1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Колебание в Р ат полной волновой поверхности ( — оос 'х~оо) изображается вектором, соединяющим фокусы Р и Р'. Для нахождения колебания в Р от какой-либо полосы волновой поверхности, лежащей между х=х, и х=хз, нужно построить вектор, который замыкает соответствующий этой волосе участок спирали.
В ыражение (б.!б) представляет собой параметрическое уравнение спирали Корню в комплексной форме. Если в плоскости векторной диаграммы ввести прямоугольные координаты Х и У так, как показано на рис. 6.8,б, то уравнение спирали Корню примет вид Х (Ч,) = ) сов (ня'/2)бн, У (Ч,) = )з)п(нн'/2)бп. Функции х(ч~) и Цч,) называются ннгегрплплн Френеля. их значения при ч ~ ~ со дают координаты фокусов спирали Корню: Хг = У, = '/т; Хг = = У,, = — '/з. Из (6. )7) легко найти, что дифференциал длины дуги спирали Корню з/(д~Х+(бУ~ равен бч,.' Это значит, что параметр ч, есть длина дуги спирали, отсчитываемая пт точки О на рис.
6.8, б. Напомним, что он пропорционален ширине соответствующей полосы волновой поверхности: т), =х, )/2//(хь) . угловой коэффициент касательной к спирали Корню !Кп=бу/8Х=!8(нпх/2), откуда п=пчг/2. При ч,=о угол п=б, т. е. в точке О спираль касается осн Х. При ч,=! угол п=я/2, т. е. касательная вертикальна. При ч,=т/2 угол п=п, т. е. касательная снова горизонтальна, но направлена влево. При Ч, =-чгТ угол п=зп/2. т. е. насательная вертикальна и направлена вниз. Таким обрезом легко проследить, как спираль Корню обвиваетсн вокруг фокусов, совершая при этом бесконечное число витков.
Соотяошеиие п=ннз1/2 позволяет по заданному значению параметра ч, найти соответствующую точку на спирали Корню. еперь с помощью спирали Корню Т легко получить распределение интенсивности вблизи края геометрической тени при дифракции плоской волны на прямолинейном крае экрана. При любом расположении точки наблюдения Р относительна края экрана верхняя часть волновой поверхности полностью открыта (см. рис. 6.7). Поэтому на векторной диаграмме колебанию в Р сопоставляется вектор ЯГ, конец которого всегда находится в верхнем фокусе Р (рис.
6.8, б). Положение начала этого вектора (точки („)) на спирали Корню зависит от положения точки наблюдения Р. Когда Р находится на границе геометрической тени (т. е. край экрана на рис. 6.7 совпадает с осью у и г/=0), точка Я совпадает с 0 и колебание изображается векторам ОР, равным половине вектора ГР, сопоставляемого колебанию при полностью открытой волновой поверхности. Поэтому интенсивность при с(=0 в четыре раза меньше интенсивности /о в отсутствие экрана.
При перемещении точки наблюдения Р в освещенную область, т. е. вверх на рис. 6.7, точка () на векторной диаграмме (рис. 6.8,б) будет перемещаться по нижней ветви спирали Корню. При этом интенсивность будет последовательно проходить через максимумы и минимумы (рис. 6.9, с(- О). В первом, наибольшем из максимумов /=1,37 /и, а в первом минимуме /=0,78/ . С увеличением расстояния с( от края геаметриче- ской тени размах колебаний интенсивности уменьшается и она приближается к значению 1а, а места максимумов и минимумов постепенно сближаются друг с другом. Прн погружении точки наблюдения Р в область геометрической тени экрана (вниз на рис.
6.7) точна Я перемещается по верхней ветви спирали Корню. П.чина вектора ОЕ, а следагеюнетрппжнсе пахагеннап и Кон . и вень пйла аль вательно, и интенсивность монотонно уменьшаются с увеличением рас- 6.9 стояния, асимптотическн приближаРаспределенке интенсявностн вали- ясь к нулю (рис. 6.9, область 1((0). зи края геометрической тени 3ависимость интенсивности от с( можно выразить аналитически через интегралы Френеля (6.17). Проведенное исследование показывает, что между светом и тенью от края экрана нет резной границы: в области геометрической тени интенсивность спадает постепенно и монотонно, а край освещенной области расщепляется в дифракционные полосы. Полученные закономерности хорошо подтверждаются на опыте.
С делаем несколько замечаний по поводу использованного выше приближенного метода решения дифракционных задач. Чтобы с помощью принципа Гюйгенса — Френеля определить поле световой волны за экраном, нужно знать поле на поверхности экрана и в отверстии. Предполвгаетси, что это пале в точках отверстия такое же, как и при свобалном распространении падающей волны нрн отсутствии каких бы то ни было экранов, а в точках, лежа~них непосредственно за непрозрачным экраном, пола нет. Это предположение позволяет решить задачу дифракции, но вместе с тем оно влечет за собой палый рял принципиальных трудностей. Во-первых, она математически противоречиво. "если вычислить по принципу Гюйгенса — Френеля напряженность поля во всем пространстве, то на вспомогательной поверхности Я она не совпадает с исходной напряженностью поля падающей волны, а на залней старане экрана не обратится в нуль.
Во-вторых. это прелположенне допускает разрыв напряженности поля на краю отверстия, что противоречит граничным условиям (непрерывности тангенциальных составляющих). В-третьих, предположение приводит к противоречию со свойствам поперечностн саетоа вых волн. В самом деле, допустим, что на экран с отверстием падаег по нормали линейно поляп~ рнзованиая плоская волна (рис. 6.10).
Тогда на е вспомогательной поверхности 5 в соответствии с обсуждаемым предположением вектор Е имеет во всех точках одно и то же направление, параллельное плоскости экрана. Пряменяи принцип Гюйгенса — Френеля для вычисления Ер в тачке Р, в результате сложения происходящих по этому направлению колебаний во вторичных волнах получим, что в дифрагировавшей волне вектор Ер всюду параллелен плоскости экрана. Но в действительности на большом расстоянии отклоненная волна поперечна н вектор Е в 6 1и Вектор Ер в дифрагировавшей волне ней образует с плоскостью экрана некоторый угол (рис. 6.10).
Отмеченные трудности харакгерны и для теории Кирхгафа, в которой прмнцип Гюйгенса — Френеля получил математическое абоснаванке на основе (скалярного) волнового уравнения для компонент напряженности поля. Подробный анализ показывает, что лежащие в основе метода Френеля допущения могут быть оправданы, когда размеры препятствий (илн отверстий в экранах) велики по сравнению с длиной световой волны.
В этом случае отклонения от геометрической оптики малы, т. е. заметная интенсивность наблюдается только при малых углах дифракции. Различие в истинном и вычисленном направлениях Е при этом несущественно. Влияние края экрана на поле в отверстии простирается лишь на расстояние порядка длины волны, и при больших размерах отверстия замена истинных значений Е в подынтегральном выражении формулы (6.3) на напряженность Е падающей волны не приводит к заметным ошибкам, так как на большей части поверхности Я эти значения совпадают. При больших по сравнению с длиной волны размерах отверстий расчеты дифракционной картины по методу Френеля хорошо подтверждаются на опыте и согласуются с результатами точного электродннамического решения (в тех случаях, когда такое решение возможно). Подтверждается н предположение о независимости днфракционной картины в этих условиях от материала экрана.
Строгое электродинамическое решение задачи дифракцни плоской электромагнитной волны на прямолинейном крае идеально проводящего полубесконечного экрана было получено в 1694 г. А. Зоммерфельдом. С тех пор было найдено строгое решение лишь нескольких дифракционных задач (Л. И. Манделыптам, В. А.
Фок и др.). Для большинства задач метод Френеля дает единственный путь решения и приводит к практически удовлетворительным результатам. Несмотря на отмеченные выше принципиальные трудности и ограниченную применимость, он оказался чрезвычайно плодотворным. Коятрольные вопросы Ш Чем обусловлено различие векторных диаграмм для дифракции на прямолинейном крае экрана (см. рис.
6.8) и на круглом отверстии (см. рис. 6Л)? Г1 Как с помощью спирали Корню найти вектор. изображающий световое колебание в тачке наблюления Р, лежащей в области геометрической тени? в освещенной области? Как при этом объясняется основное различие в распределении интенсивности для этих диух сдучаев? (? Какие трудности принципиального характера присущи приближенному методу решения дифракционных задач на основе принципа Гюйгенса— Френеля? П При каких условиях присущие методу Френеля трудности становятся несущественными и он приводит к правильным согласуюпзимси с опытом результатам? Задача Оценить шаркну днфракцномных полос вблнзн границы тени от прямолннейного края экрама.
Днфракцнонная картина наблюдается в плоскостн, перпендикулярной направлению падающей плоской волны (Х=500 нм) н расположенной на расстояннн 1 м от отбрасывающего темь экрана. () Максимумам н мнннмумам ннтенснвностн на рнс. 6.9 соответствуют точки нижней ветен опяралн Корню; рассгоянне до которых от верхнего фокуса г" соответственно макснмально нлн мнннмально (см. рнс. 6.8,6).
Прнблнженмо можно считать, что этя точки находятся на пересеченнн спирали с продолжением прямой гГ, прокодящей через фокусы, так ках в таких точках прямая гГ практнческн перпенднкулярна спнрвлн Корню (см. рнс. 6.8,б). Для нахождення положення макснмумов воспользуемся тем, что угол о наклона касательной к спнралн Корню связан с параметром гп состношеннем о=нн(/2, а Ч, пропорционален расстоя нню г) до точки наблюдения от края геометрнческой тени: Ч, =ИЗ/2/(Щ .
Поэтому о=Ыг/(И.). В первом максимуме и, = Зн/4, в и-м — п,=зп/4+2н(л — 1). Таким образом, светлые полосы находятся -. ~-ГПГ- 7Зà Š— '. Х '4 - .,- тени. Для первой полосы г)1=4/3)г)./4 ыо,б мм. Расстонннн между последующямн максимумами постепенно уменыпаются. О 6.3. днфрашемн яграунгофара Наибольший практический интерес представляют дифракциониые' явления, наблюдаемые при падении на экран (или на отверстие в экране) параллельного пучка света.
В результате дифракции пучок утрачивает параллельность„ т. е. появляется свет, распространяюгцийся в направлениях, отличных от первоначального. Распределение его интенсивности на очень большом (в пределе — бесконечно большом) расстоянии от экрана соответствует дифракции Фрауигофера. Волны, возникающие в результате ограничения фронта падающей плоской волны при прохождении сквозь отверстие в экране, называют дифрагировавшиии, а нормали к их волновым поверхностям — днфрагнровавшимн лучами. Они не существуют в рамках геометрической оптики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
