòðå) äî k0 + ∆k (ïî êðàÿì) ïðè àìïëèòóäå, íåèçìåííîéïî ïðîñòðàíñòâó è óáûâàþùåé ñî âðåìåíåì ïðîïîðöèîíàëüíî t−1/2 .9.4. Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû4Çäåñü èññëåäóåòñÿ îáîáùåííûé èíòåãðàë ÔóðüåZbf (χ) ei t Ω(χ) dχ,I(t) =b>a(9.25)aâ ñëó÷àå áîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ t.
Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî f (χ)è Ω(χ) âåùåñòâåííûå ôóíêöèè è èíòåãðàë (9.25) ñóùåñòâóåò. Åñëè4 Èçëîæåíèå ïîñòðîåíî ïî çàìå÷àòåëüíîé êíèãå: Íàéôý À. Ââåäåíèå â ìåòîäûâîçìóùåíèé. Ì.: Ìèð, 1984.www.phys.nsu.ru98Ãëàâà 9. Äèñïåðñèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëííàçâàííûå ôóíêöèè íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû, òî äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé îöåíêè èíòåãðàëà (9.25) ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ïðèìåíèòü ìåòîäèíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, êîòîðûé äàåò ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîåïðåäñòàâëåíèå:·¸i f (a) i t Ω(a)f (b) i t Ω(b)1I(t) =e− 0e+ O( 2 ).(9.26)t Ω0 (a)Ω (b)t0Ýòîò ìåòîä ñòàíîâèòñÿ íåïðèãîäíûì, åñëè ïðîèçâîäíàÿ Ω (χ) îáðàùà0åòñÿ â íóëü â êàêîé-ëèáî òî÷êå èíòåðâàëà [a , b ]. Åñëè æå Ω (χ) 6= 0 íàïðîìåæóòêå [a , b ], òî, ñîãëàñíî ôîðìóëå (9.26), îñíîâíîé âêëàä â àñèìïòîòèêó èíòåãðàëà I(t) âíîñÿò òîëüêî îêðåñòíîñòè êîíöåâûõ òî÷åê.
Ïðèýòîì áûñòðûå êîëåáàíèÿ ôóíêöèè ei t Ω(χ) óíè÷òîæàþò âêëàä â èíòåãðàëîò âíóòðåííèõ òî÷åê ïðîìåæóòêà.0Åñëè Ω (χ) îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ïðîìåæóòêå èíòåãðèðîâàíèÿ (èíà÷åãîâîðÿ, åñëè ôàçà èìååò ñòàöèîíàðíûå òî÷êè), âêëàä â àñèìïòîòè÷åñêîåðàçëîæåíèå âíîñÿò êàê îêðåñòíîñòè êîíöåâûõ òî÷åê, òàê è îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê, ïðè÷åì âêëàä ïîñëåäíèõ çíà÷èòåëüíåå. Ýòîòôàêò õîðîøî èëëþñòðèðóåòñÿ íà ðèñ. 9.6, ãäå ïðèâåäåí ïðèìåð ôóíê√öèè (1 + χ) cos 50(2 − χ)2 ñî ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé.  òî÷êàõ, äàëåêèõîò êîíöåâûõ è ñòàöèîíàðíûõ, ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå ïîëóâîëíû âçàèìíî ïîãàøàþòñÿ.
Ê òîìó æå, êàê âèäíî èç ðèñ. 9.6, âçàèìíîåïîãàøåíèå êîëåáàíèé îêàçûâàåòñÿ ìåíüøèì â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè, ÷åì â îêðåñòíîñòÿõ êîíöåâûõ òî÷åê. Ïîýòîìó ãëàâíûå ÷ëåíûàñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ èíòåãðàëîâ Ôóðüå äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿèìåííî îêðåñòíîñòÿìè ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê.Ðèñ. 9.6Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû, ðàçðàáîòàííûé Êåëüâèíûì, ïîçâîëÿåòó÷èòûâàòü âêëàä ñòàöèîíàðíîé òî÷êè χ = χ∗ â àñèìïòîòèêó ñ ïîìîùüþwww.phys.nsu.ru9.4. Ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû99ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé f (χ) è Ω(χ) ïî ñòåïåíÿì (χ−χ∗ ). Ýòîò âêëàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåëè÷èíó ïîðÿäêà t−1/2 è, ñëåäîâàòåëüíî, èìåííî ñòàöèîíàðíûå òî÷êè îïðåäåëÿþò õàðàêòåð ãëàâíîãî ÷ëåíà àñèìïòîòè÷åñêîãîðàçëîæåíèÿ èíòåãðàëà I(t), òàê êàê, íàïîìíèì, âêëàä êîíöåâûõ òî÷åê,êàê ïîêàçûâàåò ôîðìóëà (9.26), ïðîïîðöèîíàëåí t−1 è áûñòðî çàòóõàåò.Èòàê, ïóñòü ôóíêöèÿ Ω(χ) èìååò åäèíñòâåííóþ ñòàöèîíàðíóþ òî÷êóχ∗ , ëåæàùóþ âíóòðè ïðîìåæóòêà [a , b ].
Êðîìå òîãî, ïðèíèìàåòñÿ, ÷òîôóíêöèÿ f (χ) îãðàíè÷åííà â òî÷êå (χ = χ∗ ). Ãëàâíûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿèíòåãðàëà I(t) îïðåäåëÿåòñÿ âêëàäîì îêðåñòíîñòè òî÷êè (χ = χ∗ ), ïîýòîìó ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåì çàìåíèòü íà χ∗ − δ è χ∗ + δ, ãäåδ ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, èìååìχZ∗ +δf (χ)ei t Ω(χ) dχ.I(t) ∼(9.27)χ∗ −δ ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ôóíêöèþ f (χ) ìîæíî çàìåíèòü íà f (χ∗ ), àôóíêöèþ Ω(χ) ïðåäñòàâèòü åå òåéëîðîâñêèì ðàçëîæåíèåì1 00Ω(χ) = Ω(χ∗ ) + Ω (χ∗ )(χ − χ∗ )2 + · · · ,20ïîñêîëüêó Ω (χ∗ ) = 0. Ïðè ýòîì èíòåãðàë (9.27) ìîæíî ïåðåïèñàòü êàêχZ∗ +δI(t) ∼ f (χ∗ )e00i t Ω(χ∗ )exp [i t Ω (χ∗ ) (χ − χ∗ )2 /2 ]dχ.(9.28)χ∗ −δÈñïîëüçîâàâ âíîâü äîïóùåíèå, ÷òî íàèáîëåå ñóùåñòâåííûé âêëàä â àñèìïòîòèêó âíîñèò áëèæàéøàÿ îêðåñòíîñòü ñòàöèîíàðíîé òî÷êè, çàìåíèìïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ íà −∞, ∞.
Ïîëàãàÿ òåïåðü χ − χ∗ = z è ó÷òÿ÷åòíîñòü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ïåðåïèøåì ôîðìóëó (9.28) â âèäåZ∞00I(t) ∼ 2f (χ∗ )ei t Ω(χ∗ )exp [i t Ω (χ∗ ) z 2 /2 ]dz.0Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé ÊîøèZF (z)dz = 0C(9.29)www.phys.nsu.ru100Ãëàâà 9. Äèñïåðñèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí00äëÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè F (z) = exp[i t Ω (χ∗ )z 2 /2 ]. Çàìêíóòûé êîíòóð C ñîñòàâèì, êàê íà ðèñ. 9.7, èç ó÷àñòêîâ C1 , CR , C2 . Èíòåãðàë ïîäóãå îêðóæíîñòè CR ðàäèóñà R ïðè R → ∞ îáðàùàåòñÿ â íóëü (âû÷èñëåíèÿ îïóñêàåì).Ðèñ. 9.7Òîãäà èñêîìûé èíòåãðàë ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó ïî ëó÷ó −C2 , óõîäÿùåìóíà áåñêîíå÷íîñòü, íà êîòîðîì z = r exp(±iπ/4), z 2 = ±ir2 (â çàâèñèìî00ñòè îò çíàêà Ω (χ∗ )), ïðè÷åìZZ∞= exp(±iπ/4)−C20s0011exp [∓ t Ω (χ∗ ) r2 ]dr = exp(±iπ/4)222π1√ ,|Ω00 (χ∗ )| tò.
å. èñõîäíûé èíòåãðàë Ôóðüå âûðàçèëñÿ ÷åðåç âåùåñòâåííûé èíòåãðàëÏóàññîíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèå (9.29) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìóîêîí÷àòåëüíîìó âèäós2π1i[ t Ω(χ∗ )± π/4 ]√ .I(t) ∼ f (χ∗ )e(9.30)|Ω00 (χ∗ )| tÂûðàæåíèå (9.30) è îïðåäåëÿåò âêëàä, ñâÿçàííûé ñî ñòàöèîíàðíîé ôàçîé. Çàìåòèì, ÷òî ýòà âåëè÷èíà èìååò ïîðÿäîê t−1/2 è, çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì ÷ëåíîì â àñèìïòîòè÷åñêîì ðàçëîæåíèè I(t) äëÿ áîëüøèõ t.
Ìîæíî ñòðîãî ïîêàçàòü, ÷òî îøèáêè, ïîÿâëÿþùèåñÿ ïðè âûâîäå ôîðìóëû (9.30) èç (9.27) ïóòåì çàìåíû f (χ) íà f (χ∗ ), à Ω íà00(1/2)Ω (χ∗ )(χ − χ∗ )2 , è çàìåíû ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ (9.28) íà ±∞îêàçûâàþòñÿ ïîðÿäêà 1/t.www.phys.nsu.ru9.5. Çàòóõàíèå è óñèëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ñðåäå1019.5. Î çàòóõàíèè è óñèëåíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ñðåäåÊàê ñëåäóåò èç ìàòåðèàëà § 9.1, 9.2, â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè ïðîõîæäåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ïî ñðåäå ìîæåò áûòüñâÿçàíî òîëüêî ñ åå îñëàáëåíèåì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
