1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Как следует из выражения для волновоговектора к, излучение направлено под углом в к скорости частицы, причемcos<? = -^--./3n(uj)(7)Эта характерная направленность излучения является следствием когерентности волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории (см. задачу 829).Фазовая скорость волн Вавилова-Черенковаvf~с - п— такая же, как у всех поперечных электромагнитных волн. Поляризациюизлучения легко определить из формул (1): вектор Н направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через траекторию частицы и волновойвектор к, а вектор Б лежит в указанной плоскости (и перпендикулярен кв волновой зоне). В перпендикулярности к и Б можно убедиться, вычисливскалярное произведение к • Б ш .Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом593Полная энергия черенковского излучения w B _ 4 на единице пути равна интегралу по времени от потока вектора Пойнтинга через бесконечноудаленную цилиндрическую поверхность единичной длины, окружающуютраекторию частицы:оошв_ч = 2тгг jоо^ ( Е х H) r A = - f/ HvEt dt.(8)—ооИспользуя формулу, приведенную на стр.
572, можно представить (8) в видеwB_4 = -2ncrReIH*vEuxduj,(9)/3n(w)>lгде монохроматические компоненты НШ1р, Ешг должны быть взяты в волновой зоне, а интегрирование ведется по области частот, в которой выполняется условие излучения /3TI(LJ) > 1. С помощью формул (1)-(3) находимокончательно:2828. WB-Ч = ^ФаЗ2v- 1) + ^Ф(ео2v- 1) In - ^ Ц - . При указанныхeo — 1в условии задачи значениях параметров о;В-ч ~ 5000эв/см.Излучение сконцентрировано в интервале угловво < 0 ^ |,где/? 2 £ 0 cos 2 0о = 1.829. Каждую точку траектории можно рассматривать как источникэлементарного возбуждения, распространяющегося в виде сферическойволны со скоростью vv = ^ (рис. 131).
Фронт результирующей волныпредставляет собой огибающую элементарных сферических волн. Нормальк фронту составляет с траекторией угол 9, причем, как следует из рисунка, COS0 = -f-./Зп830. Поле равномерно движущейся заряженной частицы представляет собой суперпозицию плоских волн с частотами ш = к • v, где v —скорость частицы, к — волновой вектор (см. задачу 810).
В неограниченном594Глава XIIIдиэлектрике возможны колебания с частотами ш = jjf, где п — показательпреломления среды (собственные колебания среды). Из условия резонансаследует, что cos в = ^ . Так как cos в < 1,то ^ ^ 1, а это и есть условие существования излучения Вавилова-Черенкова.Рис. 131831. г = | tg 2 в, I = wB _ 4v ctg 2 в,где cos в = ^ , а>в _ ч — энергия черенковского излучения на единице длины,вычисленная в задаче 827.833. При /Зп < 1 (т. е.
при v < v^,)еr 2 ( l - /3 2 п 2 )(1)Это выражение получается таким же путем, как в задаче 811.При /Зп > 1 метод, примененный в задаче 811, не может быть использован, так как подынтегральное выражение в этом случае будет иметь1полюс при к = efj, —-^—.сВведя в пространстве к цилиндрические координаты, запишем ср в виде<p(R,t) =г—vt)+ik± r cos a22тг еУ к\- А; (/3 п222- 1)к± dk±_ dkz da.Для вычисления интеграла по kz воспользуемся теоремой о вычетах.
Знаfcj.менатель имеет нули в точках k = ± ; чтобы выяснить правилоz2 2//3 п-;обхода этих полюсов, допустим, что п имеет малую мнимую часть п" > Опри kz > 0, п" < 0 при kz < 0 (см. аналогичный анализ в задаче 827;в данном случае знак и> совпадает со знаком kz, так как и> = к • v). Поэтомуоба нуля будут смещены в нижнюю полуплоскость комплексной переменной kz.
При z > vt нужно замкнуть контур интегрирования дугой бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (на этой дуге подынтегральная функция обращается в нуль). Так как знаменатель не имеет нулейИзлучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом595в верхней полуплоскости, интеграл по kz в этом случае будет равен нулю. При z < vt замыкаем контур интегрирования в нижней полуплоскости.Вклад в интеграл дают оба полюса, в результате интегрирования получим:ik,(z-vt)ej u2тг__._ k±(z-vt)к\—ооИнтеграл по а выражается через функцию Бесселя Jo(k±_г) (см. П 3.11). Последний интеграл по к± вычислим с помощью формулы (6.671, 7), приведенной в справочнике [90].
Таким образом, при 0п > 1 имеем:2 е—2ey/(z - vt) - r 2 (/3 2 n 2 - 1)0при z<vt-rV/3 2 n 2 - 1 ,в остальном пространстве.(2)Векторный потенциал А получается умножением (р на -^—.Формула (2) показывает, что при выполнении условия Вавилова-Черенкова /Зп > 1 поле является разрывным. Оно существует только внутриконуса, поверхность которого описывается уравнениемz-vt+ ry/pn2- 1 = 0.(3)Нормаль к поверхности конуса составляет с направлением движения частицы угол в = arccosl - ^ - ) .
Как следует из (3), коническая волна распространяется вдоль оси z со скоростью частицы.Рассмотренную структуру могут иметь не только электромагнитныеволны, но и волны другой природы. Например, разрывные акустическиеволны указанного типа возбуждаются снарядом, движущимся в воздухе соскоростью, большей скорости звука (ударная баллистическая волна). Тотже характер имеют волны, образованные на поверхности воды достаточнобыстро движущимся судном.834.
Излучение Вавилова-Черепкова происходит при условии /Зп > 1,где п(и) = \Je(tjj)n(u))\ векторный потенциал имеет вид:l= 4jг£(у -vt + y/pn2- l\z\)596Глава XIIIТормозящая сила вычисляется по формуле f = ^(j x В), где В должнобыть взято в точке z = О, у = vt. Сила приложена в направлении, обратном оси у, и по абсолютной величине равна потере энергии на единицепути: Fy = —LJ _ . Этот результат прямо вытекает из закона сохраненияэнергии.B 4835.
w B _ 4 = Щ- /с( 1 — ^ - z ) ( l ± c o s ^ Jwdw. Знак плюс соответ-/Зп>1V0п'V'ствует случаю а), минус — случаю б). Спектральная плотность излучениядвух одинаковых зарядов отличается от спектральной плотности излученияодного заряда множителем 2 (1+cos Щ-). Поэтому интенсивность гармоникс частотамио,= 2 М п („ = 0 , 1 , 2 , . . . )возрастает в 4 раза, а гармоники с частотамиw=M(2n+i)исчезнут. При различных по знаку зарядах картина станет обратной. Дляперехода к случаю точечного диполя, ориентированного по направлениюдвижения, нужно разложить 1 — cos Щ- в ряд, считая аргумент косинусамалым. Это даст/Зп>1где р — электрический момент диполя, измеренный в лабораторной системе.836. "в-ч = ^^ 22/^где п = л/ё, р — электрический дипольный момент в лабораторной системеотсчета.837. "B-4 = j £сv//Зп>1838.
Потери энергии на единицу пути выражаются интегралом повремени от потока энергии через цилиндрическую поверхность единичнойдлины и радиуса а, окружающую траекторию частицы. Для вычисленияИзлучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом597потерь можно воспользоваться формулой (9), полученной при решении задачи 827, если в этой формуле взять значения полей при г = а и вестиинтегрирование по всем частотам от 0 до оо. Используя выражения компонент поля, найденные в задаче 826, и указанный в условии данной задачиконкретный вид функции е(и), получимооdSdlRei / Y ^ — 1^ - P2)s*aK1(s*a)K0(sa)xdx,J ^eo -x>(1)где х = jj-, e(0) = eg = 1 Н — | — статическое значение диэлектрическойпроницаемости,д2_^о/1Аь~х2х2ь- ° 2 ~ £ ° у 2Как следует из формулы (1), в потери вносит вклад только мнимаячасть интеграла.
Функции Ко и К\ — вещественны при вещественном аргументе, поэтому интересующая нас мнимая часть интеграла будет определяться только той областью изменения х, в которой s будет комплексным.Эта область, как видно из (2), зависит от знака и величины параметра 6.Если 6 > 0 (это означает, что v < -^=), то s будет чисто мнимым призначениях х в интервале (Vb, 1) и вещественным вне этого интервала. Если 6 < 0 ( этому соответствует v > —£—), то s будет мнимым при 0 ^ х ^ 1и вещественным при х > 1.Кроме указанных интервалов изменения х, вклад в мнимую часть интеграла будут давать отдельные точки, в которых знаменатель подынте2грального выражения ео — х обращается в нуль: х = ±у/ёо~. Посколькуинтегрирование в (1) ведется по значениям х > 0, нужно рассмотреть одинполюс х = у/ёо > 1. Если пренебречь потерями, то этот полюс окажется на вещественной оси.
При учете потерь, как легко видеть из явноговыражения е(ш) (см. (VI. 12), он переместится в нижнюю полуплоскостькомплексной переменной w)'. Чтобы получить правильное значение интеграла, нужно или ввести параметр затухания и после вычисления интегралаустремить этот параметр к нулю, или слегка деформировать путь интегрирования, произведя обход вокруг полюса по окружности бесконечно малого'Это находится в соответствии с общей теоремой о том, что е(ш) не имеет нулей в верхнейполуплоскости (см.
[66], § 62).598Глава XIIIрадиуса в верхней полуплоскости. Используем второй способ. Обозначивинтегрирование по указанной полуокружности значком ^ , получим1-х2Л-£= г—2 0шоа\/ёо5(и ау/ёо\/ш ау/ёо\о—Ко{—- — ) К ^ —о - — у(3)Теперь вычислим интеграл по области, в которой s чисто мнимо. Для этогозаметим, что при чисто мнимом аргументе цилиндрические функции Кои К\ связаны зависимостьюs'aK^ajKoisa)- saKx{sa)K0{s*a) = if,которая следует из свойств вронскиана системы решений уравнения Бесселя(см. [68], § 5.9). ПоэтомуПе*Последний интеграл вычисляется элементарными методами. Пределы интегрирования выбираются так, как указано выше.Подставляя (3) и (4) в (1), получим при v < ~^—(5)и при v > —j=:d82ne4N~dT ~ ~™Г599Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществомТа часть полных потерь, которая не исчезает при а —> оо (члены, несодержащие а в (5) и (6)), представляет собой потери энергии на излучениепоперечных волн (эффект Вавилова-Черенкова):при(7a)<^=,Vv>c(76)Выражение (76) было получено в задаче 828.Члены с Ко, К\ в (5) и (6), зависящие от а, возникли в результате обходаполюса в точке и = П = •Jufa + и2, в которой е обращается в нуль.
Нопри таких частотах возбуждаются продольные колебания (см. задачу 443),поэтому выражениепаописывает потери на возбуждение продольных колебаний (поляризационные потери). При = ^ < 1 формула (8) принимает простой вид (см. П3.6):v2л "При ^v > 1 величина —[Щ-]]\ al /пояПаПа(У)Пастановится очень малой (она пропорцио\пояvнальна е) . Это показывает, что влияние поляризации среды при малыхскоростях мало.Изложенный в этой задаче макроскопический метод расчета потерьпринадлежит Ферми (1940 г.).839.alv6V/V/Если параметр - £ - <С 1, что имеет место при достаточно большой скорости частицы, то можно использовать приближенные формулы600ГлаваXIIIдля Кп (П3.6). При этом (1) переходит вdl2vV(2)Как следует из формул (1), (2), потери частицы существенно зависят от величины и>р. Она представляет собою частоту продольных плазменных колебаний(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
