1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 72
Текст из файла (страница 72)
При Н = 0 траектории электронов прямолинейны. По мере увеличения магнитного поля траектории все больше искривляются в плоскости, перпендикулярной оси. Введем цилиндрические координаты г, a, z,где z совпадает с осью цилиндра. Электроны перестанут попадать на анод,когда при г| г _ ь = 0. При этом с*| г _ ь = ^ j ~ - Воспользуемся вторым изуравнений в ответе к задаче 703, которое в данном случае принимает вид:d§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном пале529Проинтегрируем (1) вдоль траектории частицы от г = а до г = 6:6тг2а2nHrdr=-2жсОтсюда2тгс6Ртах[1 + —2=),(2)если воспользоваться результатом задачи 621 и тем, что T m a x = \e\V.При малой разности потенциалов \e\V <C тс2 (это эквивалентно тому,что v <С с), результат (2) упрощается:(3)Фкр = 27ГС&705.
Разность потенциалов V должна быть больше, чем„2 Ь , т2с4аа+—2тс2п~-При | e | V <C ттгс2 (нерелятивистские электроны) получаем из общейформулы:ттгсРос 2m v o706. fc =708. Воспользуемся цилиндрическими координатами г, а, начало которых совпадает с зарядом Ze и полярная ось направлена вдоль моментаимпульса частицы. Тогда движение происходит в плоскости z = 0, причем гбудет представлять собой расстояние между зарядами — е и Ze. Первые двауравнения в ответе к задаче 703 примут вид:mfd ( mr2a \ _ Q«ttWl-wVcVmra*22- v /cZe2(1)530Глава XIИз второго уравнения следует, что момент импульса является интеграломдвижения:тг2аV'l - u 2 / c 2= К = const.(2)Другим интегралом движения является полная энергия системытс,2- v2/c2Ze2 = ё = const.(3)гИз выражения (3) видно, что возможны траектории двух основныхтипов.
При больших значениях г полная энергия 8 = тс2 + Т (Т — кинетическая энергия), поскольку при г —> оо потенциальная энергия Щ> 0.Так как Г > 0, то при Е < тс2 частица не может далеко отойти от притягивающего центра и ее траектория заключена в ограниченной области(финитное движение). При Е > тс2 существуют ветви траектории, уходящие на бесконечность (инфинитное движение).Найдем дифференциальное уравнение, которым определяются траектории частицы.
Из (2) следуетА = кУ^У* аmr2dt(4)кda''Подставляя (3) и (4) в первое из уравнений (1), получим дифференциальное уравнение траектории частицы:d2 П\,(Л_Ze2e„2ЛгдеИнтегрирование этого уравнения дает при2 2РКсР=2Ze §2 4Ze'где £ — постоянная интегрирования. Вторую постоянную интегрированияможно исключить соответствующим выбором начала отсчета угла а, а величину £ выразить через § и К. Траектории симметричны относительнооси х (а = 0).§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном пале531Рассмотрим подробнее случай р < 1.
Как видно из (6), в этом случаечастица не приближается к центру ближе, чем на расстояние гт[п =*_ ,если принять что е > 0. В формуле (6) начало отсчета угла а выбранотак, что г = гт\„ при а = 0. Частица может многократно проходить наРис. 115расстоянии гтт от центра. Во всех таких точках г = 0 и скорость направленаперпендикулярно к радиусу-вектору г. Поэтому К ="""—. Исключаяу/1 — V2/c?отсюда и из уравнения (3) 8 =7ПС— — ^гт- величину v и используявыражение гтт через е, найдем:(7)Из (7) видно (р < 1), что при 8 < тс2 параметр е < 1. Движение при этом финитно и траектория «эллипсовидна» (рис.
115). Она име-532Глава XIет вид незамкнутой, вообще говоря, розетки, заключенной между окружностями с радиусамиР•• ,;.. Ее можно получить путем вращения(прецессии) нерелятивистской эллиптической траектории в своей плоскости. Полное колебание величины г от минимального значения гтт = 1 + еР (апогей) и обратно до(перигелий) до максимального значения Гщах = _нового минимума происходит при возрастании а2тгна;. Перигелий орбиты, таким обра2у/1 — г hoзом, за один период изменения г поворачиваетсяна угол 2тг( ^ ^ =). Если у/1 — р2 пред2\у/1- р -1>ставляет собой рациональное число, то посленекоторого числа оборотов траектория замыкается на себя.При 8 > тс2 параметр £ > 1.
Движение инфинитно и траектория «гиперболовидна»(рис. 116). Она имеет две ветви, уходящиена бесконечность при а = ± а о , где ао =arccosI(-1)-. Частица, приближающаяся к за-ряду Ze по одной из этих ветвей, может совершить вокруг заряда несколько оборотов, раньшечем уйти от него на бесконечность по другойветви.2Случаю 8 = тс отвечает е = 1. Движениев этом случае также инфинитно, а траекторияРис. 116«параболовидна».При р < 1 рассмотренные траектории переходят в обычные эллипс (е < 1), гиперболу (е > 1) и параболу (е = 1) нерелятивистскойкеплеровой задачи. Это естествеино, так как при ^ <С 1 выполняется условие р <£. I.
11Можно произвести такую оценку величины р в нерелятивистском случае:Р=2ЖmvcПо теореме вириала \U\ = 2Т as mv , так что р ~ ^ < 1.§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном пале533709. Решение уравнения (5) предыдущей задачи в случае р > 1 удобнее записать в следующем виде:Piг =(1)- 1 + ei ch •гдеPi =-К2с2Ze28Траектории, описываемые уравнением (1), имеют вид спиралей, закручивающихся вокруг начала координатпри а —* ±оо.
Частица падает на силовой центр (в нерелятивистском случае падение на центр возможно толькоРис. 117при К = О, р = оо). При 8 > тс2 параметр £i < 1 и траектория имеет две ветви, уходящие на бесконечностьпри а =где ао = — ; = = arcch ^- (рис. 117). При 8 <гш?, пара-метр £i > 1, и траектория имеет вид, изображенный на рис. 118.В случае р = 1 решение вида (1) неприменимо и дифференциаль2/1ное уравнение траектории должно бытьпроинтегрировано заново.
Результат интегрирования:г =2Ze28)(3)Рис. 118Траектория также представляет собой спираль, закручивающуюся вокругцентра при а —> ±оо, но медленнее, чем в случае р > 1. Общий характертраектории такой же, как в случаях, изображенных на рис. 117, 118.710. В случае ^< 1г =— 1 + £ cos aV ^v534Глава XIгдер=—е =Ze4- т2с2{К2<?Ze2S- Z2e4)Траектория имеет гиперболоподобный характер (рис. 119).Две ее ветви уходят на бесконечность при а = ± а о , гдеао =/1"сZe2 <C 1 частица движется по гиперболе. Этот слуПри =j£чай отвечает нерелятивистскому движению, v <с с (см.примечание на стр.
530.Рис. 119В случае ^ - > 1.Vг = —где £ < 1. Характер траектории такой же, как в первом случае. Две ее ветвиуходят на бесконечность прн= ±-1В случае ^ - = 1,г = <f2(l-a2)-m2c4'Ветви траектории уходят на бесконечность при2а =-§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле535712. В случае ее' < 0 (притяжение):а|е2-1|г = 1 + е cos а 'гдеа =/•*== цг2 а. — момент импульса,= Щ- +полная энергия частицы, г, а — полярные координаты.
Траектория частицы представляет собойконическое сечение: при § < 0 — эллипс (е < 1), при § > 0 — гипербола,во внутреннем фокусе которой находится заряд е' (г > 1), при 8 = 0 — парабола (г = 1).В случае ее' > 0 (отталкивание):а(е2-!)г = — 1 + £ COS Q "В этом случае § > 0 эксцентриситет е > 1,и траектория представляет собой гиперболу сзарядом е' во внешнем фокусе.713.
Дифференциальное сечение рассеяния может быть вычислено по формулеsds(1)где в — угол рассеяния частицы, соответствующий данному значению s-параметра соударения (прицельного расстояния). Связь s и вможет быть найдена из уравнения траекториичастицы (см.
задачу 712). В случае притяжения (ее' < 0) cos a > — ^. Угол а меняетсяот —осп до осп (рис. 120) при прохождении чаРис. 120/,\гис.izuстицей всей траектории [ cos QO = —j\- Угол рассеяния в дополняет уголмежду асимптотами гиперболической траектории до тг. Из рис. 120 видно,что£ = - £ + о, откуда ctg 2 | = . 2)- 11 == е 22 - 1 =^- 11 ==sin (0/2)cos28К2 . Момент импульса выражается через прицельное расстояние sте2е12536Глава XIформулой К = mvos.
Таким образом,2sе 2 е' 22 в2 _ е е ritr —— 2 4 ° о"Дифференцируя и подставляя в (1), получимЭто — известная формула Резерфорда. Тот же результатпри ее' > 0.получается714. В случае ее' < 0 (притяжение):2сК2222244- Л7 — \/с, К 2сК- Ze2222У/Сс2КК -ZZ ee/Vc A: где vo — скорость заряда при г —» оо.В случае ее' > 0 (отталкивание):v0y/c2K22 A2cZecZe 2715. Малым углам рассеяния отвечают большие прицельные расстояния s.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
