1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Разность хода идущих по направлению и вторичных волн из элемента >)Е этой поверхности н из начала координат 0 равна проекции вектора г, определяющего положение Ю в плоскости ху, на направление з, т. е. гэ. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля напряженность поля в точке Р пропорциональна интегралу по всей площади отверстия в экране: Е„) Е(г)е и">65 =')Е(г)е и'ЙЯ, 5 5 (6.24) где )с=из — волновой вектор све- 55 5 та, дифрагировавшего в направлении з. Опущенный в (6.24) коэффициент наклона К(а) можно а считать постоянным, когда размеры отверстия много больше длины волны, и заметную интенсивность у имеют лишь волны, дифрагиро- вавшие на малые углы а. Напра- к расчету дифракции Фраунгофера от женность Е (г) в плоскости хи отверстия >в* считается равной напряженности поля падающей волны в пределах отверстия экрана и равной нулю за его пределами.
Понимая функцию Е(х,у) именно так, можно распространить интегрирование в (6.24) на всю плоскость ху: Ер - ) ) Е(х, у)е «ь" +""наяду = Е(й„, й„). (6.25) Отсюда видно, что поле в фраунгоферовой дифракционной картине, т. е. в фокальной плоскости объектива, представляет собой (с точностью до постоянного множителя) двухмерное преобразование Фурье функции Е(х,у), описывающей поле в плоскости хус Функция Е(Ь„ Ьн), т. е. фурье-образ искаженного препятствием волнового поля Е(х, у) в плоскости ху, пропорциональна комплексной амплитуде плоской волны, дифрагировавшей в определенном направлении Ь„, ир.
Пространственное разделение волн, дифрагировавших в разных направлениях. позволяет наблюдать отдельные фурье-компоненты функции Е(х, у). Поэтому можно считать, что в дифракции Фраунгофера физически осуществляется разложение функции Е(х, у) в двухмерный интеграл Фурье. При нормальном падении плоской волны на прямоугольное отверстие со сторонами а и Ь, параллельными осям х и у, из (6,25) находим ора В!2 Е Е ) ') е "'+ "Р|бхду= ЕаЬ вЂ” '— — н/2 -В/2 ис ин ГдЕ и, =А,а/2, иас й»Ь/2. РаСПрЕдЕЛЕНИЕ ИНтЕНСИВНОСтв В днфраК- ционной картине определяется формулой ! = Й(э|пи,/и,)'(ыпи,/ир)'.
(6.26) Когда длина одной.из сторон много больше длины другой, мы приходим к выражению (6.20) для дифракции иа длинной щели. В дифрзкцнонной картине от прямоугольного отверстия (рис. 6.17, а) распределение интенсивности в соответствии с (6.26) дается произведением распределений от взаимно перпендикулярных щелей. Интенсивность равна нулю вдоль двух рядов линий, параллельных сторонам прямоугольника Заметную интенсивность имеют лишь средние цепочки максимумов, образующие «крест» на рис. 6.17„а. Относительная высота максимумов интенсивности, расположенных вдоль этих линий, характеризуется соотношением (6.22).
Величина остальных максимумов столь мала (0,2о~~ для ближайших к центру), что они не видны на приведенной фотографии. Ббльшая часть светового потока приходится на центральный максимум, н именно его можно рассматривать как изображение находящегося в фокусе коллнматора точечного источника, получающееся в фокальной плоскости объектива при ограничении сечения, формирую-, щего изображение пучка света прямоугольной диафрагмой. Зто изображение шире в направлении более короткой стороны прямоугольника.
ифракция Фраунгофера от круглого д отвеРстия представляет бол ьшой пРактический интерес так как в оптических приборах оправы линз н объективов, а также диафрагмы имеют обычно круглую форму. При вычислении интеграла (6.25) целесообразно перейти к полярным координатам р и ср в плоскости отверстия: х=рсозгр, у=рз|п . з! гр. Направление и дифрагировавшей волны, соответствующее точке р, удобно характеризовать углом 0 с осью г и азимутальным углом ф: й„=йэ|пйсозф, Йр= Йз|пйз|пф Тогда Й,х+ Йру= Ьрз|пйсоз(гр — ф) и интеграл (6.25) принимает вид Нс яансон|о — М Здесь а — радиус отверстия. Используя интегральное представление для бесселевых функций Х„(г) при и= 0 2 /о(г) = — ) еис"н бгР ~п о выразим Ер через интеграл от /о (Йр з|пй), который вычисляется с помощью соотношения ~ г/о(г)бе = г/,(г).
Т аким образом, дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид концентрических светлых н темных колец (рис. 6.17, б) со следующим радиальным распределением интенсивности: 7(0) =!о(23 1(и)/и)~, и = Ьаз|пй = 2паз|пй/Л 2пай/Л. (6.27) График этой функции приведен на рис. 6.18. Она имеет главный максимум при и= О и с ростом и осцнллирует с быстрым уменьше- а) Днфракння Фраунгофера ог прямоугольного н круглого огаерегнй цо ра ан оа а са орса н ярон (д а а я с О Омнма маасммрмон1 инеи амплитуды, подобно функции ('Л4/э//а?1 (э[пи/и)э, описывающей дифракцию на щели. Угловые радиусы В„темных колец равны 0,6[Л/а; 1,12Л/а; 1,621/а;....
Расстояние между соседними кольцами с увеличением их номера приближается к Х/(2а). Эффективный размер дифракционной картины и здесь обратно пропорционален размеру отверстия. Интенсивность максимумов быстро уменьшается: уже в баии йе 66 !61 „жайшем максимуме она составляет менее 2ога от интенсивности центрального мак- Г афик ф нинин 121~(и)/и[г у ' катар пр» одитс ~~го про ходящего через отверстие светового потока. Поэтому центральный максимум (диск Эйри), имеющий угловой радиус В! = 0,611/а, (6.28) можно рассматривать как изображение точечного источника, уширенное дифракцией на круговой диафрагме радиусом а.
Соотношение (6.28) играет важную роль в вопросе о разрешающей силе оптических инструментов (см. $7.6). ййэл ажно отметить, что распределение интенсивности в фраунгоферовой дифракционной картине не изменится. если отверстие сместить в плоскости экрана в сторону, не изменяя его ориентации, Картина в фокальной плоскости объектива всегда симметрична по отношению к его оси независимо от положения отверстия.
Особый интерес представляет случай, когда в экране имеется большое число /)/ одинаковых отверстий. При правильном, регулярном, расположении отверстий, когда их ориентация и расстояния между ними одинаковы, разность фаз между воз!нами, дифрагнровавшими от соседних отверстий, имеет определенное значение. интерференция этих волн существенно влияет на дифракционную картину.
В направлениях, для которых разность фаз кратна 2п, амплитуда дифрагировавших волн в )(! раз больше, в интенсивность в й?х раз больше, чем от одного отверстия. Такое резкое увеличение интенсивности для некоторых направлений имеет большое практическое значение. Случай регулярного расположения отверстий подробно рассмотрен на примере дифракционной решетки в 2 6.5. При хаотическом, беспорядочном, расположении отверстий фазовые соотношения между волнами от отдельных отверстий имеют случайный характер.
Поэтому для каждого направления наблюдения происходит простое сложение интенсивностей волн, дифрагировавшнх от всех отверстий. распределение интенсивности в дифракционной картине от одного отверстия не зависит от его положения. От большого числа )э' отверстий получается такая же картина, усиленная по интенсивности в ))/ раз. Контрольные вопросы !! Объясните назначение линз Л и Л в схеме для наблюдения дифракции Фраунгафера на рис. 6.! ! П Как получить без вычислений соотношение Мп О~=Л/а, определяющее направление на первый минимум при дифракции на щели шириной а? 11 Можно лн какими-либо способамн получить узкий параллельный пучок света? П Какому условию должен удовлетворять размер источника, чтобы с помощью линзы или зеркала можно было получить пучок света с дифракционной расходимастью? Г1 Какай внд имеет фраунгаферова дифракпионная картина при наклонном падении плоской волны на щель? П Как изменится распрелеление интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от отверстии, если отверстие сместить в поперечном направлении? Г1 Чем отличаются днфракционные картины ат большого числа одинаковых препятстеий при хаотическом н упорядоченном расположениях? Задача !.
Найти угловое распределение интенсивности ЦО) прн дифракции Фраунгофера на щели шириной а в случае наклонного падения параллельного пучка света на плоскость щели (под углом 0' к нормали). О т в е т: 1(6) = Цз!п и/а)', тле а =(яа/Л) (з!п Π— ып 6'), а 1э — интенсивность при О = О', т. е. в направлении падающей волны. Длн малых углов дифракцин, когда 66 = 0 — О'~1, Мп Π— з!пО'жсаэО'ЬО и аяэ(касаи!'/ /Л)66. Распределение интенсивности Цбв) при наклонном падении нэ щель определяется проекцией асгнв' ширины щели на плоскость, перпендикулярную направлению падающей волны.
0 2, Оптическая система создает действительное изображение источника света, размером /Л нахоляшегася на расстоянии Л от нее. До какой величины а „, можно уменьшить диаметр диафрагмы, чтобы размер изображения определялсв размером источника. а не лнфракцией? (> От нет! а,„= Л1./?Л З Описание картины полос в интерферометре Рэлея (см.
$5.6) приведено в предположении, чта щели 5, и Бх бесконечно узкие. В действительнасти щели должны пропускать достаточно сне~а и потому имеют конечную ширину а. Каж>й вид имеют прн этом наблюдаемые через окуляр ннтерференанонные полосы? Другимн словамн„требуется найти рэспрсделевие иатенсивностн Цх) в фокальной плоскости объектива. О В каждую точку х факэльной плоскости объектива /я приходят две когерентные волны от обеих щелей. Разность их хода 6(х) = Ж(х) хе//м где с( — расстояние между серединами щелей, Е фокусное расстояние объектива. Препполагаетсн, что х „„« хх, г.
е. углы дифракции малы: 6(х) ы х/Гт« !. Интенсивности 1,(х) н 1т(х) обеих волн в каждой точке х одинаковы, поэтому в соответствии с (5.6) Цх)=21,(х) [2+ созйй(х)[=- 21, (х) [! +сох(йг(/Ет)х]. Распределеаие интенсивности 1,(х) для одной волны опрепеляетсн дифракцией на щели и дается формулой (620): 1,(х)=1,(з!па/и)', где я=дав(х)/2= [йа/(2Ех)[х. Таким образом, Ц )=2?,( м"й( /(/2(р '[)1" 7 1!+ ( Р )] (6.29) — интерференционные полосы шириной ЛГх/г( промодулнрованы кривой дифракции на отдельной щели (рис. 6.!9). Полная ширина главного максимума огибавшей равна 2Лгх/а. В его пределах расположено 61=2г(/а интерференцнонных полос. 0 положен относительный минимум этой мвлокантрвстной интерференционной кзртнны (рис. 6.20, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
