1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 80
Текст из файла (страница 80)
задачу 443).ИзлученияВавилова-Черепковав плазме не возникает, так как при всехчастотах е(и>) < 1 и условие излучения /?2£ ^ 1 не выполняется (но черенковское излучение становится возможным,—vесли плазма находится в магнитном поле).—еПри квантовомеханическом рассмотрениивозбуждение плазменных колебаРис. 132ний эквивалентно возникновению некоторых дискретных элементарных возбуждений (квазичастиц — «плазмонов»).Энергия каждого плазмона равна tkop, где h = 1,05 • 10~ 2 7 эрг • сек — постоянная Планка. Для металлов величина hop лежит в пределах от 5 до 30 эв.Таким образом, при возбуждении плазменных колебаний частица теряетэнергию дискретными порциями.
Изучение этих дискретных (или характеристических) потерь энергии позволяет получать ценные сведения о свойствах твердых тел.840. Разложим плотность тока (рис. 132):— evS(z — vt)S(x)S(y) при— ev8(z + vt)S(x)8(y) прив интеграл Фурье по времени:0,(1)_ J L e ***S(x)8{y) при О 0,= 1 з\(2)приВведем вектор поляризации согласно (XII.9):рВектор Рш направлен по оси z.—Зш(3)Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществомФормулы (2) и (3) показывают, что плотность заряда и плотность тока,создаваемые движущейся частицей, эквивалентны набору гармоническихосцилляторов, распределенных в пространстве по законупри z > 0,(4)vZшie eJT,8{x)8{y)при.2iru>Наличие S(x)S(y) в (4) означает, что фактически осцилляторы находятсятолько на линии движения заряда.Осцилляторы, находящиеся на отрезке dz, создадут в точке М волновойзоны магнитное поле (см.
рис. 132):. ,2oikR, ,2oikRsinxR)dz = -^jr^p*^ф(Рш^ e « dz.(5)Интегрируя (5) по z, получим полное поле:Яша_ ieui—2тгс2о/ е Vt>[JRs i nе> sini? dz +JR^ dz\В последнем выражении интегралы берутся от произведения убывающейи осциллирующей функций, поэтому основной вклад в них даст областьвблизи 2 = 0. Это объясняется тем, что излучение имеет место при переходеиз вакуума в металл. Вычислим интегралы приближенно, для чего положимв показателях экспонент R = г — z cos в. Выражая sin i? через R, получим0%еШеНыо =rоо(jjmeJ [JД2dZ +JeиVД2dZ\Интегрированием по частям можно представить эти интегралы в виде рядовпо степеням 1/R; оставляя только члены, линейные по этому параметру,получимВторой член в этом выражении описывает поле излучения, возникающегопри внезапной остановке заряда, а первый член — излучение, создаваемое601602Глава XIIIизображением.
Интенсивность излучения с частотой и> в телесный угол duопределяем по формулеeVOdUВ нерелятивистском пределе (/? -С 1) формула (7) дает дипольное излучение:dl(CJ, в) =^£sin2 в du,(8)интенсивность которого пропорциональна квадрату скорости частицы. Отметим, что интенсивность излучения не зависит от массы частицы.Интегралы от (7) и (8) по CJ, дающие угловое распределение полногоизлучения (со всеми частотами), будут расходящимися. Это обусловленотем, что металл считался идеально проводящим. В действительности, ужев инфракрасной области спектра металл нельзя считать идеально проводящим, так что при высоких частотах результаты (7) и (8) неверны.Спектральное распределение полного излучения получится интегрированием (7) по верхней полусфере:4eV/3/92-1,1/3В ультрарелятивистском пределе, когда полная энергия частицы § многобольше энергии покоя тс2, формула (9) даеттгсИнтенсивность излучения растет логарифмически с ростом энергии.В нерелятивистском пределе выражение в скобках обращается в единицу:841.
Компонента Фурье вектора поляризации имеет видОпределим сначала поле в точке А от осцилляторов, находящихся в области z > 0 (рис. 133). Достаточно рассмотреть осцилляторы, лежащие вблизиИзлучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом603точки z = 0, так как только они создают поле излучения (см. предыдущуюзадачу).При использовании теоремы взаимности выберем осциллятор р в наоси z вблизи z = 0 (точка В), а осциллятор рл в точке А, поле в котороймы должны определить. Пусть оба они одинаковы по абсолютной величинеРАУ///////////////////////////.Рис.
133и направлены вдоль z, а расстояние между ними велико по сравнению с длиной волны. Осциллятор р в создает в точке А поле, амплитуда Е + которогосоставляет с осью z угол, приближенно равный ^ — в (см. рис. 133). Волныиз А в В приходят двумя путями: непосредственно и после отражения отграницы диэлектрика. Соответствующие амплитуды обозначены на рисунке через Е ' и Е " .
Они составляют с Oz такие же углы ^ — i?' и ^ — в.Поэтому по теореме взаимности имеем Е + = Е ' + Е " или, учитывая, чтов волновой зоне осциллятора Н = п х Е, получаем Н + = —Н' — Н " (всетри вектора Н + , Н', Н " перпендикулярны плоскости AOz).Волна, приходящая из А в В непосредственно, создает полеdH' =,2eikR| 2 — Рш sine dz.cR(2)604Глава XIIIАмплитуду отраженной волны можно определить с помощью формул Френеля, так как расстояние АС велико и волна, испускаемая из точки А, можетрассматриваться вблизи точки С как плоская.
С помощью формул (VIII.20),учитывая изменение фазы волны и то, что д' и в, получим2fdH" =\ikR',Рш sin в dz,(3)где_—Уе cos в + ye — sin 2 в,тУЛ —А/*1!!AL/D.То поле Н + , которое создается в точке А всеми осцилляторами, находящимися в области z > 0, получится интегрированием суммы —(dH' + dH")по z от 0 до оо. Интегрирование проводится точно так же, как в предыдущейзадаче. Результат имеет видev (1|f\ sin6>e ifcr1 — PcosOJr,^Эту формулу легко понять путем сравнения с аналогичной формулой (6)предыдущей задачи. Первый член описывает поле частицы, движущейсяв вакууме и внезапно останавливающейся в точке z = 0; второй — полеизображения (—е/), движущегося в диэлектрике навстречу частице и такжеостанавливающегося в точке z = 0.
В отличие от случая идеального проводника, изображение слабее в / раз, его величина зависит от частоты ирассматриваемой гармоники (через е(и>)) и от положения точки наблюдения(через угол в).Поле Н _ от диполей, лежащих при z < 0, определяем таким же путем.Волна придет из А в В, преломившись на границе раздела. Используя сноваформулы Френеля, получимdH- =^ - ( 1 + f)Pu sintfV* dz.(5)Здесь R" = V + I" — длина ломаной линии АС В' (см. рис. 133).
Фаза <ручитывает запаздывание:Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществомПри \z\ « г (2 < О) имеем V = г + ztgtf"sin0,1" =60S2__. УчитываяCOSWзакон преломления sin -в" =81"У и заменяя $' иа в, находим/еПроинтегрировав (5) от - о о до 0, получим поле от диполей, лежащих в области z < 0:Полное поле в точке А равно сумме Н+ + Н-. Интенсивность излучения с частотой и) в телесный угол dd:dl(w,0) = -^^А2 (ш, в) sin2 в dil,Величина А зависит от частоты через е(ш).В нерелятивистском пределе /3 <С 1 получаем(8)ГЛАВА XIVФИЗИКА ПЛАЗМЫ§ 1.
Движение отдельных частиц в плазме844.#2Г1,^\[1 + (п - 1) cos2В нерелятивистском случае имеем для средней кинетической энергии Тв конечном состоянииTf,2n+lrrгрРО845. Для вычисления v^, нужно найти добавку к скорости частицы,обусловленную наличием градиента поля Vff и усредненную по циклотронному периоду вращения. Запишем уравнения движения для поперечнойскорости частицы v i :"ж = ш^х h].(1)Здесь h — единичный вектор в направлении магнитного поля.
В уравнениевходит Н(т) — значение поля в точке, где находится частица. Представимего в видеЯ(г) = Я ( К ) + (г • У Я ) ,(2)где R — радиус-вектор ведущего центра, г — радиус-вектор частицы, отсчитываемый от положения ведущего центра. В первом приближении можносчитать, что ведущий центр не испытывает поперечных смещений за времяодного оборота частицы. Подставив (2) в (1), получим уравнение движениявида^(^ )(3)§ 1. Движение отдельных частиц в плазме607Разложим vj_ на две составляющие — скорость vo = -j^- в однородномполе и малую добавку vi:V J. = Vo + Vi.В поправочном члене уравнения (3) можно заменить величины vj_ и г на v 0и го. Учитывая, чтополучим для vi уравнение^YA = [ V l + v o ( r o - V t f ) ] x n .(5)Усредним обе части этого уравнения по периоду вращения частицы.При усреднении производной dvi/dt получим_dtTс точностью до членов первого порядка по малой величине ViZ.
Усредняяправую часть, найдемv d = vT = - v o ( r o • У Я ) .(6)Величины vo и го соответствуют движению частицы в однородномполе и могут быть получены из уравнения (4). Их можно выбрать в видего = R±(ei sin ОД + егсовОД),vo = и±го х h,(7)где ei и ег — орты, перпендикулярные h и друг другу. Проведя усреднение,получим формулу, приведенную в условии задачи.846. Адиабатическим инвариантом для релятивистской частицы является величина 7М>г Д е 7 =~> М = P±v±/2H — магнитный момент.•уЛ - V2/C?Если кинетическая энергия частицы сохраняется, то 7 = const и ц = const.Последнее соотношение выполняется для нерелятивистской частицы, у которой 7 ~ 1, и в том случае, когда ее энергия не сохраняется.847.F = —и • V # , где и =^ Ц Х Ь — магнитный момент, созда-Ztiваемый вращением частицы.
Это выражение совпадает с правой частьюуравнения (XTV.2), если в ней положить Е = 0, так как из уравнения Максвелла div Н = 0 следует Н div h = —h • V # .608Глава XIV848. si>%[нЩп.849. R: = i -н/нт.850. r =/где го — расстояние ведущего центра до оси ловушки в поле Но, г — расстояние после изменения поля до величины Н. Возрастание поля вызываетсжатие плазмы к оси ловушки.851. Ведущий центр перейдет на силовую линию г = 1,<р =852. Ведущий центр протона движется равномерно по окружностирадиуса г = 2г» лежащей в плоскости экватора, с угловой скоростьюгде 7 — гравитационная постоянная; R > 226 км, Т и 14,9 сек.853.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
