1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 65
Текст из файла (страница 65)
г йгю — язрю й гь Прннцмп — е — рвов объяснение дифракцни света была Зоны Ф нвия ~дана Френелем в !8!8 г. В своем ме муаре !зе он показал, что наличественнае описание дифракционных явлений возможно на оСнове волн. Ки хгоф в !882 г. построении Гюйгенса, если его дополнить принципом фс ом интерференции вторичных генса — Френеля. ирхгоф в г. дал строгое матгматичесхое обоснование прин и Г инципу юй- В рамках злентрпмагнитнай тео ии рп " р света дли описания дифранцианных явлений не и апенин тр устоя вводить какие-либо новые принципы. Во точное решен ие задачи о расными словиям растр света на основе уравнений Максвелла с соответст вуюшими граничу и представляет большие математичесние трудности. В большинстве случаев, представлиюших практический интерес, вполне достаточны приближенный метод ше е достаточным оназываетсн решения задачи о распределении света вблизи границы межд светом и тенью, основанный на принципе Гюйгенса -Френели.
между Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку, в кото ю п нш волна от и. сточника, можно принять за центр вторичных волн, рас- пространяющихся во все стороны. Результирующая волна рассмат- от ривается как наложение вторичных волн. Гюйгенс считал, что дельные вторичные волны не обладают периодичностью, что они очень слабы и заметное действие производят только ающей. ри таком произвольном допущении принцип Гюйгенса дает лишь некоторый рецепт построения волновых фронтов, т. е.
поверхностей, до которых дошло световое возмущенн . П е. остроення го распростраюйгенса наглядно объясняют законы прямолинейного нения, отражения и преломления света. Но в этих пастрое р ниах спользуется понятие длины волны, поэтому онн не позволяют определить условия применимости упомянутых законов. жанне, Френель вложил в принцип Гн>йгенса ясное физическое содерие, отказавшись от искусственного предположения об огибаю- щей вторичных волн и рассматривая полное световое поле как результат интерференции вторичных волн. Прн этом не только по- баю ей лучает физическое объяснение рецепт Гюйгенса (к то са (к точкам на оги- ающей все вторичные волны приходят в одинаковых фазах), но и появляется возможность расчета распределения светового поля в пространстве.
Изучая распределение света вблизи г аннцы меж светом и тенью на о на основе принципа Гюйгенса — Френеля, можно получить количественное описание дифракционнык явлений.' Р ассмотрим какой-либо экран с отверстием, через которое проходит свет от данного источника (рис. 6.1). Источник пока будем больш считать точечным н монохроматическим. Размеры отве ольше длины волны света. Будем под Е понимать любую из ком- понент векторов Е или В электромагнитного поля световой волны, й зависимость от опуская при этом множитель е '"', определяющий за времени.
Задача состоит в определении Е„в любой точке Р за экраном. При приближенном решении этой задачи ренеля делается предположение, что напряженность Е в точках отверстия такова. какой она была бы в случае свободного ас- пространения волны от источника вообще нри отсутствии какого бы то нн было экрана, н что в точках, находящихся непосред- 248 отвеяно за экраном, напряженность поля ранна нулю.
Очевидно, что в этом предположении совершенно не учитываются специфические свойства экрана, т. е. к материала. из которого он сде- аз лан, — считается, что это не иг- д рвет никакой роли. Существенна только форма края отверстия (или края экрана) и совершенно несущественна форма удаленной от краев части экрана. Опыт по- !~ ! называет, что обсуждаемое пред- К фармулироане принципа Гюйгенса— Френеля положение справедливо, когда размеры отверстия и расстояния до источника и точки наблюдения много больше длины волны, т.
е. когда отклонения от геометрической оптики малы. Оно нарушается, например, для узкой щели, ши ина которой значительно меньше длины световой волны. роведем мысленно произвольную поверхность 5, закрывающую отверстие в экране и ограниченную краями отверстия (рис. 6.1). Разделим эту поверхность на элементарные участки площадью 65, малые по сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с длиной волны. Можно считать, что каждый из этих участков сам становится источником световой волны, распространяющейся во все стороны. Напряженность г)ЕФ создаваемая элементарным участком 65 в точке Р„пропорциональна напряженности Е в самом участке с(5 (какой она была бы при отсутствии экрана) и проекции 45„площади Й5 этого участка на плоскость, перпендикулярную вектору й луча, пришедшего из источника света в д5.
Последнее связано с тем, что прн любой форме участка г(5 через него будут проходить одни и те же лучи от источника„если только проекция г(5, будет неизменной, а потому н вклад его в напряженность в точке Р будет тем же самым. При вычислении вклада участка 65 в Е, нужно учесть изменения амплитуды и фазы вторичной волны при ее распространении от г(5 к Р. Это приводит к появлению в выражении для г)Е, множителя езд/гг, где й — расстояние от 65 до Р, а й=2п/)г— волновое число. Таким образом„ с(Ер — — К(а) Š— г( 5„, (6.1) где К(а) — некоторый коэффициент наклона, учитывающий зависимость амплитуды вторичных волн от угла и между вектором и направлением на точку наблюдения.
Естественно предположить, что модуль К(а) максимален в первоначальном направлении распространения света, т. е. при о = О, и плавно убывает с увеличением а. Многие практически важные задачи днфракции можно решить при этих весьма общих предположениях относительно К(а), не уточняя конкретного вида его зависимости от а. Из теории Кирхгофа, основанной на том, что напряженность воля световой волны удовлетворяет волновому уравнению, следует К(п) = я( ! + соз о)/(4лг) = — (1 + соз о)/(2М).
(6:.2) При малых углах лифракпии (о~ !! можно положить сов о ! н К(о) й(2пб= — 1/Х 6.1 вто ичных Полное поле в точке Р представляет собой суперпозицию ( . ) р ных волн от всех элементов 45 поверхности, закрыполей ваюшей отверстие в экране: Ер = ) К(а)Š— с(5„ В рассматриваемом приближении интеграл (6.3) по поверхности 5 не зависит от формы этой поверхности.
ормула (6,3) дает математическое Ф ен выражение принципа Гюйгенса— ревеля. Применим ее для определения напряженности поля в точке Р за круглым отверстием в экране. Будем считать, что точечный источник О и точка Р лежат на прямой, проходящей через центр отверстия и перпендикулярной его плоскости (рнс. 6.2) . В качестве вспомогательной поверхности 5 выберем часть сф сть сферы радиусом го с центром в источнике, проходящей через края отверстия. В соответствии с основным предположением напряженность поля на ней будет такой же, как при отсутствии экрана.
Она одинакова на всех ее элементах д5 и равна Е = Еое/~ ° (6.4) В качестве элемента М удобно взять на сфере кольцо, все точки которого лежат на одинаковом расстоянии /с от Р, Пл кольца г(5=05 =2 ца =,=2пгоз(п ОдО. Выберем й за пепеменную интегрирования в (6 3), Из рнс. 6 2 видно, что И~ = гзо + (го+ г)т— — гп(го + г) соз О, где г — расстояние от сферы до точки Р. Дифференцируя это уравнение (при постоянных гп и «), получаем Мй = го(/'о+ «) сйпбдО„откуда д5„=2я ™ д)т. ге+ г (6.6) Подставляя (6.4) и (6.6) в (6.3), получаем я,„ го Е„= 2п — Еое/хм $ К(/1)е! дРс.
г !г (6.6) Для приближенного вычисления интеграла в (6.6) воспользуемся следующим приемом, Построим сферы с центром в точке Р, радиусы которых равны г, г-1-Х/2, 62 К вычислению напряженности поля в точке Р г.)-2(!!/2), ..., г+и(д/2), ... (Рис. 6.3). Они разобьют поверхность 5 на кольцевые области, называемые зонамд Френеля. Из построения ясно, что вторичные волны от. границ дВух соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе. Легко показать, что радиус окружности, отделяющей и-ю зону Френеля от (и+1)-й, приближенно равен 6.3 Построение'зон Френеля л.= /гя Ж+Ж (6 У) Отсюда ясно.
что плошади зон Френеля приблизительно одинаковы. Так как з«г, то изменение )( в пределах одной зоны незначительно н плавную функцию К()т) в подынтегральном выражении (6.6) при интегрировании по и-й зоне можно считать постоянной. В этом приближении вклад и-й зоны в интеграл (6.6) легко вычисляется: г .!- кх/2 К„) енл г)й =( — 1)" —," е'"', г+(л — $!ь/з (6.8) 27! где ʄ— значение функции К(/т) в пределах и-й зоны. Вычисление напряженности поля в точке Р сводится к суммированию знакопеременнога рида: Ер — (4л!гоЕо/й)еии "!(К, — Кз+ Кз — Кз+ ...). (6.9) П режде чем анализировать полученные результаты, приведем наглядную геометрическую интерпретацию вычисления напряжен.ности поля в точке Р на основе принципа Гюйгенса †Френе.
Изобразим колебание напряженности поля в точке Р„ вызванное вторичной волной от элементарного участка г(5 волновой поверхности, лежащего в центре С отверстия (т.е. на линии ОР), с помощью векторной диаграммы (рис. 6.4). Этому колебанию на ней сопоставляется элементарный вектор с(А!, вращающийся па часовой стрелке с угловой скоростью, вмз равной частоте чилученпя источ.- ника.
Колебание, вызванное вторичной волной от следующего (такого же по площади) элементарного кольцевого участка, изображается таким же по модулю вектором дАз, но повернутым относительно дА! на небольшой угол, так как оно несколько отстает по фазе. Колебанию, приходящему в тачку Р от участка, прилегающего к границе первой зоны Френеля, будет соответствовать вектор г(А„, повернутый относительно бА! на я, так как по самому определению зон Френеля разность хода соответствующих им вторичных волн равна Л/2. 44» 4~ ) .у «44» О! у Ъ, у у / д 44, 6 Ьз Векторные диаграммы дла результирующего колебания и точке Р Результирующее колебание в Р, вызываемое волнами от всей 1-й зоны Френеля, изображается на диаграмме рис. 6.4, а вектором Аь замыкающим ломаную линию, образованную векторами дАь 4!Аз,...,дА».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
