1612045823-38cd2968adb33548d29087a1fba9ef7b (533743), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ïîñëå ðàñêðûòèÿ âåêòîðíûõ îïåðàöèé óðàâíåíèå(14.6) äëÿ íåå ïðèîáðåòàåò âèä·¸1 ∂21 ∂1 ∂2(rB̂) + k B̂ + 2(sin θ B̂) = 0r ∂r2r ∂θ sin θ ∂θ(îòëè÷àþùèéñÿ îò ñêàëÿðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (r, θ)). Íàáîð ðåøåíèé ýòîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïîñòðîèì â âèäå ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ôóíêöèé f (r)P (θ). Ïðè ýòîì äëÿ f (r),P (θ) ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿrd2(rf ) + k 2 r2 f (r) = `(` + 1)f (r),dr2(14.8)www.phys.nsu.ru14.2. Ýëåêòðîìàãíèòíûå ìóëüòèïîëüíûå ïîëÿ·¸d1 d(sin θ P (θ)) = −`(` + 1)P (θ),dθ sin θ dθ287(14.9)åñëè êîíñòàíòó ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ `(` + 1).Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (14.9) òîæäåñòâåííàâûðàæåíèþµ¶1 d1 dPcos θ dPP2sin θ+2−sin θ dθ sin θ dθsin θ dθsin2 θè ïîñëå ââåäåíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x = cos θ óðàâíåíèå (14.9) âöåëîì ïðèâîäèòñÿ ê âèäó·¸ ·¸ddP1(1 − x2 )+ `(` + 1) −P (x) = 0 (óðàâíåíèå Ëåæàíäðà) .dxdx1 − x2Îòìåòèì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî îãðàíè÷åííûå íåïðåðûâíûå íà èíòåðâàëå −1 ≤ x ≤ 1 ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñóùåñòâóþò ïðè âñåõ öåëûõïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ` è íàçûâàþòñÿ ïðèñîåäèíåííûìè ôóíêöèÿìè Ëåæàíäðà P`1 (x).
Îíè ñâÿçàíû ñ ïîëèíîìàìè ËåæàíäðàP` (x) ñîîòíîøåíèåìP`1 (x) = −(1 − x2 )1/2dP`1 d` 2, ãäå P` (x) = `(x − 1)` ,dx2 `! dx`(14.10)è ñîñòàâëÿþò áåñêîíå÷íûé ïîëíûé íàáîð ôóíêöèé, îðòîãîíàëüíûõ íàèíòåðâàëå [−1, 1], ïðè÷åìZ1−1P`1 (x)P`10 (x)dx =2 (` + 1)!δ``0 .2` + 1 (` − 1)!(14.11)Íèæå íàì ïîíàäîáèòñÿ ÿâíûé âèä íåñêîëüêèõ ïåðâûõ íîìåðîâ P`1 (x).Ïðèâåäåì èõ çäåñü â âèäå ôóíêöèé îò ïåðåìåííîé θ :3P11 (θ) = − sin θ, P21 (θ) = −3 sin θ cos θ, P31 (θ) = − sin θ(5 cos2 θ − 1).2(14.12)Ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå (14.8) äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ` çàìåíîé1f` (r) = √ u` (r)rwww.phys.nsu.ru288Ãëàâà 14. Ñôåðè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû1ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî ïîðÿäêà ν = ` +2d2 u`1 du`ν22++(k−)u` = 0,dr2r drr2èìåþùåìó íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ J`+ 21 (kr), N`+ 12 (kr), âûðàæàþùèåñÿ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè ñâîåãî àðãóìåíòà.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèè11√ J`+ 1 (kr), √ N`+ 1 (kr)22rrè èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (14.8).Çäåñü â êà÷åñòâå ðàäèàëüíûõ ôóíêöèé f` (r) óäîáíî ïðèíèìàòü òàêíàçûâàåìûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè Ãàíêåëÿr(1,2)h`(ξ) =iπ hJ`+ 21 (ξ) ± iN`+ 12 (ξ)2ξ(ξ = kr),íà áåñêîíå÷íîñòè îáëàäàþùèå àñèìïòîòèêîé â âèäå ðàñõîäÿùåéñÿ è ñõîäÿùåéñÿ ñôåðè÷åñêèõ âîëí(1,2)h`(ξ) ' (∓i)`+1exp(±iξ).ξ(1)Âîò ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé Ãàíêåëÿ h` (ξ) äëÿíåñêîëüêèõ íèçøèõ çíà÷åíèé ` :(1)h0 (ξ) =eiξeiξieiξi3i3(1)(1), h1 (ξ) = − (1 + ), h2 (ξ) =(1 + − 2 ). (14.13)iξξξξξξ(1)(2)(Äëÿ âåùåñòâåííûõ ξ ôóíêöèè h` (ξ) è h` (ξ) êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû,(1)ïîýòîìó çäåñü âûïèñàíû âûðàæåíèÿ òîëüêî äëÿ h` (ξ).) Äëÿ ïîëó÷åíèÿâûðàæåíèé ñ âûñøèìè íîìåðàìè è âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ñëóæàòðåêóððåíòíûå ôîðìóëû(1)h`+1 (ξ) =2` + 1 (1)(1)h` (ξ) − h`−1 (ξ),ξid h (1) i1 h (1)(1)h` (ξ) =`h`−1 (ξ) − (` + 1)h`+1 (ξ) .dξ2` + 1(14.14)(14.15)www.phys.nsu.ru14.2.
Ýëåêòðîìàãíèòíûå ìóëüòèïîëüíûå ïîëÿ289(1,2)h` (ξ)P`1 (cos θ)Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâåäåíèÿ(` = 1, 2, 3, . . .) ñîñòàâëÿþò èñêîìûå ðåøåíèÿ äëÿ ïîëÿ B̂α (r, θ). Ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (14.7). Ñ èñïîëüçîâàíèåìíîðìèðóþùåãî ìíîæèòåëÿs2` + 1 (` − 1)!b` =4π (` + 1)!òàêîãî, ÷òîZ1−1b` P`1 (x)b`0 P`10 (x)dx =1δ``0 ,2π(14.16)ïîëÿ îñåñèììåòðè÷íîãî âåêòîðíîãî ìóëüòèïîëÿ ñ íîìåðîì ` ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:(1,2)B̂` = b` h`(ξ)P`1 (cos θ)eα ,(14.17)¸³´id(1,2)(1,2)1Ê` = −b` `(` + 1)h` (ξ)P` (cos θ) er +ξh` (ξ) P` (cos θ) eθξdξ·(çäåñü âûðàæåíèå äëÿ Ê`r âûïèñàíî ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (14.10)). Îòñþäà âèäíî, ÷òî óãëîâàÿ çàâèñèìîñòü rêîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ïîëèíîìîì Ëåæàíäðà, â òî âðåìÿ êàê Eθ , Bα çàâèñÿò îòθ êàê P`1 (cos θ).Äàííàÿ ñèñòåìà ñîñòàâëÿåò ïîëíûé íàáîð ðåøåíèé îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (14.1) òèïà (14.3).
Èõ õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðà B ðàäèóñó-âåêòîðó ((r·B) = 0) è, ñëåäîâàòåëüíî, íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Òàêèì îáðàçîì, ìû çäåñüèìååì ñôåðè÷åñêèé àíàëîã èçó÷åííûõ ðàíåå (ñì. ãëàâó 10) ÒÌ-âîëí.Èíûìè ñëîâàìè, ðåøåíèÿ (14.17) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåêòðîìàãíèòíûå âåêòîðíûå ìóëüòèïîëè ýëåêòðè÷åñêîãî òèïà (îñåñèììåòðè÷íûå)(1)è îïèñûâàþò óõîäÿùèå îò öåíòðà, ïðè f` = h` (ξ), èëè ñõîäÿùèåñÿ ê(2)öåíòðó, ïðè f` = h` (ξ), ñôåðè÷åñêèå âîëíû.2. Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïîëåé (14.17):à) íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè ξ = kr À 1 â ëîêàëüíîì ñìûñëå ñîñòàâëÿþòëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííóþ ïëîñêóþ ìîíîõðîìàòè÷åñêóþ âîëíó;á) óñðåäíåííàÿ ïî âðåìåíè óãëîâàÿ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî `ïîëÿ ðàâíà<¯2dJ`c 2c 1 2 ¯¯ 1>=r |B̂` |2 =b P (cos θ)¯ ,dΩ8π8π k 2 ` `(14.18)www.phys.nsu.ru290Ãëàâà 14.
Ñôåðè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûRπdJ`â) à ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü < J` > = 2π <> sin θ dθ ñ ó÷åòîìdΩ0óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (14.16) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå< J` > =c 1.8π k 2(14.19)3. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî âåêòîðíûå ìóëüòèïîëè ìàãíèòíîãî òèïà,ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (14.4), (14.5), îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè(1,2)Ê` = b` h`(ξ)P`1 (cos θ)eα ,(14.20)¸³´id(1,2)(1,2)1B̂` = b` `(` + 1)h` (ξ)P` (cos θ) er +ξh` (ξ) P` (cos θ) eθ ,ξdξ·ïîëó÷àþùèìèñÿ èç ôîðìóë (14.17) â ðåçóëüòàòå ïðîñòîé çàìåíû E →→ B, B → −E, òàê êàê óðàâíåíèÿ (14.1) èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíîäàííûõ ïðåîáðàçîâàíèé.4.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïðèâåäåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâûõ äâóõíîìåðîâ ` = 1, ` = 2 ïîëåé âåêòîðíûõ ìóëüòèïîëåé ýëåêòðè÷åñêîãîòèïà. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (14.12), (14.13) è èç ñîîòíîøåíèé (14.17) ïîëó÷èì (äëÿ óõîäÿùèõ âîëí):i1(1 + ) sin θ eikr eα ,krkr(14.21)·¸2i1ii(1 + ) cos θ er + (−i ++ 2 2 ) sin θ) eθ eikrÊ1 (r, θ) = B1kr krkrkr k r(1)B̂1 (r, θ) = B1 h1 (kr)P11 (cos θ)eα = B1(äëÿ ` = 1), ãäå B1 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.
Çàìåòèì, ÷òî ýòè âûðàæåíèÿ ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ ïîëåì ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà(13.22), (13.23), ïîëó÷åííûì ðàíüøå èç ìóëüòèïîëüíîãî ðàçëîæåíèÿâåêòîð-ïîòåíöèàëà, ïîñëå çàìåíû B1 íà −k 3 d0 .Àíàëîãè÷íî ðåøåíèå (14.17), îòâå÷àþùåå çíà÷åíèþ ` = 2,(1)B̂2 (r, θ) = B2 h2 (kr)P21 (cos θ)eα == B2ikrµ¶3i31+− 2 2 (−3 sin θ cos θ)eikr eαkr k rwww.phys.nsu.ru14.3. Ñôåðè÷åñêàÿ ñòîÿ÷àÿ âîëíà. Ñôåðè÷åñêèé ðåçîíàòîð291ïîñëå çàìåíû B2 íà k 4 D0 /6 ñîâïàäàåò ñ ìàãíèòíûì ïîëåì (13.24) îñåñèììåòðè÷íîãî êâàäðóïîëÿ. Íå áóäåì çäåñü ñðàâíèâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ, ïîñêîëüêó îíè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ïîëÿ B̂α (r, θ) è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñðàâíèâàåìûõ ñëó÷àÿõòîæäåñòâåííû.Îòìå÷åííûå çäåñü ñîâïàäåíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ðåçóëüòàòàìè ïðåäûäóùåé ãëàâû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîñâåííîå ïîäòâåðæäåíèå âûäåëåííîãî êóðñèâîì ïðåäëîæåíèÿ ï.4 13.3.14.3.
Ñôåðè÷åñêàÿ ñòîÿ÷àÿ âîëíà.Ñôåðè÷åñêèé ðåçîíàòîðÍà ïðèìåðå ñôåðè÷åñêèõ âîëí ýëåêòðè÷åñêîãî òèïà îðãàíèçóåì òåïåðü ïðîñòåéøóþ ñòîÿ÷óþ ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó. Ðàññìîòðèì äëÿýòîãî ñóïåðïîçèöèþ ðàñõîäÿùåéñÿ îò öåíòðà è ñõîäÿùåéñÿ ê öåíòðóâîëí îäèíàêîâîé àìïëèòóäû, ñîîòâåòñòâóþùèõ íîìåðó ` = 1. Ïðè ýòîìñòðóêòóðà ïîëåé ñîñòàâëÿþùèõ âîëí îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèÿìè (14.17),(1)ãäå ðàñõîäÿùåéñÿ âîëíå ñîîòâåòñòâóåò ðàäèàëüíàÿ ôóíêöèÿ h1 (kr), à(2)ñõîäÿùåéñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ ôóíêöèÿ h1 (kr). Òîãäà îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû ðåçóëüòèðóþùèõ ïîëåé´³(2)(1)B̂αΣ = B1 h1 (kr) + h1 (kr) P11 (cos θ),´2i ³ (1)(2)h1 (kr) + h1 (kr) P11 (cos θ),krè àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå äëÿ ÊθΣ ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ (14.21) ìîæíîïðèâåñòè ê âèäóµ¶2sin krΣB̂α = B1cos kr −sin θ,krkrµ¶4sin krÊrΣ = iB1 2 2 cos kr −cos θ,(14.22)k rkrµ¶4sin krÊθΣ = iB1 2 2 cos kr − (1 − k 2 r2 )sin θ.k rkrÊrΣ = −B1Âèäíî, ÷òî ñòîÿ÷àÿ ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà íå èìååò îñîáåííîñòè â öåíòðå,â òî âðåìÿ êàê ïîëÿ (14.21) ñîñòàâëÿþùèõ âîëí õàðàêòåðèçóþòñÿ îñîáåííîñòÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåêòðè÷åñêîìó äèïîëþ.
Òàê æå, êàê âwww.phys.nsu.ru292Ãëàâà 14. Ñôåðè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûïëîñêîé ñòîÿ÷åé âîëíå (ñì. 10.3), çäåñü èìååòñÿ ñèñòåìà ïîâåðõíîñòåé(â äàííîì ñëó÷àå ñôåðè÷åñêèõ), íà êîòîðûõ òàíãåíöèàëüíûåθ-êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíû íóëþ. Ýòî âèäíî èç ãðàôèêàôóíêöèèfθ = cos kr − (1 − k 2 r2 ) sin kr/kr,ïðèâåäåííîãî íà ðèñ. 14.1 è õàðàêòåðèçóþùåãî ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû ïîëÿ ÊθΣ ïî ðàäèóñó. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûå ðàäèóñû îïðåäåëÿþòñÿêàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿctg kR =1− kR,kR(14.23)ïðè÷åì ïåðâûé êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ áëèçîê ê çíà÷åíèþ kR = 2,74.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïîëîñòè ðàäèóñà R ñ õîðîøî ïðîâîäÿùåé ãðàíèöåé ïîëÿ (14.22) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ïîëÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì, à ñàìà ïîëîñòü ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñôåðè÷åñêèé ðåçîíàòîð. Êàê îêàçûâàåòñÿ, ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ω = 2,74 c/R ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé èç âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîòñôåðè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà.
(Ýòî óòâåðæäåíèå ïðèâîäèòñÿ çäåñü áåç äîêàçàòåëüñòâà.) Ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäó ðåçîíàòîðà èëëþñòðèðóåò êàðòèíàñèëîâûõ ëèíèé ïîëÿ E â ìåðåäèàíàëüíîé ïëîñêîñòè, ïðåäñòàâëåííàÿ íàðèñ. 14.2.Ðèñ. 14.1Ðèñ. 14.2Óïðàæíåíèå. Âîñïîëüçîâàâøèñü ðåøåíèåì (14.20) ïîêàçàòü, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ñòîÿ÷åé âîëíå ìàãíèòíî-äèïîëüíîãî òèïà èìååò âè䵶2sin krÊα (r, θ) = E1cos kr −sin θkrkrwww.phys.nsu.ru14.4. Çàìêíóòàÿ çàäà÷à èçëó÷åíèÿ àíòåííû293(E1 íåîïðåäåëåííàÿ êîíñòàíòà). Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûå ÷àñòîòûäàííîé ìîäû ñôåðè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿtg kR = kR.14.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
