1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 75
Текст из файла (страница 75)
задачу 3). Так получается потому, что всем остальным главным максимумам интерференционного сомножителя в общей формуле (6.37) соответствуют направления, для которых модулирующая функция /, (О) при синусоидальном пропускании обращается в нуль. Этот зее результат становятся особенно понятным, если вспомнить, что в фраунгоферовой дифракционной картине распределение напряженности поля представляет собой преобразование Фурье функции Е(х), описывающей пространственное распределение напряженности поля падающей волны сразу за решеткой: О!2 О/2 Е(йх)- ) Е(х)е ь'6х - ) (!+ а сов(2лх//1))е м*"ах, (6.44) — те -О/2 где В=/тс! — размер решетки в перпендикулярном штрихам направлении„н,=йз)п 0 характеризует направление дифрагировавшей волны.
Вычисляя интеграл в (6.44), находим Е/Х )-.-'нМЯ.~- — "-.'~ Ъ.—.Ь»/О ~. "... 'Х»ЕЫ Ме Е,Г((2 2 (а„— 2н(Н)0(2 2 (а, -)- 2п(а)(2(2 При больших размерах решетки напряженность поля дифрагировавшей волны Е(е ) заметно отлична от нуля только вблизи тех .направлений О, которым соотвегствуег обращение в нуль одного из знаменателей. Отсюда получаем три главных максимума: !4=0 (т.
е. 0=0) и й,=-+2л/(! (т. е. с! гбп 0=+)) . В предельном случае бесконечной (П-исо) решетки с синусоидальным пропусканием н периодом е) падающая плоская волна порождает помимо прошедшей прямо волны две плоские дифрагировавшие волны, соответствующие спектрам порядков т= ~!. Этому физическому процессу можно сопоставнть математическое разложение функции пропускания !+асов(2лх/е!) в ряд Фурье, содержащий лишь три члена с прострамственными частотами н„=О, !е„=+-2л//1. В случае более сложной функции пропускания (например, ступенчатой периодической функции щелевой решетки) ее разложение в ряд Фурье содержит и гармоники, соответствующие пространственным частотам !г,=т(2л/е!) с т=~2, -+-3, ....
Пространственная гармонима с некоторым номером т приведет к возникновению максимума порядка т в дифракционной картине, если длина волны Х падающей волны меныпе, чем период этой гармоники (2/т, т.е. т,„и„= =(!/Х. Интенсивность максимума определяется квадратом соответствующего коэффициента Фурье. Т ехника изготовления дифракционных решеток доведена до высокой степени совершенства. Высококачественные отражательные решетки впервые были созданы в конце прошлого столетия Роулендом в США. В СССР усилиями Ф.
М. Герасимова с сотрудниками разработана оригинальная аппаратура и налажен массовый выпуск превосходных дифракционных решеток. Современные автоматизированные делительные машины с интерференционными следящими устройствами позволяют изготовлять решетки с почти строго эквидистантным расположеммем штрихов. Размеры гравированных решеток достигают 4ОХ40 см. В зависимости от области спектра онн имеют от 4 (для инфракрасной) до 3600 штрихов на 1 мм (для 211 ультрафиолетовой области). Это, как правило, отражательные решетки с почти треугольным профилем штриха (рис.
6.28, б), концентрирующие до ВОЯ~ падающего на решетку света в спектр какого-либо одного ненулевого порядка. Вследствие высокой стоимости оригинальных гравированных решеток получили распространение реплики, т. е. отпечатки с гравированной матрицы на специальных пластмассах, покрытые тонким металлическим отражающим слоем. По качеству реплики почти не уступают оригиналам.
От некоторых недостатков нарезных решеток свободны голографические (см. $7.7) дифракционные решетки, которые получают путем создания в специальных светочувствительных материалах пространственно периодического распределения интенсивности, возникающего при интерференции когерентного лазерного излучения. Контрольные вапрасы От каких параметров, характеризующих решетку, зависит положение главных максимумов днфракционной картины? Какова наибольшая интенсивность побочных максимумов? Каким условием определяется наибольший порядок спектра гп,„? Какую максимальную длину волны можно наблюдать в спектре решетки с периодом Е? В чем преимушеспю спектров низких порядков при использовании решетки в качестве диспергирующего элемента? При каком отношении ширины а щели к периоду решетки а' в дифракционной картине будет отсутствовать спектр 3-го порядка? Какими преимуществами обладают дифракцнонные решетки с профилированным штрихом? Как связано распределение интенсивности днфрагировавшего света по спектрам разных порядков ш с разложением функции пропускання амплитудной решетки в ряд Фурье? Задачи Найти распределение интенсивности 1(О) прн днфракции моиохроматнческой плоской волны, падающей по нормали иа фазовую решетку, профиль штрихов которой показан на рис.
6.26, а. Для нахождения распределения интенсивнгкти в фраунгоферовой дифракционной картине от одною штриха воспользуемся принципом Гюйгенса — Френеля. Поместим начало координат в середине штриха Оптическая разность хода распространяющихся под углом 6 вторичных волн от элементов волновой поверхности в начале кгюрдннат и в точке х равна А=х [э|п8+(и — !)а[, где и — показатель преломления материала решетки, а — угол наклона плоскости штриха (а с |). Складывая вторичные волны от всех элементов в пределах штриха, т.
е, интегрируя по к от — а/2 до а/2, получим 1,(6)=?э(з)пп/и)з, п=(на/Ц [з|пб+(л — !)а). учитывая интерференцию волн от А штрихов, находим полную интенсивность света, дифрагировавшего под углом О: Ня=б(я,, -Я ~ > ы. япз (/УЬ/2) з|п (Ь/2) Главный максимум 1,(6) расположен при п=.о. т. е. япб= — (я — 1)а. Это соответствует углу отклонения луча прн преломлении в призме с малым преломляющим углом а. Если в этом направлении расположен один нз главных максимумов интерфереиционного сомножителя, то значительнан часть дифрагировавшего света сконцентрируется в спектре одного порндка с ш~о. Для ючного совпадения должно выполняться условие г(з!пб=шЛ, т. е.
И(л — 1)а= — пй. Например, концентрация света в спектр с т= — | будет происходить при наклоне штрихов а=Л/ [И(л — 1)) . Подставляя это значение а в выражение для я, получаем п=(па/Л) (япб+ +Л/г0. Ширина и|триза а практически совпадает с периодом решетки й поэтому и п(аз1пб/Л+1). Дли направлений О, соответствующих главным максимумам иитерференционного члена, Йэ|пб„=шх н и„= =л(я+1). Прн этих значениях и (за исключением т= — |) интенсивность 1,(6 ) в дифракционной картине ат одного штриха обращается в нуль, в том числе и для ш=о. Таким образом.
такая фазовая решетка дает единственный спектр порядка т= — 1. Найти распределение интенсивности днфрагировавшего монохроматнческого света для отражательной решетки с профилированным штрихом (рнс. 6.26, б!. Пусть падающая волна составляет угол О' с нормалью к плоскости решетки, дифрвгирававшая — угол 8. Плоскость грани штриха наклонена на угол е, поэтому с нормалью к грани угол падения равен 8,=0'+е, угол днфракции равен 6,=8 — е. Направим ось х вдоль грани (рис. 6.2о6,в) и выберем начало отсчета в середине штриха. Разность «ола Ь вторичных вали от середины н от элемента с координатой х составляет а=х(япбт— — япб,). Суммируя по принципу Гюйгенса -- Френеля вторичные волны от всех элементов штриха (интегрируя от — а/2 до а/2), наишим распределение интенсивности 1, в дифракпионной картине от одного штриха: 1, =1,(яп'и|/пи, п=(па/Л)(япб, — з|пб,).
Пентральиому максимуму соответствует п=о, т. е. 8т=б„— он расположен в направлении зеркального отраженна падающей волны от плоскости грани (угол блеска). Переходя к углам 6 и 8', это условие запишем в ниде 0=0'+2е. Если в этом направлении находится какой-либо главный максимум иитерференционного сомножителя э!пт(|уб/2)/з|п'(б/2), то практически весь днфрагировавшнй сает сконцентрируется в спектр одного порядка.
Покажем это, ограничиваясь случаем малых углов О. О' и е. Направление 8 на максимум порядка ш определяется из условия (бЛО): Ы(6„— 8') =гпЛ. Направление зеркального отражения 6=6'+ +2е совпадает с О, если наклон граней г таков, что 2е=б — 6'=пй/и Тогда я (иа/Ц (6, — 6,) =(па/Л) (6 — О' — 2е) =(па/Л) (Π— 6' — шЛ/Е). Ширина а отдельного штриха для решетки рассматриваемого профиля (рис. 6.26, б) практически совпадает с ее периодом й Поэтому и = я[И(6 — 8')/Л вЂ” т). Отсюда следует, что длн направлений иа главные максимумы интерфереиционного сомножителя, т.
е. когда б(8 в 0') = =ш'Л„получается и= я(ш' — ш) и интенсивность 1, обращается в нуль для всех пг' кроме ш'= ш. Решетка, у которой 2е=гпЛ/й дает только один главный максимум порядка ш. з. Найти распределение интенсивности 1(8) дифрагировавшего света при падении по нормали плоской монохроматической волны на амплитудную решетку, пропускаиие которой изменяется по синусоидальному закону в направлении оси к, перпендикулярной ее штрихам, так чта амплитуда прошедшей волны сразу за решеткой зависит от х по закону Е(х)= Ее[1+асов(2нх/И)); а~!. Э13 Нзпряженяость поля Е,(0) в фрвунгоферовой дяфрвкцнонной картине от одного периода в соответствнн с прннцнном Гюйгенсв — френеля определяется интегралом вт хя>- ! с~- ~ кл. 'ч.= "'""' !— — -кюь где б=й„й=ййз!па=(2пд/Х)з!па.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
