1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Из закона сохранения 4-импульса (ср. задачу 675) в предположении hjj\ -С 8Q,следуетОтсюда видно, что жесткий черенковский квант fiw2 распространяется внутри черенковского конуса, отвечающего мягкому черенковскому кванту с частотой LJI . Угол раствора этого конуса при принятой точности определяется условием costfi = C/VQTI{IJJ\). ДЛЯ возникновения жесткого излученияВавилова-Черенкова необходимо выполнение неравенства VQ > c/n(ui),как и в случае обычного черенковского излучения. Это возможно толькопри n(ui) > 1.
Следовательно, один из квантов должен быть достаточномягким. Решая (1) относительно fkj?, получим11 _ ЗДс§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле680Пш =2fig>i[n(g>i)cosdi-l](mc7£o) 2 +2(/jWi/£o)[rc(wi)cosi?i-l]+i?!'Максимальное значение Ни? достигается при i?i = $2 = 0. Частныеслучаи:при §о <С (mc 22[n(wi) - 1],при SQ ^> (тс2)'2'Из последнего выражения видно, что жесткий черепковский квант можетуносить большую часть первоначальной энергии ультрарелятивистскогоэлектрона.681. Угол рассеяния принимает дискретные значения, определяемыеуравнением12/ Tli2По271чгде £ = 1 / -i- + - f + -f, щ — целые числа,у ataiaj683.2+№-2(qc/e0)Энергия tku тормозного кванта принимает дискретные значения при фиксированных значениях угла д, так как передаваемый импульс q = 27rfigдискретен.§ 2.
Движение заряженных частиц в электромагнитномполеdv ,rnvvdv _ р .'ЧИ ^ c2(l-v2/c2)3'2dt~ '>7^fh^^(1 - v2/c2)3'2 atб)2r ^ =F21(l'/ ) '2*приvlF;519520Глава XIB)mf =F.Величины„ о/о и22 32- v /c ) 'шиногда называют продольной2(l-^ /и поперечной массами соответственно.где 7 =686. F =н688.In г, где в = %,г — расстояниеcот точки наблюдения до провода.689.F=^£Решить задачу можно разными способами:а) непосредственно вычислить электромагнитную силу, действующуюна движущийся точечный заряд со стороны линейного заряда и тока (учестьлоренцово сокращение!);б) определить силу в той системе отсчета, в которой магнитное полеотсутствует и воспользоваться формулами преобразования 4-силы;в) воспользоваться конвекционным потенциалом ф, полученным в задаче 668,F = —e6902 \ 2 вГ(1 — ^1 -у^-, где г — расстояние электрона от оси пучка,/ p(r)r dr — ток через круг радиуса г,оn vv = (1 + - ^ т ) (1, )чЩяг — скорость электронов (см.( +,тс ' \2тсVтс2тс '»задачу 591).На поверхностный электрон действует сила12jUa'где о — радиус пучка.§ 2.
Движение заряженных частиц в электромагнитном поле691. Ускорение наружного электрона нормально к оси пучка и к скорости электрона, поэтому в лабораторной системе отсчета имеем (см. ответык задачам 684 и 690):Vn—з2с* Лг;2\21Гт~ mavyg) •Уширение пучкаVnt2VnL2Согласно условию Да <С L, откуда ^ _ <^ v щщ ynt <^ v <C - Таким образом, применение нерелятивистской формулы для вычисления Да оправдано.То же значение Да можно получить, рассматривая уширение пучкав системе отсчета, движущейся вместе с электронами пучка; в этой системена электроны действует только электрическая сила.692. Выберем ось х \\ еЕ.
Дифференциальные уравнения движенияв четырехмерной форме имеют в данном случае вид:2dr2me dr 'dr2'2'drdrme dr'Интегрируя эту систему с начальными условиями:x-y-z-ct-U,f- = 0,dTcdT^ = ^- при т = 0,dT тс-m ,d T-m•где £0 =найдем уравнения траектории частицы в четырехмерном пространстве:срох . \е\Ет\е\Етс^s\е\Еhтс+^\е\Е Vhтс521522Глава XIИз последнего уравнения находимт = - ^ - Inрох + \e\Et +^ЕPOx + fИспользуя это выражение и исключая sh и ch из первого и последнегоуравнений, получим закон движения в трехмерной форме.рох + \e\EtUplnИЕPOx + fz(t) = 0.При po <"ic и ( С- ^ - движение нерелятивистское. Выражения\e\Eдля i , у, г переходят при этом в обычные нерелятивистские формулы равноускоренного движения:По истечении достаточно большого времени с момента начала движения (t »\т^т^т) скорость частицы становится близкой к с (даже если она\с\Е/была мала в начале).
При этом«о—v7и движение становится равномерным. Ход x(t) и y(t) представлен нарис. 11 За и 1136 соответственно. Движение, которое получается при ро у = 0(см. рис. 11 За), принято называть гиперболическим.§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле693.Траектория частицыопределяется уравнением:523х,х =срохВнерелятивистском2ле ёо = тс , ро^тс и\е\ЕУ-преде-^ OПоследнееследуетизтого, Учто \е\Ет — приобретенный частицей импульс — должен быть в нерелятивистском случае мал по сравнению с тс.
Таким образом,х=т\е\Еу*6)S-mc2еЕ'694. 1 =Рис. 113695. Направим ось z || H. Будем исходить из дифференциальныхуравнений движения в четырехмерной форме1:Первые два уравнения удобно записать в виде &-Цйтx + iy. Из последнего уравнения получим^= 0, где и =,.,dpev х Н'Можно исходить также из трехмерного уравнения — =, сделав в нем замеоdtсну р = —^ и воспользовавшись тем, что 8 = const (магнитное поле ие совершает работынад частицей).Глава XIЭнергия частицы не зависит от времени, так как силы магнитного поля несовершают работы. Интегрируя уравнения для и и z, отделив действительнуюи мнимую части и и выразив собственное время г через t, найдем:х = Ri cos(u>2t + а) Нгц- + хо,у = -R! sin(w2i + а) - - ^ + у0,Z = VOzt.(1)Из уравнений (1) видно, что частица движется в магнитном поле по винтовой линии, навитой на силовые линиимагнитного поля.
Радиус этой винтовойcEsлинии равен R = \Ri\, где Ri =Ро± = уРох + Pay Частота обращенияравна ш = |и>2|, где w? = ^£2/1Яи>2cEv2/1где vOzYYж)Рис. 114=\e\Hc 'POzCVol.Очевидно, что R = -^-,где VQ± =e)2/i(знак за-ряда может быть отрицательным). Шагвинтовой линии равен-»— составляющая скорости частицы, перпендикулярная к полю. Прималой скорости частицы 8 = тс2 и\е\НR =и) = тс 'Угол а определяется уравнениями:Pay§ 2.
Движение заряженных частиц в электромагнитном поле525696.сЕуН——лх = asincut(1)у = a(cosujt — 1),2z =^ t+ vOzt,cEvгде а =шВдоль оси z происходит равноускоренное движение под действиемz-составляющей электрического поля. Движение в плоскости ху представляет собою обращение заряда в однородном магнитном поле по окружности,радиус которой а, а центр равномерно движется («дрейфует») в направлении, перпендикулярном плоскости (Е, Н ) .Скорость дрейфасЕ_уВозможные проекции траектории частицы на плоскость приведены нарис.
114. Траектории а), в), д), ж) являются трохоидами общего вида, б),е) — циклоидами. Движеиие будет нерелятивистским, если vo -С с, -£ -С 1пи время t не слишком велико:тсН* ' ~ eEz697. х = ^sin хНт + ^РОжС /тт(cos хНт - 1),,\РОуСу = — — (cos yen т — \) Лz = -7т(сЬ УСЕТ — 1) + ^.тттт- sin yen т,^ sh УСЕТ,ct=p^(chycET-l) + ^i698. а) Пусть электрическое поле Е || у, магнитное поле Н || z (в системе S). В начальный момент t = 0 частица находится в точке х = у == z = 0 и обладает импульсом ро. Движение имеет различный характерв случаях Е > Н и Н > Е.
В первом случае существует, как это следует из вида инвариантов поля Е • Н = О, Е2 — Н2 > 0, такая система526Глава XIотсчета S", в которой отсутствует магнитное поле. Из преобразований Лоренца для поля видно, что система S" должна двигаться относительно Sпараллельно оси х со скоростью V = Щ- (см. задачу 603). Интересующиенас уравнения движения частицы в S получаются из уравнений движениячастицы в однородном электрическом поле Б ' с помощью преобразованийд— и т. д.
При этом Е', р'Ох, р'о , p'Oz должны быть^/1 — V2/c*выражены через величины без штрихов. В результате получим:Лоренца: х =Е(ср0хЕ-ё0Н)2Я)Н(ё0Е-ср0222тс(Е - Я )3е(Е - Я ) /^—^2}/Е2 - Я(1)2mПри Я > Е преобразование от системы отсчета, в которой имеется только магнитное поле, приводит к результатам, отличающимся от (1)только заменой Е на Я . При выполнении такой замены нужно учитывать,что sh га = г sin а, ch га = cos а.
Случай Е = Я можно получить из написанных формул предельным переходом Е —> Я . Результат:сро/+^2ерътmи т.д.Решение для случая б) аналогично решениям задач 692, 695.§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле527699. Т = тс2 (Ф- — 1J, откуда, например, в случае, рассмотренномв задаче 697, получим:me2.Т = &0 ch хЕт + cpoz sh хЕт -700. Исходя из результата задачи 603 и вычисляя ^ с точностью допервого порядка по %, получим — = —у.
Схема решения — как в задаС£1Мче 600. Во всех вычислениях нужно пренебречь малыми членами второгоЕ Егvoи более высоких порядков по -£, -£•и —. Окончательно найдем:ММсх = asinutt + -^(coswf — 1) + c~s~tiу = a(cosu>t — 1) + -^j- sinwf,z =eEzt22m(1)+ vOzt,гдесЕуи u> = meu>В начальный момент t = 0 частица находится в точке х = у = z = 0.В формулах (1) содержится, в частности, результат задачи 696.a =701. Выберем ось х вдоль направления распространения плоской волны. Тогда поле волны будет полностью характеризоваться двумя функциямиот t', например, Ey(t') и Ez(t'):E[0,Ey(t'),Ez(t%H[0,-Ez(t'),Ey(t%Из уравнений (XI.
19) сначала получим, что t' = т, затем найдем уравнения движения частицы в параметрической форме:тy(r) = ^ Jpy dr,t(r) =,dT528Глава XIтгде рх = е f E(i') = eypy+ezpzокости Е, Н.— составляющая импульса частицы в плос-702. Координаты частицы:х = хо cosuit,у = уо chuit,z = vt,Из полученных зависимостей x(i) и y(i) видно, что с помощью линзырассматриваемого типа может быть сформирован пучок заряженных частиц,имеющий форму плоской ленты.miПервое и третье из этих уравнений имеют вид обычных уравнений движения Ньютона (но с переменной массой — m). При этом в правойчасти первого уравнения содержится членm r a—, не зависящий от ви-у/1 - V2/C2да электромагнитных сил (центробежная сила). Второе уравнение выражаетпроизводную по времени от момента импульса частицы относительно оси zчерез z-составляющую момента силы Лоренца.704.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
