1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 81
Текст из файла (страница 81)
а) Из уравнения (XTV.1), вычисляя произведения [h x Vff]и [h х (h • V)h] для поля магнитного диполя, находим, что движение поперек магнитных силовых линий сводится к азимутальному дрейфу, прикотором расстояние до центра Земли и широтный угол не меняются.
Кроме того, ведущий центр движется вдоль силовой линии, уравнение которойимеет видг = го cos 2 A,(1)где го расстояние в экваториальной плоскости от силовой линии до центра.При этом энергия частицы остается постоянной вследствие пренебрежениягравитационным полем.Используя известные выражения для напряженности поля магнитногодиполя, а также уравнения (XTV.1), (1) и (XTV.5), находим угловую скоростьазимутального дрейфа.(vd) t t22Зсртго sin a1 + sin Af 1)cos A(3sin A +l)323333спя ЛЛЧ s i n Л — 11cpvrrv>0 cos A(3 sin A - 1)^Здесь р и v — импульс и скорость протона.(3sin 2 A(2)§ 1.
Движение отдельных частиц в плазме609б) С помощью уравнения (XTV.5) находим условие, определяющее А т > 0;cos 6 A m. 2= sin a.\/3sin 2 A —mЧастицы движутся в области — А т ^ А ^ А т .в) Протон достигает поверхности Земли при условииr0cos2Am <г»,где г* — радиус земного шара.854. Через площадку da = sds da плоскости, перпендикулярной направлению движения частиц, проходит за единицу времени nv da частиц.Они передают неподвижной частице импульс, равныйmAvznvda,(1)где Avz изменение ^-компоненты скорости одной частицы при рассеянииее на неподвижной частице.Искомая сила, равная полному импульсу, передаваемому за единицувремени, получится интегрированием (1) по всему сечению пучка частиц.При этом нужно выразить Avz через прицельный параметр з.
Посколькустолкновения упругие, имеемДг;г = - 2 г ; 8 т 2 | ,(2)в — угол рассеяния. Его связь с прицельным параметром s была найденапри решении задачи 713:После подстановки (2), (3) в (1) и интегрирования по а получим выражение для силы:=4ZEe2e/2nAvF( 4 )1тvгде4^](5)При зт —* оо, что соответствует неограниченному пучку, величина А расходится. Этот результат объясняется дальнодействующим характером кулоновых сил, в результате чего с неподвижной частицей взаимодействуют610Глава XIVи те частицы, которые пролетают от нее сколь угодно далеко.
Фактически в плазме любой заряд экранируется зарядами противоположного знака,поэтому с любой частицей взаимодействуют только те частицы, которыепролетают от нее на расстояниях, не превышающих радиуса экранировки.Для статистически равновесной плазмы радиус экранировки был вычисленв задаче 308 (радиус Дебая-Хюккеля):где е и е' — заряды электронов и ионов, п и N — их концентрации.Величина Л называется кулоновым логарифмом. Пренебрегая слабойзависимостью А от v, можно считать А = const, где const — число порядка 10.855.F(v) = -fe*e*\Jгде fj.
=ттпm-\-m^-Z^_/(v')(dv'),(1)— приведенная масса.Полезно иметь в виду следующую электростатическую аналогию: выражение (1) можно записать в виде электрической силы F = qE, с которойдействует на заряд q = — ^ е 2 е ' 2 А «электростатическое поле»E(v) = -gfadytp(v),(2)где— «электростатический потенциал», удовлетворяющий уравнению Пуассона856. Энергия пробной частицы не меняется при столкновениях с неподвижными бесконечно тяжелыми частицами.
Изменение среднего импульсаописывается уравнениемгде F — средняя сила. Ее удобно вычислять с помощью электростатической аналогии, указанной в решении предыдущей задачи. Распределение§ 1. Движение отдельных частиц в плазме611по скоростям частиц среды описывается функцией /(v) = n5{\). Поэтому y(v) = n/v, E(v) = nv/v3,F = -|£eV2nAj,(2)F имеет характер «силы трения», стремящейся уменьшить направленнуюскорость частицы. Но это трение тем меньше, чем больше скорость частицы(F ~ 1/v2, «падающее трение»).Интегрируя уравнение (1), найдемv(*)=v o exp[-|r],где т = — - т ^ — ~ характерное время потери частицей направленной4тге е п\скорости.857.{Опри v < vn,/11 \4тге2е'2А( — + —) Щ- при v > VQ.m ) v\m858.(/11 \ V-4тге 2 е' 2 Ап(— + -^)-%ъ —)Vmm /v17)^при v • v 0 > vhПриV-VO<UQ-mm /v859. На электрон, движущийся со скоростью v в среде неподвижныходнозарядных ионов, действует сила тренияр _44тге пА v3mvQ4(см.
решение задачи 856). Отметим, что зависимость силы F от скоростиможно получить и из следующих полукачественных соображений. Сила трения есть потеря импульса частицей в единицу времени из-за столкновений.Если среднее время между столкновениями т, а при каждом столкновениитеряется импульс порядка полиого импульса частицы mv (это означает, чтов результате столкновения электрон отклоняется на большой угол), тоF«^.(2)612Глава XIVПри таком столкновении электрон подходит к иону на расстояние, на котором его кинетическая энергия — порядка потенциальной:mv2 ^ е2— ~т-/о\(3)Это приближенное равенство позволяет оценить сечение столкновения4(4)ТТГ1Ги среднее время между столкновениямиT r aJ^Minav4тгпе4( 5 )Подставляя г в (2), находим F те 4тгпе v или, учитывая тормозящий хаmvрактер силы,Ри(6)что отличается от (1) отсутствием кулонова логарифма А.
Но это естественно: при оценке по формулам (2)-(5) мы не учитывали далеких столкновенийс малыми передачами импульса, вклад которых и дается кулоновым логарифмом.Усредним теперь формулу (1) по возможным скоростям электрона. Дляэтого положимv = u + vT,(7)где v T — тепловая скорость, и — скорость, приобретаемая под действиемэлектрического поля Б . При и < « т можем положить в знаменателе выражения (1) v3 RitiJ.B числителе же нельзя пренебречь и по сравнению с v T , таккак при усреднении по направлениям тепловой скорости получим v T = 0.В итоге будем иметь^mv*щ( )где под vT теперь нужно понимать величину порядка средней тепловойскорости.
В случае распределения Максвелла v2 = ЗкТ/т. Таким образом,при и <g.vT получаем F ~ и.При и » vT полагаем v и и и получаемти§ 1. Движение отдельных частиц в плазме613т. е. F ~ 1/и2. Максимуму F, очевидно, будет соответствовать значение и ~ г>т; при этом обе формулы (8) и (9) дадут одинаковое значение(10)mvrПримерный ход функции F(u) представлен на рис. 134.FРис. 134Если поле в плазме Е < Fmax/e = Ей} то сила торможения принекотором значении и, удовлетворяющем равенству F(u) = еЕ, превыситускоряющую электрическую силу еЕ, и электроны не смогут больше ускоряться.
Это — область значений поля Е, при которых имеет место обычныйзакон Ома. В случае Е > ED ускоряющая сила превышает торможение,2и электроны получают возможность ускоряться неограниченно . Это явление получило название «убегающих электронов».Подставляя v2 = ЪкТ/т в формулу (10), получимi. елгугкТ2Ажпе(И)Точный расчет для этого же случая дает ([28], в. 1)ED = 0 , 2 1 4 ^ .(12)Наша порядковая оценка дала результат, близкий к точному значению.1Критическое значение поля Е = ED называется драйсеровским.В действительности из-за коллективных эффектов электронный газ как целое не ускоряется, его сопротивление может даже возрастать.2614Глава XIV§ 2.
Коллективные движения в плазме860. Естественно предположить, что скорость движения жидкостинаправлена вдоль оси z и зависит только от поперечной координаты х.Поскольку движущаяся проводящая жидкость увлекает за собой силовые линии магнитного поля, то при движении должна возникнуть продольная составляющая магнитного поля Hz(x). Таким образом, неизвестные функции v и Н ищем в виде v(0,0,v(x)); H(HQ,0,HZ(X));приэтом уравнения (XTV.9), (XIV.
10) удовлетворяются тождественно. Уравнения (XTV.7), (XTV.8) принимают следующий вид:dvdx+с2d?Hz4тп7Я d 2 ~( )'d?v__Ho_dHz__l±(n,H?_\dx* ~ *Щ dx~ г, dz \Р +8тг Ги2Из последнего равенства следует, что р + ^ - зависит только от z. Но-й- p + f -= ^ = const,(4)dz V87Г /dzтак как Я 2 /8тг от z не зависит. Поэтому равенства (1) и (2) представляютсобой систему обыкновенных линейных уравнений для определения неизвестных функций v(x), Hz(x).Исключая из них —г-5-, получим уравнениеотносительно и = ^-:dxd?udx1пXQтс РпаtiQ у/гчиз которого следует/Г — ЛГ _ П \-С.(6)Граничные условия имеют вид v(±a) = 0, так как вязкая жидкость у стенкинеподвижна. Кроме того, из соображений симметрии следует v(x) = v(—x).§ 2.
Коллективные движения в плазме615Из граничных условий и (6) находимгде «о — новая постоянная, имеющая смысл скорости в средней плоскости х = 0. vo можно выразить через градиент давления:ах0ch^~1dpМагнитное поле определяется из (2), (7) и граничных условий Hz(±a)Hz(x) =(х\аAwn\)^-y/^rjvoаохох= 0:х.(9)Отношение а/хо = М называется числом Гартмана. При М с 1 имеемa2 dp^"""l1~ Vdz'a?)'как в обычной гидродинамике. Магнитное поле Hz = 0 в первом порядкепо числу Гартмана. Продольное поле Hz появляется только в следующихприближениях.В противоположном предельном случае М > 1 получаемСравнение (10) с (11) показывает, что средняя скорость движения уменьшается с ростом Но, а профиль скоростей становится более плоским в среднейчасти потока, но резко меняется в слое толщиной х0 у стенок.
Продольноемагнитное поле в этом пределе имеет вид= ^Р-ЛШсМdz\a-expf-^1 Л 1 ) .L xoiXQ)(12)VКак видно из формулы, оно убывает с ростом числа Гартмана. Наибольшуювеличину Hz имеет при М и 1.616Глава XIVПлотность тока в движущейся жидкости вычисляется из уравненияМаксвелла j = -£- rot Н. Отлична от нуля только у-компонента тока:Создаваемое им магнитное поле Hz равно нулю всюду вне области, занятойжидкостью. Там остается только поперечное поле HQ.h—861. v(x) = voh —-. Плотность тока j(x) =s h°Н^Х-. Этот токЪ %создает магнитное поле„ ,Лч'Awqvo c h Ш ~ c h ШНохоs h ^ .обращающееся в нуль при \х\ ^ а.862. Магнитное поле имеет одну проекциюоИнтегрируя уравнение движения (XTV.7) с граничным условиемр| г > а == 0, находимгде Н = Щ: J rj(r) dr при г < а, Н = 2J/cr при г > а.оЧтобы связать силу тока J с Т и N, полагаем р = 2п(г)кТ, где к — постоянная Больцмана, и интегрируем обе части (1) по площади поперечногосечения столба плазмы.
ПолучимJ = 2cVNkT.(2)При Т и 108 °К и N и Ю 1 5 частица/см3 (значения, характерные для термоядерных исследований) имеем§ 2. Коллективные движения в плазме617863. Ток должен течь по тонкому поверхностному слою. Тогда внутристолба будет постоянное давление864.
Беря проекцию уравнения (XIV. 12) на ось г и подставляя v = и£,v = const, получим уравнение для определения Нг:_=__Яг-„—.(1)Решение этого уравнения выражается через произвольную функцию F отаргументов г — vt, fl и а:(2)Hr(r,d,a) = ±F(r-vt,d,a).Граничное условие имеет видЯ г | г = а = НОг{-д, а + ГО) = ^F(a(3)- vt, -д, а)(аргумент a—uty Hor написан в связи с переходом в неподвижную системукоординат). Таким образом,F(a - vt, ti, a) = о 2 Я 0 г (1?, а + ГО).Следовательно, (2) запишется в видеНг(г, 0, a, t) = ( f ) 2 Я 0 г (*, а -{Г~уа)П+ГО).(4)Таким же путем находим,а -(Г~„° ) П +ГО).(5)Из уравнения divH = 0 вытекает следующая связь между проекциямивектора Но:618Глава XIVПри Нов = 0 находим Н# = О,если положить /(#) = 0, то будем иметьЯ„(г, 0, a, t) = ^ ЯО г(Ч а -(Г~/) П+ ta) sintf.(6)Паркер использовал рассмотренную модель для описания межпланетногомагнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечнымветром).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
