1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 75
Текст из файла (страница 75)
127= ^ ( v / l + 24/3»-1).При /3 —у 0 $о —у к/2; при /3 —> 1 1?о —у 0. Таким образом, в ультрарелятивистском пределе излучение происходит в основном под малымиуглами к направлению скорости частицы. Полагая $ <£. 1, представим ^в виде22dle v4Из этой формулы видно, что ультрарелятивистская частица излучаетглавным образом внутри конуса с углом раствора гр = ^Щ-.Полная интенсивность излучения:т- f dl ^-J du^1-2е 2 г) 2 1+/?7522 4 43c3 ((11--/ й9 )) 'Полная скорость потери энергии:dSdt'2=2^v323Зс ^!-^ ) '§ 2.
Электромагнитное поле движущегося точечного заряда769. Полное тормозное излучение в направленииза все время пролета частицы:dAWdUdtdudt ')9 91б7ГС Т-1COSt?где t? — угол между направлением скорости частицыи направлением излучения п.Наблюдаемая длительность импульса зависит отугла •& между скоростью частицы и направлением излучения:аOp*h Н2п2dt'3m4c5770. -Щ = 2 е? .771.
- ^^ f =y 2 s i n 2 f • При в » у ' 1 - v2lc2Ая~sin 2 t93557Рис. 128неподвижный на-блюдатель, находящийся далеко от электрона, зарегистрирует отдельныеимпульсы излучения, испущенные в те моменты времени, когда скоростьэлектрона направлена на наблюдателя (в пределах конуса с углом раство22ра ф и y ' l — v /c , см. задачу 768). Время между импульсами (рис.
128)г =где Т = 2п8/есН — период циклотронного вращения, 8 — энергия частицы, v\\ = v cos в — проекция скорости на направление поля. Таким образом,вследствие поступательного движения электрона со скоростью иц излучение, испускаемое за время Т, пройдет через неподвижную сферу за время т.Отсюдат9*>4172Z6 ±1АРО/& Т12~ ~dFV ~ 3m c(l - vПри в ^ ф <с 1 будем иметь1=2е 4 Я 2в2558Глава XIIПолярная ось направлена вдоль скорости, азимут а отсчитывается отнаправления ускорения.
Угловое распределение излучения приведено нарис. 129. Излучения не происходит в направлениях, определяемых уравнением 7 ( 1 — § costfj = sini?| cos$|. В частности, при a = 0, тг (рис. 129а),излучения нет в направлении д = arccos^. При а = ^, Щ- (рис. 1296),интенсивность излучения отлична от 0 при всех д.Рис. 129773.228тг т сз2(1-/?2)х2(1 - ^ ) cos D + (0 -— sin tf»9г>пяпЛ2cos a)/(l-/?sintfcosa)42 2е Н 0 (15da =2- (З )где р = %.Начало отсчета азимутального угла а, входящего в подынтегральное выражение, выбрано так, чтобы направление вектора п характеризовалось полярными углами $, ^.
В ультрарелятивистском случае г; и сизлучение сосредоточивается вблизи плоскости орбиты в интервале уг2лов Al? « л/1 - 0 .§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда559774.е/ЗёikRo2тгcostf / * c o s a V ( n Q ' - n / 3 8 i n i ' 8 i n Q ' ) da',ое/ЗёikRo(1)2тг/ * s i n a ' e i ( n Q ' - n / 3 s i n i ' s i n Q ' ) da',где волновой вектор к = п ^ , начало координат — в центре орбиты, ось zперпендикулярна плоскости орбиты, направление к характеризуется полярными углами fl, тг; До — расстояние от центра орбиты до точки наблюдения.ОтсюдаНпа= г-£ikRoи гепеаДоe/32neikRoctgi9J n (n/3sini9),(2)Поляризация излучения оказывается, вообще говоря, эллиптической,с главными осями в направлениях е а и е^ и отношением полуосей Нп$и Нпа, равным/3tgi9 "—.
Направление обхода эллипса определяет-Jn{nf)smv)ся знаком этого отношения. При д = 0 поляризация круговая, при $ = ^ —линейная. При достаточно больших п и /3 линейная поляризация получается также в тех направлениях, которым соответствуют нули или полюсыфункции -у-.Jn775. Наличие высших гармоник в спектре поля объясняется тем,что время распространения поля между равными точками орбиты конечно и сравнимо, вообще говоря, с периодом обращения заряда по орбите,если скорость заряда сравнима со скоростью света с. Вследствие этого,время прохождения через точку наблюдения поля, излучаемого частицейв течение полупериода, когда частица приближалась к этой точке, меньше, чем время прохождения через нее поля, излученного в течение второгополупериода.
Простой гармонической зависимости координат частицы отвремени соответствует, следовательно, некоторая сложная периодическаязависимость поля от времени, изображаемая суперпозицией ряда гармоникФурье.560Глава XIIСледует ожидать, что при /3 —> 0 высшие гармоники исчезнут. Дей-ствительно, при х и 0, п > 0 имеем (см. приложение 3): Jn(x)J^()^.& 9 „ .,Из этих формул видно, что, когда /3 —> 0, существеннылишь гармоники с наименьшим возможным значением \п\ = 1. При этом(ср. с ответом к задаче 732):-"а — -"1а + -"-1а —п776.Если движение по окружности происходит под действием постоянногооднородного магнитного поля Н, тоа=—тпс20777. При решении задачи 774 были получены выражения (2) для п-йгармоники поля излучения от одного заряда. Выражения этих гармоник дляразных зарядов, очевидно, отличаются друг от друга только начальнымифазами.
Обозначив через ipi сдвиг фазы поля 2-го электрона относительнополя того электрона, которому приписан первый номер, запишем результирующее поле в вещественной форме:Выражение для Нпааналогично. Среднее значение интенсивности излуче-ния за период Т = Щ- равно:тСIT(UnN=1.1/тт2 | гг2\J± D 2 J OО~7~ ' 7p I (.-"ntf • -"na/ "-ZHQ all = Dp{0JTuln,§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда561где dln — интенсивность излучения от одного электрона, найденная в предыдущей задаче, a SN — коэффициент, учитывающий интерференцию полейэлектронов («фактор когерентности»):NSN = N + ^^cosn(%l>i — фу).Рассмотрим частные случаи:а) при совершенно беспорядочном расположении электронов на орбитеб) при равномерном расположении электронов на орбите11=11=2{О,ЛГ2,если ^1=1не целое число,если jz — целое число;в) если электроны образуют сгусток, то все разности ipi — ipi> малы.Для не слишком больших п, при которых размер сгустка мал по сравнению с соответствующей длиной волны, можно заменить все cosп(г/>/ — г/1/')в выражении SN единицами.
Тогда SN = N2. С увеличением п фактор SNуменьшается; значение SN при этом зависит от деталей расположения электронов в сгустке и не может быть указано в общем виде.778. Выберем начало координат в центре инерции системы зарядов.Тогда электрический дипольный момент системы)(1)562Глава XIIПоскольку отношения е/тп зарядов различны, то р / 0 и системабудет излучать в основном как электрический диполь (^ -С 1). МгновеннаяинтенсивностьЗс 3 " Зс 3mСогласно уравнению движения зарядов, цг =213, так что / =22efel / eie 2 N 1 г,= —V4— -г- При вычислении средней по времени интенсивKЗс3 V m im2/ r4fкности излучения I = ^ f Idt' заменим интегрирование по t' интегрирова1о...иг2 da ,T.нием по углу а согласно уравнению at = *—-=— (К— момент импульсасистемы) и воспользуемся уравнением траектории.
В результате получим:7779e2NWie2|3|^/m2/AT5V_2^/в!3c 3 Vm!dK=dt2/i|g|a/3c32|g|^ 2 N^е2е^У2e iVmie2 \ 2 Кm2)K3'780. Поступая так же, как при решении задачи 778, запишем вторуюпроизводную дипольного момента в виде:Вычисление А не вызывает затруднений. Для вычисления В нужно знатьpz — проекцию р на направление первоначального движения рассеиваемыхчастиц — в виде функции координат г, а (полярные координаты в плоскости относительного движения частиц). При этом следует учитывать, что2в уравнении траектории относительного движения — 1 + e c o s a = a(e —— 1)/г, угол а отсчитывается от оси симметрии (ось z') траектории. Такимобразом, у' = г sin a, z' = г cos а.
Угол между осями г и г ' равен 7Г — ао(cos ао = j), поэтому г = —г' cos с*о—у' sin ао = — r ( j cos а + ^ ^ — sin a j .§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного зарядаИспользуя (1) и заметив, что sin a — нечетная функция, получим:ОО +ОООО +ОО+2f /"f/" - аЛAjj/eiе2\О —оо2+f cos2 a + (е 2 - 1) sin2 aууfff0 —ооС помощью уравнения траектории выразим cos 2 а и sin 2 а через г и ео2елаем подстановкуи s ds = ^- du. После этого выписанныйи сделаемподстановку ее2 == и,интеграл преобразуется к виду:-14vojг3I [-4 u +( 4 4-2-JI г*V г2гПри вычислении интеграла по du возникает логарифмический член, который преобразуется интегрированием по частям.
Для вычисления внешнегоинтеграла по dr целесообразно сделать подстановку х = ^£, которая при1водит этот интеграл к сумме нескольких S-функций: В(к, I) = /ж* ! ~ 1 (1 —х)rfa:~ r(fc + о •Окончательно получаем:л87Г2В = 0.781. В рассматриваемом приближении v = const, а траектория частицы представляет собой прямую. Пусть движение частицы происходитв плоскости xz параллельно оси z. В этих координатахп = (пх,пу,пг),гдепх = sin fl cos a, ny = sin fl sin а,, r=(s,0,vt'), r = Vs 2 + vH'2,v = (0,0,u).563564Глава XIIт сИз известной формулы v = ^ - , где 8 =с2рс2р&чим v = -^-, /3 = ^, полу-_,.^ - . Согласно уравнению движения частицы, р =Закон сохранения энергии требует, чтобы &+Ц^последнее равенство по £', получим:b6=eie 2 reie2r-v5~~ =Г52Г3eie2r.= const. Дифференцируя1так чтоПодставив найденные выражения в (XII.26), получим:ООооXООГ2 dt'У (5 +л'2)+, с 2O2/,/ 3 ( 1 _ 0242/,) ( 1 _ Пг)42^—ооУ/Интегрирование дает:^Wn=dfi22ТГГНУ334532m c s u(l - /Зп г )[4-3n 2 -n 2 -6/3n z5 Lxz+В нерелятивистском пределе /3 —> 0 и32m 2 c 4 s 3 udfi(4 - Зп 2 - п 2 ) .В ультрарелятивистском случае /3 и 1 иdAWnd f i29m2c4s3sin4f'При i9 ^ y'l — /3 последняя формула несправедлива, и нужно пользоватьсяточным выражением (1).§ 2.
Электромагнитное поле движущегося точечного заряда782.783c3s3v5651--784. Условие применимости формулы (XII.33) выполняется при всехчастотах и>, так как время столкновения г = 0. При рассеивании на твердойсфере угол падения равен углу отражения, поэтому |v2 — v i | 2 = 2usin ^ ,где 1? — угол рассеяния. Угол д связан с прицельным расстоянием s соотношением: s = a sin ^ при s < а. При s > а частица не испытываетрассеяния. Отсюда получаем:а/ s .i n 2 1?Unsdsdw =^AvЗтгс32J/оЩЛи;.Зс 3Найденное дифференциальное эффективное излучение не зависит отчастоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
