1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Возводя обе части равенства в квадрат, будем иметьНо к% = 0, а инвариантная величина, стоящая в правой части, не равна нулюни при каких значениях р+, р _ . Это становится очевидным, если перейтив систему отсчета, в которой р + + р _ = 0.656. v =657. По закону сохранения 4-импульсаf?№(1)Чтобы определить угол рассеяния первой частицы, перенесем рц налевои возведем обе части получившегося равенства в квадрат:+ъ№№ - rfi* - 2Р^РН=РЪ.(2)508Глава XIСогласно (XI.7), р ^ 2 = р 2 4 = —т\с2, р ^ 2 = р|» = -т^с2.
Скалярныепроизведения преобразуются следующим образом (р^ = 0):Pi - \40)#1= Р0Р1 сов*! -где ро = \ \J8Q — m\(£. Подставляя полученные выражения в (2), найдем:— т\с4с popiАналогичноС РоР2658.(70 + Ш)±(2)^r)~-(7o2-l)cos2tf2где7o =Soйmi<rИз этих формул видно, что при mi > m 2 возможно рассеяние толькона углы i?i, не превышающие a r c s i n w ^ (подкоренное выражение в (1)должно быть положительно). При этом каждому значению i9\ отвечают двазначения энергии <?ьПри mi = т г угол рассеяния $i не превышает ^ и каждому значению i?i отвечает только одно значение энергии, соответствующее выбору§ 1. Энергия и импульс509знака «+» в формуле (1).
Знаку «—» отвечало бы значение @\ = т\<? независимо от угла рассеяния, что, очевидно, не соответствует действительности. По аналогичной причине в числителе формулы (2) для §2 оставлентолько знак «+».При mi < "i2 возможно рассеяние на любой угол и каждому значению д\ отвечает одно значение ё\. Если 0 < i?i < ^ , то в формуле (1)нужно выбрать знак «+», если ^ < д\ < тг, то нужно выбрать знак «—».При таком выборе знаков рассеянию налетающей частицы на больший уголсоответствует большая потеря энергии, как и должно быть.659.
gts^.660.661. T l =662.T2=4mi7Tl2 „2о0 0 1 57^O»2(mi + ТП2)Правило знаков сформулировано в решении задачи 658.663. Угол разлета частиц х = $1 + ^2 выражается формулой:¥-v[ Sin2!?' + (V - t/,)(l - COS!?')с(ср. с задачей 568).510Глава XIПри т\ = 7П2 скорости v[ = v'2 = V иВ этом случае х < 90°. В нерелятивистском пределе \ —* 90°.664. Поступая так же, как при решении задачи 657, получим:woш=где i9 — угол между направлениями движения первичного и рассеянногофотонов»; д\ — угол между направлениями начального движения электронаи движения фотона после рассеяния.Если электрон до столкновения покоился, то^ ( 1 -0080)тс665.
Энергия рассеянного кванта максимальна при i9o = i? = тт. $i = 0,т. е. при лобовом столкновении с рассеянием кванта назад. При этомт(тс)•(1)Из (1) видно, что в ультрарелятивистском случае происходит значительное «ужесточение», кванта, ho > fooo. Отметим два частных случая.При fiu>o < тс2 (^-)формула (1) дает: ё0 » Ни = 4Пи0 (-^Л»\ е>о /\ тс /Пи0.2Если же fkJo > me ( ^ - ), то fiw приближается к (?о\ ©о666./(? - So = fkj0—sa—4:—r^^—^- Обозначения©о — poccos Wi + hwo(l — cos w)углов те же, что в задаче 664. Покоившийся вначале электрон при столкновении с фотоном всегда увеличивает свою энергию:2тс + fkj(l — cosi?)511§ 1.
Энергия и импульсЕсли электрон обладает до рассеяния импульсом ра » huj/c, то его энергияувеличивается при рассеянии, если t?o < i?i, и уменьшается в противномслучае. Максимальное ускорение электрона получится при $о = 0. *? == 1?2 = 7г. При этомg -gQ=+ Рос +Если электрон нерелятивистский, но рос » ftu>o, то § — SQ 2hu)o(vo/c) <?C<?С hu>o- Если электрон ультрарелятивистский, то S — <§b fi и условияускорения электрона оптимальны.Рис. 1082222667. s = 4(m + g ), t = - 2 g ( l - costf), и = - 2 g ( l + costf).6 6 8где'^ =Pa =А(ж, у, z) = х2 + у2 + z2 - 2ху - 2xz - 2yz.Глава XI512Поскольку в системе ц. и. р а = —рь, то величина s имеет смысл квадратаполной энергии в этой системе отсчета:669.
gc = JL-670cos0 =( s~W°y/X(s, ml, ml)^\(u, ml, ml)n, _ s 2 + a(2t -mj-mj-mlml) + (ml - ml){ml - ml)y/X(s, ml, ml)y/X(s, ml, m?d)Здесь с = 1,л величина Л определена в ответе к задаче 668.-1-1Рис. 109671. Величина s = (§'ж + <§£) имеет смысл квадрата полной энергии двух частиц в системе ц. и., поэтому она всегда положительна. Минимальное значение s m i n = (m + М)2 соответствует случаю, когда 7г-мезон(масса т ) и протон (масса М) покоятся в системе ц. и. Таким образом, ( т +2+ М ) < s < оо.§ 1. Энергия и импульс513Косинус угла рассеяния в1 в системе ц.
и. связан с s и t формулойCOS0' =s 2 + s(2t - 2 М 2 - т 2 ) + М2(М2(s -- т2)- 2s(M2 + т 2 ) + (М2 - т 2 ) 2(1)Поскольку — 1 < cos0' < 1, то, подставляя в это двойное неравенство cos0'из (1), найдем допустимые при заданном s значения t.Физическая область заштрихована на рис. 108.
Порогу реакции отвечает точка А, причем sA = (М + т)2, tA = — Г)±2M'•2 M ( M + m)672. Искомые области изображены на рис. 109.673. Разрешенные области для первых двух процессов изображены нарис. 110а, для третьего — на рис. 1106.Рис. ПОМожно построить одну кинематическую диаграмму для всех трех процессов, рассматривая их как три возможных канала одной реакции, в кото-514Глава XIрой участвуют два нуклона и два мезона. Начальные и конечные состояниямезонов и нуклонов в рассматриваемых каналах различаются энергиями,импульсами и зарядами .Для построения диаграммы (рис.
111) проведем три прямые, на которых соответственно s = О, i = 0 и и = 0, таким образом, чтобы они,пересекаясь, образовывали равносторонний треугольник с высотой h = s ++ t + и = т „ + ml + т* + т^ (с = 1). Значениям s = SQ = const будетсоответствовать прямая, параллельная оси s = 0 и отстоящая от нее на расстояние |so|. Эта прямая должна проводиться с той же стороны, с которойнаходится треугольник, если so > 0, и со стороны, противоположной треугольнику, при so < 0.
Аналогично строятся линии t = const и и = const.Рис. 111В результате на плоскости построена косоугольная система координати любой точке плоскости сопоставлены три числа s, t и и, положительные или отрицательные. Сумма этих трех величин удовлетворяет нужномуусловию (XI. 14). Чтобы в этом убедиться, возьмем произвольную точку Dи опустим из нее перпендикуляры на стороны АВ, ВС и АС или их про'А также еще некоторыми характеристиками, изучаемыми в квантовой теории.515§ 1.
Энергия и импульсдолжения. Поскольку площадь ABC = площади ABD— (площадь BCD++ площадь ACD), тог» ATni/ПЬ"U„2| „2| „2| „2/i\Ь Ш - VIS - UK = h. = тпа + тпь + тпс + md.{!)Но -DN = s, -Dk = t, DM = и, откуда и следует (XI. 14).'/(/////////////А•К +7Г ->P+P//JРис.
112Для нашей цели удобно несколько изменить определения s, t и и посравнению с (XI. 13). ПустьS = (Раг + Phi)2,t=(pai+рЫ)2,U=(pai+pdi)2,(2)где для частиц, исчезающих в результате реакции, %ц = (—£, —р), а длячастиц, рождающихся в реакции, щ = (§, р). Это правило знаков соответк а ки вствует тому, что J2 Раг = 0>случае распада. Припишем индексы оаи b мезонам, а с и d — нуклонами. Тогда для канала в) pai = (—§а, — р а ) ,516Глава XIРы = ( - * ь , - Р ь ) , Ры = (*с,Рс), Pdi = (ed,Pd); s = (8'а + 8'ь)2 = (8'с +2+ &'d) > 4 М ; допустимые значения t получаются из условия | cos0'| < 1.Граница физической области дается уравнениемш 2 ) 2+ 2(М2 + m2) > 4М2(3)и представляет собой гиперболу с асимптотами t = 0 и и = 0 (рис.
112).В случае канала а) полагаем pai = (Sa, -Ра), Ры = (-&с, - Р с ) . Ры == (<§&,Рь), Pdi = {@d,Pd)- Физическая область ограничена прямой s = Ои гиперболойs = -t -( М 2~ Ш 2 ) 2 + 2(М2 + m2),f > ( M + m)2,которая является второй ветвью гиперболы (3).Аналогично строится физическая область для канала б). Как видно изизложенного, полученная диаграмма очень похожа на диаграмму Далицадля трехчастичного распада (см. задачу 646)Сходство обусловлено тем, что в обоих случаях в процессе участвуют4 частицы, 4-импульсы которых в силу закона сохранения связаны условием pai + ры + ры + Pdi = 0- Из 4-импульсов частиц с учетом того, чтопри заданных массах всех частиц m 2 = p2li и т. д., как нетрудно убедиться,можно составить только 2 независимых инварианта, например s = (pai ++ Pd)2.
Поэтому для изображения таких процессов требуется двумерноепространство (кинематическая плоскость).675. Если частица, двигавшаяся с 4-импульсом рог, испустила в среде фотон с 4-импульсом ki = ( ^ p ) i ^ f ) . то законы сохранения энергиии импульса могут быть выражены 4-мерным равенствомPoi=Pi+kuгде pi — 4-импульс частицы после излучения фотона. Перенесем ki налевои возведем обе части получившегося равенства в квадрат. После элементарных преобразований получимгде Л = ^— комптонова длина волны частицы, А = =^ — длина волныфотона, Р =%• Второй член, равный по порядку величины ^, обычно очень§ 1.
Энергия и импульс517мал. Если опустить этот член, выражающий квантовые поправки (Л пропорциональна К), то выражение (1) сведется к классическому условию излучения Вавилова-Черенкова:cosi? = — .677. Обозначив через ро* и Pi 4-импульсы частицы до и после излучения, через ki — «4-импульс» фотона, напишем закон сохранения энергиии импульса в видеPOi-ki =Pi.Возводя обе части этого равенства в квадрат и отбрасывая член с ft2, получимгде т о — масса возбужденной частицы, m — масса частицы в нормальномсостоянии.Представим разность с2(тп1 — т 2 ) в виде с 2 ( т о — т ) ( т о + т ) ии 2Йо;от.
Тогдап(ш)0совд = 1-^-у/1^,(1)где 0 = 1При wo —> 0 равенство (1) переходит в условиевозникновения излучения Вавилова-Черенкова. Это излучение не связано,таким образом, с изменением внутреннего состояния частицы.При UJQ ф 0 перепишем (1) в виде=1-п(ш)0сав4Формулой (2) описывается эффект Допплера в преломляющей среде(ср. с задачей 516). Она применима, если 7i(a>)/3cosi9 < 1 и отличаетсяот соответствующей формулы, описывающей эффект Допплера в вакууме,только наличием п(и>) в знаменателе. При /3 <С 1 никаких качественноновых явлений не возникает, но при /3 « 1 и при наличии дисперсии в средеявление усложняется.В общем случае формула (2) представляет собой нелинейное уравнениеотносительно и> (п — функция и>\) и может иметь более чем одно решение.При этом вместо одной смещенной линии, как в обычном эффекте Допплера, в лабораторной системе будет наблюдаться несколько линий (сложныйэффект Допплера).518Глава XI678.
Поступая так же, как при решении задачи 677, получим следующие результаты.Излучение частоты и, сопровождаемое возбуждением частицы, можетвозникнуть, если скорость v = /Зс движения частицы превосходит пороговое значение , ч с — - (д — угол между направлением скорости частицыn(u)cosvи направлением импульса фотона). Необходимая для этого энергия заимствуется из кинетической энергии частицы.
Излучение такого типа наблюдается при фиксированном значении и только в некотором интервале острыхуглов ?9 внутри черепковского конуса, поверхность которого определяетсяуравнением n/?cos?9 = 1. Наблюдаемая частота ш связана с углом д и величинами /3, п(ш) формулой1],щш)р cos v —представляющей собой, как и в случае задачи 582, уравнение относительно и. Это уравнение допускает, в общем случае, несколько решений (сложный сверхсветовой эффект Допплера).679. Обозначим через ?9i угол между начальным импульсом электрона ро и направлением распространения мягкого кванта, а через $2 — уголмежду ро и направлением распространения жесткого кванта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
