1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Åñëè ðàçðåøèòü ýòè ÷åòûðå óðàâíåíèÿ (÷òî äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêî), òî îòâåò äëÿ îòðàæåííîé âîëíû ìîæíî ïðèâåñòèê òàêîìó âèäó:ρ12 + ρ23 e2ik2 aÊ1 = E0.(7.52)1 + ρ12 ρ23 e2ik2 an1 − n2n2 − n3Çäåñü ρ12 =, ρ23 =− àìïëèòóäíûå êîýôôèöèåíòûn1 + n2n2 + n3www.phys.nsu.ru7.10. Ïðîñâåòëåíèå îïòèêè41îòðàæåíèÿ, ïîëó÷àåìûå èç ôîðìóë Ôðåíåëÿ äëÿ ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõïîëóïðîñòðàíñòâ: ρ12 äëÿ ïåðåõîäà èç n1 â n2 (ñì.
ïåðâóþ ôîðìóëó(7.51)) è ρ23 äëÿ ïåðåõîäà èç n2 â n3 . (Çàìåòèì, ÷òî ââåäåííûé âïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå êîýôôèöèåíò R ìîæíî áûëî áû íàçâàòü ýíåðãåòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ. Ìåæäó ñîáîé îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì R = ρ2 .)2.Âûïèñàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ðåøàòü ìû íå áóäåì. Âìåñòî ýòîãîôîðìóëó (7.52) ïîëó÷èì ñ èñïîëüçîâàíèåì äðóãîãî ïîäõîäà, îñíîâàííîãî íà ðàññìîòðåíèè ìíîãîêðàòíûõ îòðàæåíèé-ïðåëîìëåíèé íà ãðàíèöàõðàçäåëà, ò. ê.
ýòîò ïîäõîä ôèçè÷åí è ïîýòîìó ïîëåçåí.Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïðîèëëþñòðèðóåì ýòîò ïîäõîä äëÿ óãëà ïàäåíèÿ,îòëè÷íîãî îò íóëÿ (ðèñ. 7.16).E0E^11E^12E^E^21E^’21E^31E^32E^3313E^1 nε1ε2ε3 >ε1Ðèñ. 7.16Çäåñü âîëíà ñ àìïëèòóäîé E0 äîñòèãàåò ãðàíèöû, ÷àñòè÷íî îòðàæàåòñÿ è óõîäèò â âèäå ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû ñ àìïëèòóäîéÊ11 = E0 ρ12 ,à ÷àñòè÷íî ïðîõîäèò â ñðåäó 2 â âèäå âîëíû ñ àìïëèòóäîé Ê21 = E0 τ12 .Ýòà ïîñëåäíÿÿ âîëíà äîõîäèò äî ãðàíèöû 23, ÷àñòè÷íî îòðàæàÿñü ïî0(åå àìïëèòóäà áåç ó÷åòàðîæäàåò âîëíó, íà ðèñóíêå îòìå÷åííóþ êàê E21íàáåãà ôàçû ðàâíà E21 ρ23 ), è äàëüøå ÷àñòè÷íî âûõîäèò â ñðåäó 1 â âèäåîòðàæåííîé âîëíû E12 , àìïëèòóäà êîòîðîé ðàâíàÊ12 = E0 τ12 ρ23 τ21 e2ik2 a .Çäåñü ôàçîâûé ìíîæèòåëü exp(2ik2 a) îáóñëîâëåí ñóììàðíûì íàáåãîìôàçû ïðè ïðîõîæäåíèè âîëíû ïî ñëîþ òîëùèíû a âïåðåä è íàçàä, à2n12n2τ12 =, τ21 =n1 + n2n1 + n2www.phys.nsu.ru42Ãëàâà 7.
Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû àìïëèòóäíûå êîýôôèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿ ãðàíèöû 12 ñëåâà íàïðàâî ( âòîðàÿ ôîðìóëà (7.51)) è ñïðàâà íàëåâî (ïî àíàëîãèè).Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî àìïëèòóäû ïîñëåäóþùèõ îòðàæåííûõ âîëíE13 , E14 , . . . îïðåäåëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûì îáðàçîì:Ê13 = Ê12 q,Ê14 = Ê13 q . . . , ãäå q = ρ21 ρ23 e2ik2 a .Òàêèì îáðàçîì, åäèíàÿ îòðàæåííàÿ âîëíà, âûøå çàïèñûâàâøàÿñÿ êàêÊ1 exp(i(−kz − ωt)), ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íîãî íàáîðà âîëí ñ îäèíàêîâûìè k, ω è ñ àìïëèòóäàìè Ê1n , òàê ÷òîÊ1 = Ê11 + Ê12∞Xq n = Ê11 + Ê12n=01.1−qÎòñþäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè çíà÷åíèÿ q è ïîä÷åðêíóòûõ âûðàæåíèé äëÿÊ11 , Ê12 ïîëó÷àåìÊ1 = E0 ρ12 + E0 τ12 τ21 ρ23e2ik2 a.1 − ρ21 ρ23 e2ik2 aÄàëüøå îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ρ21 = −ρ12 , à ïðîèçâåäåíè嵶24n1 n2n1 − n2τ12 τ21 ==1−(n1 + n2 )2n1 + n2çàìåíèòü íà (1 − ρ212 ), è òîãäà ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå ïðèâîäèòñÿ êíóæíîìó âèäó (7.52).3.
Âûÿñíèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îòðàæåííàÿ âîëíà îòñóòñòâóåò,ò. å. Ê1 = 0. Òàê êàê äëÿ ïðîçðà÷íûõ äèýëåêòðèêîâ êîýôôèöèåíòûîòðàæåíèÿ ρ12 , ρ23 âåùåñòâåííû, ÷èñëèòåëü äðîáè (7.52) ìîæåò áûòüîáðàùåí â íóëü òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ôàçîâûé ìíîæèòåëü exp(2ik2 a),çàâèñÿùèé îò òîëùèíû ïëåíêè a, ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò äâà âàðèàíòà çíà÷åíèé a, ïðè êîòîðûõ àìïëèòóäà îòðàæåííîé âîëíû ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Åñëè exp(2ik2 a) = 1, ÷òî èìååò ìåñòîïðèλ2am = m ,2ãäå m = 1, 2, 3, . . . , λ2 äëèíà âîëíû â ìàòåðèàëå ïëåíêè, èñêîìàÿ àìïëèòóäà ñâîäèòñÿ ê âûðàæåíèþÊ1 = E0n1 − n3,n1 + n3www.phys.nsu.ru7.10.
Ïðîñâåòëåíèå îïòèêè43íå ñîäåðæàùåìó n2 . Îòñþäà âèäíî, ÷òî, åñëè n1 = n3 , ò. å. åñëè äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïëåíêà ñ ïðîèçâîëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ è ñ òîëùèíîé, êðàòíîé ïîëîâèíå äëèíû âîëíû λ2 , íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîé ñðåäå,ïàäàþùàÿ âîëíà ïðîõîäèò ÷åðåç ïëåíêó áåç îòðàæåíèÿ. Íî ýòîò ñëó÷àéê âîïðîñó î ïðîñâåòëåííîé îïòèêå íå îòíîñèòñÿ.Âòîðîé âàðèàíò, êîãäà exp(2ik2 a) = −1 èam =λ2(1 + 2m),4(7.53)èìååò íåïîñðåäñòâåííîå îòíîøåíèå ê ðàññìàòðèâàåìîìó âîïðîñó.
Ïðèýòîì òðåáîâàíèå Ê1 = 0 ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ ρ12 = ρ23 , ýêâèâàëåíòíîìón22 = n1 n3 , ò. å. ²2 =√²1 ²2 .(7.54)Òàêèì îáðàçîì, åñëè òîëùèíà ïëåíêè äèýëåêòðèêà ðàâíà ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû (äëèíû âîëíû â äèýëåêòðèêå, à íå â îêðóæàþùåé ñðåäå), àäèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ïðèâåäåííîé ôîðìóëîé,òî òàêàÿ ïëåíêà îáåñïå÷èâàåò ïîëíîå ïðîõîæäåíèå âîëíû áåç îòðàæåíèÿ. (Çäåñü ìû ãîâîðèì î ÷åòâåðòüâîëíîâîé ïëåíêå, èìåÿ â âèäó ìèíèìàëüíóþ òîëùèíó.)Îáû÷íî ïðîçðà÷íûé äèýëåêòðèê ñ òî÷íî íóæíûì çíà÷åíèåì ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ íå ñóùåñòâóåò; íàïðèìåð, äëÿ ñòåêëà ñ n3 = 1, 52√íåîáõîäèìîå n2 = n1 n3 = 1, 23, à â êà÷åñòâå ïîêðûòèÿ èñïîëüçóþòêðèîëèí (n2 = 1, 35) èëè ôòîðèñòûé ìàãíèé (n2 = 1, 38) è äîáèâàþòñÿçíà÷èòåëüíîãî îñëàáëåíèÿ îòðàæåíèÿ.4. Äîïîëíèòåëüíûå çàìå÷àíèÿà.
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ρ12 , ρ23 << 1, ôàêòè÷åñêè íåò íåîáõîäèìîñòèïðèíèìàòü âî âíèìàíèå âåñü áåñêîíå÷íûé íàáîð îòðàæåííûõ, ïðåëîìëåííûõ âîëí. Âïîëíå äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ äâóìÿ âîëíàìè E11 , E12 ,îòðàæåííûìè ñîîòâåòñòâåííî îò ïåðåäíåé è çàäíåé ãðàíèö ñëîÿ. Ýòîäàåò ïðàêòè÷åñêè òî÷íûé ðåçóëüòàò. Äåéñòâèòåëüíî,Ê11 + Ê12 = E0 (ρ12 + τ12 τ21 ρ23 e2ik2 a )ñ ó÷åòîìτ12 τ21 = 1 − ρ212ïðè ìàëîñòè êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì (7.52).Ïðîöåäóðó ñóììèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà âîëí ìû ïðîäåëàëè, èìåÿ â âèäó ïîñëåäóþùèå ïðèëîæåíèÿ.www.phys.nsu.ru44Ãëàâà 7. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûá.
Îòñþäà ïîíÿòíî, ïî÷åìó ÷åòâåðòüâîëíîâûé ñëîé èç ìàòåðèàëà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî áîëüøå n1 , íî ìåíüøå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ îòðàæàþùåé ñðåäû n3 , îáåñïå÷èâàåò îñëàáëåíèå îòðàæåíèÿ.Ýòî ïðîèñõîäèò èç-çà òîãî, ÷òî îòðàæåííûå âîëíû E11 è E12 íàõîäÿòñÿâ ïðîòèâîôàçå: îòðàæåíèÿ îò ïåðåäíåé è çàäíåé ãðàíèö õîòÿ è ïðîèñõîäÿò ¾îäèíàêîâî¿ (ñ ïîòåðåé ïîëóâîëíû), íî âòîðàÿ èç âîëí çà ñ÷åò¾ëèøíåãî¿ ïóòè, ðàâíîãî λ2 /2, ïðîõîäèìîãî â ñëîå, îòñòàåò îò ïåðâîéïî ôàçå íà π.â. Íåëèøíå îáðàòèòü âíèìàíèå åùå íà îäíî îáñòîÿòåëüñòâî: íà ðèñ.7.16 ñòðåëêàìè èçîáðàæåíû íå ¾ëó÷è¿, êàê èíîãäà ïèøóò, à íàïðàâëåíèÿ âîëíîâûõ âåêòîðîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ âîëí. Âñå âîëíû, ðàññìàòðèâàåìûå çäåñü, ýòî ìîíîõðîìàòè÷åñêèå ïëîñêèå âîëíû, â ïîïåðå÷íîìíàïðàâëåíèè íå ¾òîíêèå¿, à íàîáîðîò, áåçãðàíè÷íûå.5.
Îá èäåå äèýëåêòðè÷åñêèõ çåðêàëÅñëè íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n0 íàíåñòèñëîé ïðîçðà÷íîãî äèýëåêòðèêà òîëùèíû λ2 /4 ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n > n0 , òî îòðàæàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ïîâåðõíîñòè âîçðàñòàåò, ò. ê.â ýòîì ñëó÷àå, êàê ïîíÿòíî èç ïðåäûäóùåãî àíàëèçà, âîëíû E11 , E12ñèíôàçíû è óñèëèâàþò äðóã äðóãà. Òàê, ïîêðûâàÿ ñòåêëî ñëîåì λ/4 èçñåðíèñòîãî öèíêà (n = 2, 3), îáåñïå÷èâàþò R ' 0, 3. Áîëåå âûñîêèå êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ äîñòèãàþòñÿ çà ñ÷åò ìíîãîñëîéíûõ ïîêðûòèé.Íàïðèìåð, ñåìü ñëîåâ èç ñåðíèñòîãî öèíêà è êðèîëèòà (n = 1, 35) ïðèâîäÿò ê R ' 0, 9. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ R ' 0, 99 (òàêèå çåðêàëà íóæíû äëÿëàçåðíûõ ðåçîíàòîðîâ) íàäî íàíåñòè 11 13 ñëîåâ.Óïðàæíåíèå.
Êàê ðåçóëüòàò ñóììèðîâàíèÿ âîëí E31 , E32 , . . . ïîëó÷èòü âûðàæåíèåÊ3 = E0eik2 a τ12 τ231 − ρ21 ρ23 e2ik2 aäëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ïðîøåäøåé âîëíû. Óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (7.53), (7.54) óñðåäíåííûå ïîòîêè ýíåðãèè ïðîøåäøåéè ïàäàþùåé âîëí < S3 >, < S0 > ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ýòî áóäåò äðóãèì äîêàçàòåëüñòâîì îòñóòñòâèÿ îòðàæåííîé âîëíû ïðè âûïîëíåíèè íàçâàííûõ óñëîâèé.www.phys.nsu.ru7.11. Ïðåäâàðèòåëüíî î ìîíîõðîìàòè÷åñêîé ñôåðè÷åñêîé âîëíå457.11. Ïðåäâàðèòåëüíî î ìîíîõðîìàòè÷åñêîéñôåðè÷åñêîé âîëíå ïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ ïðè îáñóæäåíèè èíòåðôåðåíöèè è äèôðàêöèè ñâåòà íàì ïîòðåáóþòñÿ ýëåìåíòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î íàçâàííûõâîëíàõ. Äàííûé ïàðàãðàô ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé óçêîé çàäà÷è. Íà÷íåì åãî ñ ðàññìîòðåíèÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (7.25)∆fˆ + k 2 fˆ = 0äëÿ íåêîòîðîé ñêàëÿðíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû è ïîñòðîåíèÿ äëÿ íååîäíîìåðíîãî ðåøåíèÿ â âèäå ôóíêöèè fˆ(r), çàâèñÿùåé òîëüêî îò îäíîéñôåðè÷åñêîé êîîðäèíàòû r.
Îïåðàòîð Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ äëÿ ôóíêöèè îò îäíîé ïåðåìåííîéÃ!ˆ1ddf2∆fˆ = 2rr drdrìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ îò ïðîèçâåäåíèÿ rfˆ∆fˆ =1 d2 ˆ(rf ).r dr2Òîãäà óðàâíåíèå (7.25) ïðèîáðåòàåò âèä óðàâíåíèÿ êîëåáàíèéd2 ˆ(rf ) + k 2 (rfˆ) = 0,dr2îäíî èç äâóõ ðåøåíèé êîòîðîãî e±ikr îòâå÷àåò ñôåðè÷åñêîé âîëíå, ðàñõîäÿùåéñÿ îò èñòî÷íèêà, ðàñïîëîæåííîãî â íà÷àëå êîîðäèíàò:1fˆ(r) = eikr ,r1f (r, t) = fˆ(r)e−iωt = ei(kr−ωt) .r(7.55)Ïîäîáíîå ðåøåíèå ôèçè÷åñêè ñîäåðæàòåëüíî â àêóñòèêå, òàê êàê çâóêîâûå âîëíû ïðîäîëüíûå, õàðàêòåðèçóþòñÿ ñêàëÿðíûì ïàðàìåòðîì(ëèáî äàâëåíèåì, ëèáî ïëîòíîñòüþ ñðåäû) è äîïóñêàþò ñóùåñòâîâàíèåñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûõ âîëí ñ àìïëèòóäîé, ñïàäàþùåé êàê 1/r ïîìåðå óäàëåíèÿ îò èñòî÷íèêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
