1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 82
Текст из файла (страница 82)
В модели межпланетного магнитного поля Паркера Н# = О, а Нги На даются формулами (4), (6). Измерения межпланетного магнитногополя, произведенные на спутниках и ракетах, показывают, что усредненное магнитное поле вблизи орбиты Земли удовлетворительно описываетсямоделью Паркера.865. Силовые линии имеют вид спиралей Архимеда:866.г = ^г(а- а0),а0 = const,в = arctg ^ф- « 56°;Я а 4,5 • 1(Г 5 э.е± = 1 НY~, где р — плотность плазмы. Найденное значе-ние е±_ получается из результатов задачи 321 в предельном случае из —> 0.6867.
из = изр = уга•г д е mм а с с а~~электрона.868. При из < изр, R = 1,Е = - — ^ Е о exp[-qz - iwt],где q = ^ \ / - | ~ 1 > 'г =%•> Ео — амплитуда падающей волны. Глубинапроникновения Ь = \ = —с; 5 Й ^ - при из <С изо. Затухание полявызвано не диссипацией энергии, а возникновением токов в плазме, которыесоздают поле противоположного знака.§ 2.
Коллективные движения в плазмеПри619UJ > и)ргде q = лЛ^2 — ш%/с, волна распространяется в плазме без затухания.869. Представим радиус-вектор частицы в виде(1)где vo — скорость частицы в отсутствие поля (тепловая скорость); Ro —радиус-вектор при t = 0; R i (t) — добавка, обусловленная действием электрического поля плоской волны (магнитным полем пренебрегаем, считаячастицы нерелятивистскими).Величина R i удовлетворяет уравнениюm R i = е Е 0 ехр[г(к • Ro + к • vot + к • R i - ut)}.(2)В показателе экспоненты можно пренебречь слагаемым к • R b считая выполненным неравенство kR\ « 1.
В этом приближении, линейном по Ео,решение (2), соответствующее вынужденным колебаниям, имеет видRo-i(w-k.v0)t]Скорость частицы выражается в виде1v(t) = vo + И _ ^ _ e x p ^ . Ro - Г( Ш - k • v o )t].(4)Ток, создаваемый одной частицей, начальные значения радиуса-вектораи скорости которой равны соответственно Ro и vo, запишем в видеh(r,t) = ev(t)(r-R(t)),(5)'Расходимость выражений (3) и (4) при k v o = ш связана с некорректным рассмотрением «резонансных» частиц, т.е. частиц, скорость которых удовлетворяет условию kvo = ш.Чтобы избежать этой трудности, предположим, что в плазме отсутствуют частицы с такимискоростями, т.е. исключим из рассмотрения интервал скоростей, удовлетворяющих неравенству |v — vo| < vo.620Глава XIVгде \{t) — скорость частицы в точке г = H(t).
Для вычисления полноготока j(r, £) нужно умножить (5) на число частиц в объеме (dRo), обладающих начальной скоростью vo, и проинтегрировать по всем возможнымзначениям Ro, v 0 :j(r,t) = enJv(t)S(r-K(t))f(v0)(dv0)(dRo).(6)Начнем с интегрирования по координатам. Аргумент «^-функции зависитот Ro сложным образом, поэтому перейдем к новой переменной интегрирования R = Ro + vof + Ri(Ro,£).
Вычисляя якобиан преобразованияс точностью до членов, линейных по Е о , получимO(Hx,Ky,Hz)После этого интегрирование по (dR) не представляет труда и проводитсяс помощью формулы типа (П1.4). Подставляя под интеграл (6) выражение (7) и пренебрегая снова слагаемыми к • R i в показателях экспонент,получимVo( Ej(M) =enJ/{vo+*g+ft \ }/(vo)^vo), (8){т(и - k • vo)m(w - k2• v ) )0где E = Eoexp[i(k • г — wt)].
Точка k • vo = и не является особой точкой подынтегрального выражения, так как предполагается, что /(vo) = 0при к • vo = и>. Поэтому можно произвести разложение по отношению vo/vy = kvo/ijj, предполагая характерные скорости частиц малымипо сравнению с фазовой скоростью волны. Это позволяет представить (8)в виде-/{•+ге(к • E ) v 0тпшПредполагая, что f(vo) не зависит от углов, получим§ 2. Коллективные движения в плазме621ЗдесьЕ(к'Е)кЕЕ Еv2 = 2n I vjf(v)v±dv±dvll.(11)В случае распределения Максвелла v2 = Т/т.Из выражения (10) находим тензор проводимости:те2Он является чисто мнимым, что свидетельствует об отсутствии диссипацииэнергии.
Вычисляя тензор диэлектрической проницаемости по формуле',(13)будем иметь(14)еа0(ш,к) = е±(ба0--^-\+е\\-^-,где,2 _ 4тгпе2т_По сравнению со случаем отсутствия теплового движения (v?, = 0) возникновый важный эффект — зависимость е от к, пространственная дисперсия.В связи с этим диэлектрическая проницаемость стала тензорной величиной.Зависимость е от к объясняется тем, что ток в некоторой точке создаетсячастицами, приходящими из соседних областей, поле в которых не равно полю в рассматриваемой точке. Пространственная неоднородность полявместе с тепловым движением частиц и приводят к пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости.Поведение резонансных (к • v 0 = ш) частиц рассмотрено в этой задаченедостаточно корректно, в связи с чем при расчете утеряна малая мнимаячасть £ц, которая описывает передачу энергии от волны к частицам (затухание Ландау, которое существует даже в бесстолкновительной плазме).622Глава Ш870.3kvjWvVy, = -Z + -5—^ «Wvk'1"9=3v$~HT^' ® отсутствие тепловогодвижения vg = 0.
Таким образом, плазменные колебания распространяютсяв результате переноса электромагнитной энергии частицами.871. а) р(г, t) = р(г, 0) cos wpt,{где 0 = %гг. В случае б), кроме плазменных колебаний плотности заряда с частотой w p , происходит его релаксация из-за теплового движениячастиц, р(х, t) = 0 при t —> оо.ПРИЛОЖЕНИЯ1. (5-ФУНКЦИЯ(5-функция Дирака определяется равенствами:18{х -а) =оо при х = а;6(х — a)dx = 1.Интегрирование в (П 1.2) выполняется по промежутку Д произвольной длины, содержащему внутри себя точку о.(5-функция удовлетворяет следующим соотношениям:J5(х) = 6(-х),(П1.3)Jf(x)5(x-a)dx =А8(ах) = -гт8(х),|а|(П1.5где f(x) — непрерывная функция.Трехмерная (5-функция определяется аналогичными соотношениями:6(т - а) = 5(х - ах)5(у - ay)S(z - az) =(a)//(r)J(r-a)^=(^ 'J\0,-ли а внутри объема К,если а вне объема V.АЗдесь /(г) — непрерывная функция.1Математически корректное определение 5-функции требует обобщения обычного понятияфункции (см.: И.
М. Гельфанд, Г. Е. Шилов «Обобщенные функции и действия над ними»,т. I, Физматгиз, 1958; В.С.Владимиров «Уравнения математической физики», «Наука», 1967).{-функция относится к классу сингулярных обобщенных функций.624ПриложенияС помощью J-функции можно описыватьраспределение в пространстве заряда точечнойчастицы. Объемная плотность такого распределенияр(г) = е6(т - а),(П1.8)6(x —a,a)где е — заряд частицы, а — радиус-вектор точки,в которой находится частица.Можно определить также производнуюот J-функции. Точный ее смысл содержитсяв формуле/я*) д6(хдх- a) ах = — df(a)-даJdS(x —a,a)которая получается интегрированием по частям.
Аналогично определяются производныевысших порядков:f f(x)6(n\x-a)dx=|H4Рис. 135(П1.9)(-l) n / n (a).Сама J-функция может рассматриватьсякак производная от функции, испытывающейв некоторой точке а конечный скачок 6. Если / ( а + 0) - / ( а - 0) = 6, тотг" = Ь6(х — а) + ограниченная функция.(П 1.11)охНаглядное представление о J-функции и ее производных можно получить, рассматривая график некоторой непрерывной функции 6(х — а, а),такой что / 6(х — a, a)dx = 1 (рис. 135). Параметр а характеризует шиАрину промежутка, в котором 5(х — а, а) отлична от нуля.
J-функция и еепроизводные определяются как пределы:Six — а) = lim 6(x — а, а),а—>0д6(х - а)ОХи т. д.,.= limа->0д6(х - а, а)ОХ1.8-функция625Свойства ^-функции приобретают многие несингулярные функции, зависящие от параметра, при определенных предельных значениях этого параметра. Например:8(х) = limД • - a ^ - j ,(П1.12)<*->0 тг ОТ + X26 ( х ) = lim к .
йfc-»oo 7ГПри А; и п целых+ООцт±МШ=fc—oo ^S1I1Xу5(х-пж).V-^-^п=—оо'(П1.14')V'Легко убедиться в том, что любое из представлений (П 1.12-П 1.14') согласуется со всеми определениями (П 1.1—П 1.5), а также с определением (П 1.9)производной от <5-функции. При вычислении интегралов вида f f(x)S(x —— a)dxc помощью представлений типа (П 1.12-П 1.14) нужно иметь в виду,что предельный переход должен производиться после выполнения интегрирования, например при использовании (П 1.12):/ f(x)S(x -a)dx=Jlim/ f(x)S(x - a) dx.а-оУПутем рассмотрения интеграла Фурье (или с помощью представления (П 1.13)) можно получить еще одно полезное представление ^-функции:ооS(x) = ^ооikxj e dk = \ j cos kxdk.—оо(П1.15)ОК J-функции близки две другие обобщенные функции 6+(х) и 6-(х).Они определяются равенствами, сходными с (П 1.15):оо6±(х) = ^±ikx/edk.оФункции 8+ и 6- связаны с ^-функцией соотношениями±Р±,(П 1.16)626Приложениятак что 6(х) = 6+(х) + 6-(х).
Символ Р 1 в формуле (П 1.17) представляетглавное значение интеграла:О201=2У (а)±± що \7Ж „,+/ Mу J'27Ге-о[ / х - aJ х-аl/v1aiо+егде ai < a < О2, £ > 0.Если аргумент ^-функции является однозначной функцией независимой переменной х, то имеет место формула^ * - * ) .(П1Л8)где а» — корни уравнения tp(x) = 0.2. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРАСферическая функция порядка I, т, зависящая от полярных углов д,а, определяется формулой:в которой целые числа I, т удовлетворяют условиям I ^ 0, — I ^ т ^ I;5т = (—1) т при т ^ 0, 6т = 1 при т < 0. Через P j m обозначен присоединенный полином Лежандра(П2.2)ьь'Часто вместо обозначения Р f используют обозначение •£.2.
Сферические функции лежандра627где Pj(x) — обычный полином Лежандра. Он совпадает с Р/ т (х) при т = 0:I.(П2.3)Присоединенные полиномы Лежандра удовлетворяют дифференциальному уравнениюПриведем некоторые формулы, полезные при работе со сферическимифункциями:(0,0) == (-1)"(П2.5)+ l)P/+i(x) = (2* + l)xfl(x) - ifl-i(x),'(П2.6)Сферические функции с Z = 0, 1,2 имеют вид:*'Y2,±1 = Ti/gsiv20=,/5V4^У2,±2 =(П2.7)«/^siСферические функции образуют на поверхности сферы полную ортонормированную систему функций от д, а. Это означает, что(П2.8)'Символом п\\ обозначено произведение всех последовательных целых чисел, имеющих туже четность, что и п, от 2 до п при п четном и от 1 до п при п нечетном.628Приложениягде du = sin •ddfida — элемент телесного угла, и что произвольная функцияот д, а с интегрируемым квадратом модуля может быть разложена в ряд0?,a).(П2.9)Коэффициенты a/m определяются формуламиaim = / ljm(0, <*)/(*, a) du.(П 2.10)Функции вида r~l~1Yim('d,a)и r'yj m (i9, a) называют шаровыми гармониками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
