1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 17
Текст из файла (страница 17)
10.210.2. Ñòîÿ÷èå âîëíû ïðè îòðàæåíèè îò ñòåíêè êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè1. Èñïîëüçîâàííîå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïðåäïîëîæåíèå σ = ∞,ïîçâîëÿþùåå íå ó÷èòûâàòü ïðîíèêíîâåíèå âîëíû çà ãðàíèöó ðàçäåëàwww.phys.nsu.ru110Ãëàâà 10. Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ðåçîíàòîðû. Âîëíîâîäûè èñïîëüçîâàòü ãðàíè÷íîå óñëîâèå Eτ = 0, ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, èäåàëèçàöèåé. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîðîæäàåò åñòåñòâåííûå âîïðîñû: êàê ñåáÿïðîÿâëÿåò êîíå÷íîñòü ïðîâîäèìîñòè â ñòðóêòóðå ñòîÿ÷åé âîëíû, âîçíèêàþùåé ïðè îòðàæåíèè, íàïðèìåð, îò ìåòàëëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, èêàêîâà ìîùíîñòü ïîòåðü (èëè ýíåðãåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ) ïðè îòðàæåíèè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îòâåòà íåîáõîäèìî ñõåìó èç ðèñ.10.1, ñîñòîÿùóþ èç ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëí, äîïîëíèòü ïðîõîäÿùåé âîëíîé, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â ïðîâîäÿùåé ñðåäå.
Èññëåäîâàíèåñòðóêòóðû ýòîé âîëíû äàñò íàì âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü íåäîñòàþùåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè âçàìåí óñëîâèÿEτ = 0.2. Ñ ïîäîáíîé ïðîáëåìîé íàì ïðèäåòñÿ âñòðåòèòüñÿ è â ñëåäóþùèõðàçäåëàõ. Ïîýòîìó ñòðóêòóðó âîëíû, ïðîíèêàþùåé â òîëùó ìåòàëëè÷åñêîãî ïðîâîäíèêà, è âûòåêàþùåå îòñþäà ãðàíè÷íîå óñëîâèå ìû ðàññìîòðèì â áîëåå îáùåì âèäå. Äëÿ íà÷àëà âñïîìíèì, ÷òî â ìåòàëëàõ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü (9.1) ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé, ïðè÷åì òàêîé,÷òî â îáëàñòè ðàäèî÷àñòîò åå âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ ìîæíî ïðåíåáðå÷üè ïðèíÿòü²(ω) = i (4πσ/ω)(σ À ω).Òîãäà âîëíîâîå ÷èñëî äëÿ ïðîõîäÿùåé â ìåòàëëè÷åñêóþ ñòåíêó âîëíûáóäåòp√ √k = ²(ω) ω/c = 2i 2πσω/c(ïðèíèìàåì µ = 1), à ñòðóêòóðà ïîëåé â âîëíå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèÿìè, ñëåäóþùèìè èç ñîîòíîøåíèé (7.31),Ê(ξ) = Ê0 eikξ τ,Ĥ(ξ) = ²(ω)[n × Ê(ξ)] = ²(ω)Ê0 eikξ [n × τ ],ãäå ξ êîîðäèíàòà âäîëü íàïðàâëåíèÿ âíóòðåííåé íîðìàëè ê îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè,p τ åäèíè÷íûé âåêòîð êàñàòåëüíîé (ñì.
ðèñ. 10.3). Âêà÷åñòâå k è√ ²(ω) çäåñü íåîáõîäèìî ïðèíÿòü çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àþùèåñÿïðè âûáîðå 2i = +(1 + i). Òîãäà ïîñëåäíèå ôîðìóëû ïðèîáðåòàþò âèä,èçâåñòíûé íàì èç òåîðèè ñêèí-ýôôåêòàξÊ(ξ) = Ê0 exp{−(1 − i) } τ,δrξ2πσĤ(ξ) = (1 + i)Ê0 exp{−(1 − i) } [n × τ ],ωδ(10.6)www.phys.nsu.ru10.2. Ñòîÿ÷èå âîëíû ïðè êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè ñòåíêè111√ãäå δ = c/ 2πσω òîëùèíà ñêèí-ñëîÿ. Ïîñëåäíÿÿ â óñëîâèÿõ σ À ωíàìíîãî ìåíüøå äëèíû âîëíû â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå λ0 = c 2π/ω,òàê êàêrδ1ω=¿ 1.λ02π 2πσ(Íàïðèìåð, äëÿ ìåäè (σ = 5·1017 c−1 ) ïðè ÷àñòîòå ω = 2π·1010 c−1 , ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíå âîëíû λ0 = 3ñì, îòíîøåíèå δ/λ0 ∼ 2·10−5 .)Èç ñîîòíîøåíèé (10.6) ñëåäóåò, ÷òî ïîëÿ âíóòðè ìåòàëëà è íà åãîïîâåðõíîñòè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåìrωHt = (1 + i)[n × Et ](10.7)2πσ(çäåñü íèæíèå èíäåêñû t ïîä÷åðêèâàþò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ òàíãåíöèàëüíûìè.) Òàê êàê íà ãðàíèöå ðàçäåëà ïîëÿ Et , Htíåïðåðûâíû, ýòèì æå ñîîòíîøåíèåì äîëæíû áûòü ñâÿçàíû ïîëÿ ñ âíåøíåé ñòîðîíû ãðàíèöû ðàçäåëà.
Òàêèì îáðàçîì, ó÷åò êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè ïðèâîäèò ê çàìåíå ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ Eτ = 0 íà óñëîâèå (10.7)(ãðàíè÷íîå óñëîâèå Ëåîíòîâè÷à), ñâÿçûâàþùåå ìåæäó ñîáîé òàíãåíöèàëüíûå êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé íà ïîâåðõíîñòèìåòàëëà.3. Ïåðåéäåì íåïîñðåäñòâåííî ê çàäà÷å îòðàæåíèÿ îò ïîâåðõíîñòèìåòàëëà (ðèñ. 10.4), îãðàíè÷èâøèñü ñëó÷àåì ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõâîëí, ñ÷èòàÿ, êðîìå òîãî, ÷òî â ïîëóïðîñòðàíñòâå z > 0 ² = µ = 1.Ðèñ. 10.3Ðèñ. 10.4Ïóñòü ïîëÿ â ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëíå ðàâíûEïàä = Ê0 ei(−kz−ωt) ey ,Bïàä = Ê0 ei(−kz−ωt) ex ,Eîòð = Ê1 ei(kz−ωt) ey ,Bîòð = −Ê1 ei(kz−ωt) ex .www.phys.nsu.ru112Ãëàâà 10. Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ðåçîíàòîðû.
ÂîëíîâîäûÄëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíîé àìïëèòóäû Ê1 ñëóæèò ãðàíè÷íîå óñëîâèå(10.7). Íà ãðàíèöå x = 0 ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëÿ ðàâíûĤt = (Ê0 − Ê1 )ex ,Êt = (Ê0 + Ê1 )ey ,à íîðìàëüþ n ñëóæèò −ez . Ïðè ýòîì, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî ââåñòè îáîçíà÷åíèårωδχ== 2π ,(10.8)2πσλ0óñëîâèå (10.7) ïðèíèìàåò âèäχ(Ê0 − Ê1 ) = (1 + i)(Ê0 + Ê1 ),îòêóäàÊ1 = −Ê01+i−χ.1+i+χ(10.9)Òîãäà ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ Eïàä è Eîòð ïðèîáðåòàåò âèäEΣ (z, t) = 2Ê0(1 − i) sin kz + χ cos kz −iωteey1+i+χè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó èç äâóõ ñòîÿ÷èõ âîëí.
Ïåðâàÿ èç íèõàíàëîãè÷íà ñòîÿ÷åé âîëíå (10.3) (ïðè χ = 0 ñîâïàäàåò ñ íåé) è õàðàêòåðèçóåòñÿ ñèñòåìîé óçëîâ, íà÷èíàþùèõñÿ íà îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè.Âòîðàÿ èìååò ñóùåñòâåííî ìåíüøóþ àìïëèòóäó è åå ïó÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ óçëàìè ïåðâîé, îáåñïå÷èâàÿ íåíóëåâîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïîâåðõíîñòè, íåîáõîäèìîå äëÿ ïðîòåêàíèÿ òîêà â îòðàæàþùåé ñðåäå.Ìîùíîñòü ïîòåðü, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè îòðàæàþùåéïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåòñÿ óñðåäíåííîé ïî âðåìåíè z -êîìïîíåíòîé âåêòîðà Ïîéíòèíãà êàê − < Sz > .
Âûïèñàâ ñóììàðíîå ìàãíèòíîå ïîëåBΣ = Bïàä + Bîòð â âèäåBΣ (z, t) = 2Ê0äëÿ < Sz > = −(1 + i) cos kz − iχ sin kz −iωteex ,1+i+χc 1∗Re(ÊΣ B̂Σ) íåñëîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå4π 2< Sz > = −2cχ| Ê0 |.2π(1 + χ)2 + 1www.phys.nsu.ru10.3. Äâà ïðèìåðà âîëí â îãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ113(Ïóñòü ýòî áóäåò çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî âûïîëíåíèÿ.)  ðàññìàòðèâàåìîì çäåñü ñëó÷àå χ ¿ 1 ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå− < Sz > = 2χ < S0 >, ãäå < S0 >=2c| Ê0 | −8πìîäóëü óñðåäíåííîãî âåêòîðà Ïîéíòèíãà ïàäàþùåé âîëíû (ñì. (7.38)).Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ ïðè îòðàæåíèè îò ìåòàëëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè − < Sz > / < S0 > ðàâåí 2χ è ïîïîðÿäêó âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì δ/λ0 .10.3.
Äâà ïðèìåðà ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíâ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõÂñïîìíèì, ÷òî â ÷.1 äàííîãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ òî÷íûå ðåøåíèÿ äëÿ îáëàñòåé ñãðàíèöàìè ïðèìåíèòåëüíî ê ñòàöèîíàðíûì ïîëÿì ìû ñòðîèëè, èñïîëüçóÿ êîìáèíàöèè ìîäåëüíûõ ðåøåíèé (¾ïîòåíöèàë îäíîðîäíîãî ïîëÿ¿, ¾ïîòåíöèàë òî÷å÷íîãî çàðÿäà¿, ¾ïîòåíöèàë äèïîëÿ¿ è äð.).
Äëÿ âîëíîâûõ ïîëåé ïîäîáíûé ìåòîä êîíñòðóèðîâàíèÿ ðåøåíèé òàêæå óìåñòåí. Îäíàêî âîçìîæíîñòè åãî èñïîëüçîâàíèÿ ïîêà îãðàíè÷åíû áåäíîñòüþ íàëè÷íîãî àññîðòèìåíòà ìîäåëüíûõ ðåøåíèé. Ôàêòè÷åñêè â íàøåìðàñïîðÿæåíèè èìååòñÿ åäèíñòâåííûé íàáîð òî÷íûõ ðåøåíèé â âèäå ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ïëîñêèõ âîëí (âïîñëåäñòâèè ýòîò íàáîð áóäåò ðàñøèðåí). Òåì íå ìåíåå, êàêìû óâèäèì âñêîðå, êîìáèíèðóÿ íåñêîëüêî òàêèõ âîëí, ìîæíî ïîñòðîèòü ðåøåíèÿ,ñïðàâåäëèâûå äëÿ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé. À ïîêà ïîäîáíûì ñïîñîáîì, íàêëàäûâàÿâñåãî ïî äâå âîëíû (ïàäàþùóþ è îòðàæåííóþ), ñîñòàâèì ïðîñòåéøèå ðåøåíèÿ äâóõòèïîâ: äëÿ ðåçîíàòîðà è äëÿ âîëíîâîäà.1.
Ïåðâûå èç íàçâàííûõ ðåøåíèé (10.3), (10.4) (èëè áîëåå ÷àñòíûåðåøåíèÿ (10.5)) ôàêòè÷åñêè ó íàñ óæå âûïèñàíû. Íî äî ñèõ ïîð îíèðàññìàòðèâàëèñü êàê îòíîñÿùèåñÿ ê ïîëóáåñêîíå÷íîé îáëàñòè z > 0 ñåäèíñòâåííîé ãðàíèöåé z = 0. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî è äëÿ îãðàíè÷åííîéïî z îáëàñòè 0 < z < z0 â âèäå ùåëè ìåæäó äâóìÿ èäåàëüíî ïðîâîäÿùèìè ãðàíèöàìè (èäåàëüíûìè ïëîñêèìè çåðêàëàìè) ðàññìàòðèâàåìûå ðåøåíèÿ ìîæíî ñäåëàòü ïðèãîäíûìè, âûáðàâ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿz0 , îáåñïå÷èâàþùèå âûïîëíåíèå äîïîëíèòåëüíîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿEΣ (z0 ) = 0.Èç ìàòåðèàëà ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîé äëèíå âîëíû â êà÷åñòâå z0 ìîæåò áûòü âçÿòî ëþáîå èç çíà÷åíèénλ/2, n = 1, 2, 3, .
. . Ïðè ýòîì ëþáàÿ êîìïîíåíòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âwww.phys.nsu.ru114Ãëàâà 10. Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ðåçîíàòîðû. Âîëíîâîäûùåëè, íàïðèìåð, EΣx , äëÿ äâóõ ìîìåíòîâ âðåìåíè, îòñòîÿùèõ íà ïîëïåðèîäà, èìååò ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîêàçàííûå íà ðèñ. 10.1(á) (äëÿ n = 3).Äëÿ ôèêñèðîâàííîé øèðèíû ùåëè ñïðàâåäëèâî áóäåò óòâåðæäåíèåâ ñëåäóþùåì âèäå. Ïóñòàÿ ùåëü øèðèíû a ìåæäó äâóìÿ ïëîñêèìèçåðêàëàìè äîïóñêàåò ðåøåíèÿ â âèäå ñòîÿ÷èõ âîëí (10.3), (10.4) (èëè(10.5)), åñëè ÷àñòîòà ω èìååò îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ ωn , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþkn a = nπ, ãäå kn = ωn /c.Èíûìè ñëîâàìè, ùåëåâîé ðåçîíàòîð (òàê ìîæíî íàçâàòü ðàññìàòðèâàåìóþ ùåëü) îáëàäàåò íàáîðîì ñîáñòâåííûõ ÷àñòîòωn = nπc/a,n = 1, 2, 3, .
. . ,(10.10)ïðè êîòîðûõ îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà (7.21) â îáëàñòè 0 <z < a äîïóñêàþò ñóùåñòâîâàíèå íåòðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì Eτ = 0. Ìèíèìàëüíîé ÷àñòîòåωmin = ω1 = πc/a ñîîòâåòñòâóåò äëèíà âîëíû λmax = 2a, âäâîå ïðåâûøàþùàÿ øèðèíó ùåëè.2.
Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê íàëîæåíèþ íàêëîííî ïàäàþùåé è îòðàæåííîé îò ïëîñêîñòè x = 0 âîëí, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 10.5, îãðàíè÷èâøèñü ñëó÷àåì ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñîîòâåòñòâóþùèõ âîëí çàïèøåì â âèäåEïàä = E0 ei(−γx+kz−ωt) ey ,Eîòð = −E0 ei(γx+kz−ωt) ey ,âîñïîëüçîâàâøèñü íåëîãè÷íûìè, íà ïåðâûé âçãëÿä, îáîçíà÷åíèÿìè äëÿêîìïîíåíò âîëíîâûõ âåêòîðîâkïàä = −γex + kez ,kîòð = γex + kezp(γ, k íåíóëåâûå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû, γ 2 + k 2 = ω/c).Ðèñ. 10.5www.phys.nsu.ru10.4. Ðåçîíàòîðû115 ðåçóëüòèðóþùåé âîëíå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ðàâíîEΣ = −2iE0 sin γx ei(kz−ωt) ey ,(10.11)îòêóäà âèäíî, ÷òî çäåñü ìû âñòðå÷àåìñÿ ñ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé íåïëîñêîé âîëíîé, áåãóùåé â íàïðàâëåíèè îñè z ñ àìïëèòóäîé, çàâèñÿùåé îòïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû x, ïðè÷åì â ôèêñèðîâàííûõ ïëîñêîñòÿõ x == xn = nπ/γ, n = 1, 2, 3, .
. . , êàê è â ïëîñêîñòè x = 0, èìååì EΣy = 0.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè, äëÿ êîòîðîé ðåøåíèå(10.11) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Eτ = 0 íà ãðàíèöàõ, îáðàòèìñÿ ê ñèñòåìå ïëîñêîñòåé, â êîòîðûõ EΣτ = 0. Ýòî, âî-ïåðâûõ, âñå ïëîñêîñòèy = const, ò. ê. ïîëå EΣ âåçäå èìååò òîëüêî y -êîìïîíåíòó, è, âî-âòîðûõ,îòìå÷åííûå âûøå ïëîñêîñòè x = 0 è x = xn . Ñëåäîâàòåëüíî, áåñêîíå÷íàÿ òðóáà ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ 0 < x < a, 0 < y < b(ðàçìåðû a, b ïðîèçâîëüíûå) ìîæåò ñëóæèòü òîé îãðàíè÷åííîé ïî x, yîáëàñòüþ, äëÿ êîòîðîé ðåøåíèå (10.11) è ñîîòâåòñòâóþùåå åìóBΣ = 2E0[−γ cos γx ez + ik sin γx ex ]ei(kz−ωt)ω/c(10.12)óäîâëåòâîðÿåò âñåì óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà äëÿ ² = µ = 1 è âñåì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, åñëè ïàðàìåòð γ ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèéγm = mπ/a,m = 1, 2, 3, . .
.Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòåéøåå ðåøåíèå, äåìîíñòðèðóþùåå âîçìîæíîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ïî âîëíîâîäó êîíêðåòíîãî (â äàííîì ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíîãî) ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.10.4. Ðåçîíàòîðû1.  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû óïîìÿíóëè ðåçîíàòîð, êîììåíòèðóÿðåøåíèå, ïðèñïîñîáëåííîå äëÿ îïèñàíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ïîëÿâ îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà â âèäå ïëîñêîé ùåëè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
