1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ýòà íåòî÷íîñòü íå ñêàçûâàåòñÿ íà ðåçóëüòàòå îöåíêè âåëè÷èíû∆ω =| ω − ω∗ | .www.phys.nsu.ru68Ãëàâà 8. Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿïðåíåáðå÷ü. Èíûìè ñëîâàìè, èìïóëüñíàÿ ñèëà (8.20) â ñâîåì ñîñòàâå ñîäåðæèò ÷àñòîòû, íàõîäÿùèåñÿ â ïðåäåëàõ (8.22), ò. å. äëÿ øèðèíû ñïåêòðà è ïðîäîëæèòåëüíîñòè ïðîöåññà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòè (8.19). çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî âûáîð èìïóëüñíîé ñèëû â âèäå (8.20) ñíåñóùåé ÷àñòîòîé ω0 íåîáÿçàòåëåí. Ïðè ω0 = 0, ò.
å. êîãäà èìïóëüñíàÿñèëà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ôóíêöèè f = F (t) (ðèñ. 8.12), âñå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ∆ω ïðàêòè÷åñêè îñòàþòñÿ â ñèëå, èìåÿ â âèäó, ÷òî òåïåðü∆ω = ω.2. Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ îñöèëëÿòîðà, âîçáóæäàåìûå ñèëîé, äåéñòâóþùåé â òå÷åíèå êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè 0 < t < t0 . Ïðèìåì,÷òî äî íà÷àëà äåéñòâèÿ ñèëû îñöèëëÿòîð íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ.Ïðè ýòîì êîëåáàíèÿ áåç ó÷åòà ñèë òðåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåìäâèæåíèÿ è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè1f (t), x(0) = ẋ(0) = 0,(8.23)mãäå ω ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà.R∞Ïðåäñòàâèâ ñèëó â âèäå f (t) = −∞ f (τ )δ(t − τ )dτ, ðåøåíèå çàäà÷è(8.23) âûðàçèì ÷åðåç ôóíêöèþ Ãðèíà â âèäåZ1 ∞x(t) =f (τ )G(t, τ )dτ,m −∞ẍ + ω 2 x =ïðè÷åì, êàê ëåãêî óáåäèòüñÿ, 0G(t, τ ) =(1/2ω)[ie−iω(t−τ ) − ieiω(t−τ ) ]ïðè t < τ,ïðè t > τ.Äåéñòâèòåëüíî, ïðè t > τ ýòà ôóíêöèÿ îïèñûâàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé ω, íà÷àâøååñÿ â ìîìåíò t = τ, èìåÿ ñêîðîñòü, ðàâíóþåäèíèöå, ïðèîáðåòåííóþ ïîä äåéñòâèåì ñèëû â âèäå ¾òîë÷êà¿ δ(t − τ ).Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå çàäà÷è (8.23) èìååò âèä½¾Z tZ tix(t) =e−iωtf (τ )eiωτ dτ − eiωtf (τ )e−iωτ dτ ,2mω−∞−∞êîòîðûé äëÿ ìîìåíòîâ âðåìåíè ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ ñèëû çàìåíîéâåðõíèõ ïðåäåëîâ â èíòåãðàëàõ íà ∞ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ôóðüåîáðàç èìïóëüñíîé ñèëû f (t) :√2πx(t > t0 ) ={ie−iωt f (ω) − ieiωt f (−ω)}.2mωwww.phys.nsu.ru8.5.
Ñïåêòð ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà69Òàê êàê äëÿ âåùåñòâåííîé ôóíêöèè f (t) ñïðàâåäëèâî ñâîéñòâî (8.8),ñêîáêà â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ðàâíà óäâîåííîé ðåàëüíîé ÷àñòè ïåðâîãîñëàãàåìîãî è èñêîìîå ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå√2πx(t > t0 ) = if (ω)e−iωt .mωÒàêèì îáðàçîì, ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ èìïóëüñíîé ñèëîé ïðîáíûé îñöèëëÿòîð ïðèõîäèò â ñîñòîÿíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ñîáñòâåííîé÷àñòîòîé, ïðè÷åì êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà êîëåáàíèé ïðîïîðöèîíàëüíàçíà÷åíèþ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ñèëû íà ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå îñöèëëÿòîðà. Ïðè ýòîì ïðèîáðåòåííàÿ îñöèëëÿòîðîì ýíåðãèÿπ∆E =| f (ω) |2mîïðåäåëÿåòñÿ êâàäðàòîì ìîäóëÿ ýòîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Òàêèìîáðàçîì, íàáîð îñöèëëÿòîðîâ ñ ðàçíûìè ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóðüå-àíàëèçàòîð äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãîôóíêöèåé f (t).8.5.
Ñïåêòð ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà1. Ïåðåéäåì ê îáñóæäåíèþ íåòðèâèàëüíîãî âîïðîñà êàê ââåñòèïîíÿòèå ñïåêòðà äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x(t). Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ñ ñàìîãî íà÷àëà ïðèìåì,÷òî åñëè ïðîöåññ õàðàêòåðèçóåòñÿ íåíóëåâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì x̄ 6= 0,òî â êà÷åñòâå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè áóäåì ðàññìàòðèâàòü åå ïóëüñàöèîííóþ ñîñòàâëÿþùóþξ(t) = x(t) − x̄, äëÿ êîòîðîé ξ¯ = 0,ïðè÷åì ôóíêöèþ ξ(t) áóäåì ñ÷èòàòü âåùåñòâåííîé.Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè âû÷èñëèòü ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãîïðîöåññà ξ(t) ïî îáû÷íîé ôîðìóëå1ξ(ω) = √2πZ∞ξ(t)eiωt dt,−∞òî ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ ξ(ω), êàê ôóðüå-îáðàç îäíîé èç âîçìîæíûõ ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, áóäåò ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû ω èwww.phys.nsu.ru70Ãëàâà 8.
Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿèñêîìûì ñïåêòðîì ïîñëóæèòü íå ñìîæåò.  óñëîâèÿõ äåéñòâèòåëüíîãîíàáëþäåíèÿ çà ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì ξ(t) ìû â êà÷åñòâå íåêîåãî ïðèáëèæåíèÿ ê ξ(ω) ìîæåì ïîëó÷èòü ëèøü òåêóùèé ñïåêòð äàííîé ðåàëèçàöèèçà âðåìÿ −T /2 < t < T /2, ò. å. ñïåêòð îòðåçêà ðåàëèçàöèè½ξ(t) ïðè |t| ≤ T /2,ξT (t) =0ïðè |t| > T /2.Ïîíÿòíî, ÷òî ôóíêöèÿ ξT (ω)=. ξT (t), ðàâíàÿ1ξT (ω) = √2πT /2ZξT (t)eiωt−T /21dt = √2πZ∞ξT (t)eiωt dt,−∞òîæå åñòü ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ îò ω.2. À òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ñ åå ïîìîùüþ ìîæíî ïðèäòè ê íåêîòîðîé íåñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÷àñòîòû, êîòîðàÿ è áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.
Äëÿ ýòîãî îáðàòèìñÿ ê òåîðåìå Ïàðñåâàëÿ äëÿ îòðåçêà ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîãîïðîöåññà ξT (t) :T /2ZZ∞2| ξT (ω) |2 dω.| ξT (t) | dt =(8.24)−∞−T /2Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñðåäíåå ñòàòèñòè÷åñêîå (â äàííîì ïàðàãðàôå îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðòîé íàä ñèìâîëîì) ðàâíî ðåçóëüòàòó âðåìåííîãî óñðåäíåíèÿ îäíîé ðåàëèçàöèè; â ÷àñòíîñòè,äëÿ óñðåäíåííîé âåëè÷èíû êâàäðàòà ìîäóëÿ________I¯ =| ξ(t) |2 ,(8.25)íå çàâèñÿùåé îò t, ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå1I¯ = limT →∞ TT /2Z| ξ(t) |2 dt.(8.26)−T /2Ñäåëàåì íåáîëüøóþ¾òåðìèíîëîãè÷åñêóþ îñòàíîâêó¿. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ________âåëè÷èíû | ξ(t) |2 â ëèòåðàòóðå óïîòðåáëÿåòñÿ ìíîãî ðàçëè÷íûõ íàçâàíèé, íàïðèìåð, óñðåäíåííàÿ ìîùíîñòü ïðîöåññà ξ(t).
Âñå îíè òàê èëèwww.phys.nsu.ru8.5. Ñïåêòð ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà71èíà÷å ïðèâÿçàíû ê ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå, îïèñûâàåìîé ñèìâîëè÷åñêîéñëó÷àéíîé ôóíêöèåé ξ(t).  äàííîì ïàðàãðàôå ïîä ñêàëÿðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé ξ(t) ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòü îïðåäåëåííóþ êîìïîíåíòóýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà â åãî ¾åñòåñòâåííîì¿ âåùåñòâåííîì ïðåäñòàâëåíèè. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìóþ âåëè÷èíó ìîæíî íàçâàòü óñðåäíåííîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ñëó÷àéíîãî ïîëÿ.Íî ìû íàçîâåì åå êîðî÷å óñðåäíåííîé èíòåíñèâíîñòüþ, èìåÿ â âèäó, ÷òîïðè èçó÷åíèè èíòåðôåðåíöèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ñðåäíåå çíà÷åíèåêâàäðàòà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü òàêèì òåðìèíîì.Ïîéäåì äàëüøå. Ðàçäåëèâ ðàâåíñòâî (8.24) íà T è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëóïðè T → ∞, ïîëó÷èìT /2Z1limTZ∞2| ξ(t) | dt =lim−∞−T /21| ξT (ω) |2 dω,Tà îáúåäèíèâ äàííûé ðåçóëüòàò ñ ïðåäñòàâëåíèåì (8.26), ôàêòè÷åñêèïðèäåì ê ñïåêòðó èíòåíñèâíîñòè ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ξ(t):Z∞I¯ =−∞1lim | ξT (ω) |2 dω =TZ∞I(ω)dω.(8.27)−∞Ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè I(ω) ñâÿçàíà ñîñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ξT (ω) îòðåçêà ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîãî ïîëÿñîîòíîøåíèåìZ∞1I(ω) =lim | ξT (ω) |2 dω.(8.28)T−∞Èòàê, ξT (ω) ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ω, à I(ω), îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (8.28) è èìåþùàÿ îïðåäåëåííûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë, óæå ÿâëÿåòñÿîäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé ω.
Èìåííî îíà õàðàêòåðèçóåò ñîáîé ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ äàííîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t).Òàê êàê ξ(t) âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ïî óñëîâèþ, òî èç ñâîéñòâà(8.9) è îïðåäåëåíèÿ (8.28) ñëåäóåò, ÷òî I(ω) ÷åòíàÿ âåùåñòâåííàÿôóíêöèÿ. Òîãäà ðàâåíñòâî (8.27) äëÿ óñðåäíåííîé èíòåíñèâíîñòè ïðåîáðàçóåòñÿ â èíòåãðàë îò ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ïî ïîëîæèòåëüíûì÷àñòîòàìZ∞(8.29)I¯ = 2 I(ω)dω.0www.phys.nsu.ru72Ãëàâà 8. Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ3.
Íàïðÿìóþ ïî ôîðìóëå (8.28) ôóíêöèþ I(ω) óäàåòñÿ îïðåäåëèòüòîëüêî â ðåäêèõ ñëó÷àÿõ3 . Ïîýòîìó äëÿ íåå íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü íåçàâèñèìûé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ. Ñ ýòîé öåëüþ îáðàòèìñÿ ê òàê íàçûâàåìîéôóíêöèè êîððåëÿöèè Γ(τ ), êîòîðàÿ äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t) (âåùåñòâåííîãî) îïðåäåëÿåòñÿ êàê_____________1Γ(τ ) = ξ(t)ξ(t + τ ) = limT →∞ TT /2Zξ(t)ξ(t + τ )dt−T /2è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåùåñòâåííóþ ôóíêöèþ ñâîåãî àðãóìåíòà, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿìΓ(−τ ) = Γ(τ ) = Γ∗ (τ ),Γ(∞) = 0.(8.30)Âèäíî, ÷òî èíòåðåñóþùàÿ íàñ ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü I¯ (8.25) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè êîððåëÿöèèI¯ = Γ(0).Èñõîäÿ èç ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè Γ(τ ) îòñþäà ïîëó÷àåì1I¯ = √2πZ∞Γ(ω)e−iωt¯dω ¯−∞1=√τ =02πZ∞Γ(ω)dω,−∞÷òî ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ôóíêöèè Γ(ω) :Γ(−ω) = Γ(ω) = Γ∗ (ω)ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå2I¯ = √2πZ∞Γ(ω)dω.0Èç ñðàâíåíèÿ ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ñ ðàâåíñòâîì (8.29), ñïðàâåäëèâûõäëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t), ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òîôóðüå-îáðàç Γ(ω) ôóíêöèè êîððåëÿöèè (÷àñòî íàçûâàåìûé ñòàòèñòè÷åñêèì ñïåêòðîì ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà) è ñïåêòðàëüíàÿ ïëîò3 Ñì., íàïðèìåð, âû÷èñëåíèÿ â êîíöå 11.4.www.phys.nsu.ru8.6.
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèè73íîñòü èíòåíñèâíîñòè I(ω) îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì:√Γ(ω) = 2πI(ω).(8.31)Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Âèíåðà-Õèí÷èíà îñíîâíîé òåîðåìû òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (8.28), ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî äîïîëíèòü è ïðåäñòàâèòü â âèäåöåïî÷êè√√1Γ(ω) = 2πI(ω) = 2π lim| ξT (ω) |2 ,(8.32)T →∞ T÷òîáû ïîä÷åðêíóòü: ñòàòèñòè÷åñêèé ñïåêòð Γ(ω) îïðåäåëÿåò êàê ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè, òàê è ïðåäåëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó ñïåêòðà îòðåçêà ðåàëèçàöèè ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññàξT (ω).Òàêèì îáðàçîì, íà âîïðîñ, ñôîðìóëèðîâàííûé â íà÷àëå ïàðàãðàôà, îòâåò ïîëó÷åí: ñòàòèñòè÷åñêèì ñïåêòðîì ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãîïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Γ(ω) ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ôóíêöèèêîððåëÿöèè Γ(t) ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t).
 êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè êñêàçàííîìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðèìåð èç 11.8.8.6. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ ôóíêöèé ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèè1. Äî ñèõ ïîð, ãîâîðÿ î ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèè, ìû ïîäðàçóìåâàëèëèáî ôóíêöèè âðåìåíè, ëèáî ôóíêöèè îò îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû x. À ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ, ê êîòîðûì ìû õîòèì öåëåíàïðàâëåííî ïðèìåíèòü ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ, â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿò îòòðåõ êîîðäèíàò è âðåìåíè.Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà îñóùåñòâèòü ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ïî âñåì ïåðåìåííûì è ïðåäñòàâèòü ôóíêöèþ f (r, t) â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí. Ãîâîðÿò ïðè ýòîì, ÷òî ôóíêöèè f (r, t) ñîîòâåòñòâóåò ôóðüå-îáðàç, çàäàâàåìûé â ïðîñòðàíñòâå k, ω :f (r, t) + f (k, ω),ëèáîf (r, t) + fk,ω .www.phys.nsu.ru74Ãëàâà 8. Ôóðüå-ðàçëîæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ2.
Âíà÷àëå, äëÿ íàãëÿäíîñòè, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ òîëüêî äâóõ ïåðåìåííûõ z è t. Îñóùåñòâèâ ïîñëåäîâàòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî îäíîé è äðóãîé ïåðåìåííîé, ëåãêî â ýòîì ñëó÷àå ïðèäòè ê ñëåäóþùèìôîðìóëàì:Z ∞Z1f (z, t) =f (k, ω) ei(kz−ωt) dkdω,(8.33)2π−∞1f (k, ω) =2πZ ∞Zf (z, t) e−i(kz−ωt) dzdt.(8.34)−∞Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïðîöåññ, îïèñûâàåìûé ôóíêöèåé f (z, t), ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåí â âèäå ñóïåðïîçèöèè áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, áåãóùèõ âäîëü íàïðàâëåíèÿ z. Êàæäàÿ èç ýòèõ âîëíõàðàêòåðèçóåòñÿ ÷àñòîòîé ω, âîëíîâûì ÷èñëîì k, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñôàçîâîé ñêîðîñòüþ vφ = ω/k è èìååò àìïëèòóäó f (k, ω), îïðåäåëÿåìóþñîîòíîøåíèåì (8.34), îòëè÷íóþ îò íóëÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïëîñêîñòèk, ω.
Òàê êàê â èíòåãðàëå (8.33) ω è k íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò −∞ äî ∞, ïîíÿòíî, ÷òî ñðåäèâîëí, ñîñòàâëÿþùèõ ôóíêöèþ f (z, t), ôàçîâûå ñêîðîñòè â îáùåì ñëó÷àåòàêæå ìîãóò ìåíÿòüñÿ îò −∞ äî ∞.Åñëè ðàññìàòðèâàòü íå óìîçðèòåëüíî âûïèñàííûå ôóíêöèè f (z, t),à ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå êàêîé-ëèáî ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí, âîçíèêàþò îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ k, ω è, ñëåäîâàòåëüíî, íà ôàçîâûå ñêîðîñòè ñîñòàâëÿþùèõ âîëíf (k, ω)exp[i(kz − ωt)]. Âîçüìåì, ê ïðèìåðó, ôóíêöèþf (z, t) = f (ξ), ξ = z − ut,(8.35)ðàññìàòðèâàâøóþñÿ â 7.2. êàê ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (7.9) èîïèñûâàþùóþ âîëíó, áåãóùóþ áåç èçìåíåíèÿ ïðîôèëÿ ñ ïîñòîÿííîéñêîðîñòüþ u.
Ôóðüå-îáðàç ýòîé ôóíêöèè1f (k, ω) = √2πZ∞−∞1√2πZ∞f (ξ)e−ikξ dξ e−ikut eiωt dt.−∞Âíóòðåííèé èíòåãðàë çäåñü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé f (k) + f (ξ), à ïîâòîðíîåèíòåãðèðîâàíèå ïðè ó÷åòå ñîîòíîøåíèé (8.3) ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó√(8.36)f (k, ω) = 2πf (k)δ(ω − ku),www.phys.nsu.ru8.6. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèè75îòêóäà âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ f (k, ω) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå (8.35)îòëè÷íà îò íóëÿ íå â äâóìåðíîé îáëàñòè ïëîñêîñòè k, ω, à òîëüêî íàëèíèèω = ku, u = const.(8.37)Ïðè ýòîì, êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèé (8.33), (8.36),1f (z, t) = √2πZ∞Z∞f (k)eikz−∞−∞1δ(ω−ku)e−iωt dωdk = √2πZ∞f (k)eik(z−ut) dk.−∞Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèþ f (z, t), çàäàííóþ ôîðìóëîé (8.35), ìû ïðåäñòàâèëè â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
