1612045805-a85de2ddcb86b4ae815cf3afb89c59f8 (533736), страница 74
Текст из файла (страница 74)
- ^ = -Дг{р 2 (1 - sin 2 дcos2 a) + m 2 sin 2 tf + mpsintfsinai;«"4тгс/ = —jip 2 + го2)- Здесь использована система координат, ось х которойОСнаправлена вдоль р, а ось z — вдоль т . Дипольные моменты в обоих случаяхимеют значенияр = ро cos wot,m=где ро = Qod, mo = nlPqoWo/c, qo — максимальный заряд одной из обкладокконденсатора, определяемый условием возбуждения системы, d — шириназазора, R — радиус проволочного кольца в случае а) или цилиндрическойоболочки в случае б).Усреднив интенсивности излучения по периоду колебания, получим744. Дипольные моменты системы равны нулю, электрический квадрупольный момент имеет одну отличную от нуля компоненту Qzz (еслинаправить ось z вдоль ро).Вследствие этого вектор Q будет параллелен оси z и равен Q(t') == Qo cosflcoswt'ez при соответствующем выборе начала отсчета времени,здесь Qo = 2роа.Удобно проводить вычисления в комплексной форме, воспользовавшись выражением (2) из решения задачи 741 и спроектировав Z на осисферической системы координат.
Отделив вещественную часть, получимв результате:на =£ _ М) s i n M _кг) _ М2.c o s M _^ - f ) cos(^ - kr)+ (£ - М) M u t _ кг)]где Qo = 2роа.547§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям745. Выберем координатную систему, как показано на рис. 122.
Распределение тока в антенневыражается формулой£)] е-*"*= .*, sinгдес~~~Г'Электрический дипольный момент единицы длины антенны Р = ^J, согласно (XII.9).Элемент d£ антенны можно рассматривать какэлектрический дипольный осциллятор с моментом dp = Pd£. Поскольку выполняется неравенство d£ -С А, то создаваемое элементом d£ в точке А магнитное поле можно вычислить по формулам (XII. 17) и (XII.20):dHo(ro,t) = -±fРис. 122гдег = го — £ cos д.Так как мы интересуемся только полем в волновой зоне, то величину S 1 " ,которая мало меняется в области г > I, можно вынести из-под знака интеграла. Таким образомнг = нЁ = о,22Выполнив интегрирование, найдем угловое распределение по формуле 4= -Z-T* "2тгсsin ??2тгсsin2??du2при m нечетном,при т четном.548Глава XIIХарактер углового распределения виден из полярных диаграмм, приведенных на рис.
123. Штриховой линией показано распределение тока по длинеантенны, сплошной — угловое распределение излучения.Оm= 4746._а2I = -^-[1п(2тгт) + С - Сг(2тгт)],R = 2 ^ = -[1п(2тгт) + С - Ci(2irm)].J?oс747.2тгс(1-costf)2Anl/X J«где A = =jf- — длина излучаемой волны, i? полярный угол, отсчитываемыйот координатной оси £.Легко убедиться, что бегущая волна излучает интенсивнее, чем стоячаяволна с теми же значениями /, A, Jo748.
Если расстояние г точки наблюдения A(ro,fl, а) (рис. 124) отпетли велико (г » а), то можно считать, что радиусы-векторы г от всех эле-549§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполямментов кольца d\ параллельны, причем г = го —a cosip = го—а sin?? cos(a' —— а ) (см. задачу 1). Элемент d\ обладает электрическим дипольным моментом dp = Pd\ = ij<?dl, где через Р обозначен электрический дипольный момент единицы длины провода, и создаетв точке А магнитное поле (см.
(XII.20):z,0,2 dP(t')dH(ro,f) = —2"_—-Шп ^0о '=-iut+ikrо-iakBin•всов(а'-а)1<Г,'"ТX ПГох sinna'[cos(a' — a )+ cos$sin(a' — a ) e a ] da'.В знаменателе последнего выражения пренебрегаем величиной порядка а по сравнениюс го. Этого нельзя делать в показателе степени, так как величина ак, вообще говоря, не малаРис. 124и существенно влияет на фазу.Задача нахождения поля сводится к интегрированию:7ГfГоintf cos(a'-a)JВыражение для На отличается от выражения Щ заменой в предэкспоненциальном множителе cos(a' — а ) на sin(a' — a ) .Вводя переменную интегрирования /3 = а' — а, получим:7Гг0(cosna\Jfcos/3smn/3e-ika8ia{>CO80d/3+sinnaПервый из интегралов, стоящих в скобке, обращается в нуль вследствиенечетности подынтегральной функции, второй может быть преобразованк промежутку 0, тг (четная подынтегральная функция) и выражен через550Глава XIIпроизводную от функции Бесселя (см.
приложение 3). Таким образом,771= -ЕаПутем=аналогичныхлы Jn-l(x) + Jn+l(x)• —егоv2 /вычислений= ^rJn(x),сsin па Jn{ka sin i9).использованиемформу-ПОЛуЧИМHa(ro, t) = Е$ =cos na-749.8TTC 3COS77где i9, a — полярные углы, характеризующие направление излучения (см.полярные диаграммы на рис. 125). Опережающий осциллятор расположенвыше по оси z.«=*О, РоРис. 125750. Так как j = р\ = р^, то (jx,jy,jz)-» (~jx, -jyJz),при этомотраженные токи вычисляются в отраженных точках: j x ( r ) = —j'x(r') и т. д.Аналогично, используя обычные определения и формулы (XII.
1),(XII.2), записанные в декартовых координатах, получим: (px,Py,Pz) —*-> (-Px,-Pv,Pz),(Qx,Qv,Qz)-» (~Qx, -Qv, -Qz), (mx,mv,mz)-»—> ( m x , m y , — m z ), (Ex,Ey,Ez)—> (—Ex,—Ey,Ez),(Hx,Hy,Hz)—>§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям551751. Граничные условия Нп = 0 и ЕТ = 0 на поверхности (z == 0) проводника выполняются — это прямо следует из результатов задачи 750.
В частном случае электрического дипольного осциллятора электромагнитное поле в полупространстве z > 0 совпадает с полем электрического дипольного осциллятора с моментом р = 2ezf(t)sin<po. Онообращается в нуль при ipo = 0 (диполь параллелен плоскости) и максимально при ifo = -Jr (диполь перпендикулярен плоскости). Полная энергия,излучаемая в последнем случае в полупространство z > 0, вчетверо превышает энергию излучения такого же осциллятора, находящегося вдали отпроводящей плоскости.752.Ел = Ha = — -3— cos 2$ cos a cos wr,2c rqEa = —HA =—cost? sin a cos wt',2c3r753. б ) Я г = 0,F^ MF755.1=0drdrПоля Е и Н выражаются отсюда по формулам, полученным в задаче 753.
Для нахождения углового распределения излучения нужно воспользоваться асимптотическим выражением сферических функций Ханкеля552Глава XII(см. П3.19). При этом получится:На = ikjp- = F ( i 9 ) — = E#,гдеdr/=оdrdPi(cosd)dd'dl„2 _ сГ^§ 2. Электромагнитное поле точечного заряда,движущегося произвольным образом756. Потенциал <р поля частицы выражается интегралом:s\r'-ro(t-§дгде Л = |г — г'|.
Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой / / ( R i ) J ( R i ) ( d R i ) = /(0) (см. приложение 1). Перейдем в интеграле (1) к новой переменной R i = г' — го (t — ^ J. Якобиан преобразованияОт'=1-v RcR '(2)В новых переменных интеграл (1) принимает вид:R1=0§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного зарядаУсловие R i = 0 означает, что в правой части этой формулы все величины относятся к точке г' = го и — т П . в которой заряд находился в ретардированный момент времени t' = t — ^. Вычисления в случае векторногопотенциала выполняются аналогичным образом.757.п=0(-1)"71=0где Яо = |г - r o ( t ) | ; A(r,t) = е Vу*' " ™"°n=o cn+1nlпп\сndt'.
Все величиныatв правых частях этих равенств берутся в тот же момент времени, что и в левых. Запаздывающее взаимодействие формально сводится к мгновенному.Полученными разложениями можно пользоваться при достаточно медленном (v <C с) и плавном (ограничены ускорение и его производные всехпорядков) движении для не слишком больших R.760. При малых v/c формулы (XII.25) принимают вид:w- erг3И =e r+ 3(r'v)crAevcr*,erx(rxv)cVev х г , ev x гcr3Здесь г — расстояние от какой-либо точки области, в которой происходитдвижение заряда, до точки наблюдения.Первые 3 члена в выражении Б и первый член в Н пропорциональны 1/г и преобладают на сравнительно малых расстояниях от заряда (в квазистационарной зоне). Электрическое поле в этой зоне сводится в основномк кулонову полю Е = ^ | ; магнитное поле описывается формулой Био-Савара Н =e vг* . На больших расстояниях от заряда (в волновой зоне)сгдоминируют последние члены в Б и Н, убывающие по закону 1/г.
Эти553554Глава XIIчлены описывают поле излучения и имеют вид:en х (п х v)Ь=evxn'оИ=1огде п = ^.Положение границы квазистационарной и волновой зон определяетсяусловиемоткудаесли учесть, что |v| ~ ^-, где а — величина порядка размера той области,в которой происходит движение заряда.1.762.
а) Порция энергии — dS, излученная частицей внутри телесногоугла dQ за время dt', проходит мимо точки наблюдения поля в течениепромежутка времени dt. Следовательно,-dt'du=ц!ЩdudtВоспользовавшисьравенством t = t'+^,и заметив, что ^ =от= —п • v, где п = ^ , получимноткуда окончательноРис. 126dt'duб) энергия, излученная зарядом в течение промежутка времени dt', заключена между двумя сферами. Первая из этих сфер имеет центр в точке О,где заряд находился в момент t', вторая — в точке О', где он находился в момент t/ + dt' (рис. 126).
Радиус первой сферы R, радиус второй R + cdt'.§ 2. Электромагнитное поле движущегося точечного зарядаРассмотрим элемент объема dV = dSdR= R2du(c— n • v)dt'. В этом2/г2(rpобъеме заключена электромагнитная энергия dW = у - dV = ^j— f 1 —— ^jr^- )R2dQdt'. Отсюда для скорости потери энергии — ^ — = ,/at allat allполучим значение, приведенное выше.£г\об2е3m 2 c 35где v — скорость частицы в момент t'.767. Сравним скорость потери энергии частицей в двух системах отсчета: мгновенно сопутствующей So, в которой частица в данный моментвремени покоится, и лабораторной S, в которой частица имеет скорость v.В системе So излучение имеет электрический дипольный характер, поэтомучастица в So не теряет импульса. Это следует из центральной симметрии углового распределения излучения в этой системе отсчета (или из результатазадачи 667).Рассмотрим количество энергии —d§o, излучаемое частицей за промежуток времени dt'o = dr в системе So- В системе S наблюдается приэтом потеря энергии — dS =—°за промежуток времени dt' =у/1 - v2/c2z.
Отсюда получаем для скорости потери энергии:dt'22r/^l-v /cРезультат не зависит от v. Это означает, что суммарная по всем направлениям скорость потери энергии во всех системах отсчета одинакова.Полная интенсивность излучения в момент времени t определяетсяинтегралом от нормальной составляющей вектора Пойнтинга по поверхности сферы радиуса R, с центром в точке, где находилась частица в ре-555556Глава XIIтардированный момент времени t' = t — ^ .
В отличие от инвариантнойвеличины — =^7, полная интенсивность излучения не обладает простымиatсвойствами релятивистского преобразования при переходе от одной системы отсчета к другой.768.^= -^Я2Д2=ff*™2*ач6, где 1? - угол междунаправлением скорости v и направлением излучения п, /? = v/c. Угловая диаграмма излучения приведена на рис. 127. Когда скорость v частицы мала, излучение вперед и назад имеО ет одинаковую интенсивность. Когда vсравнимо с с, преобладает излучение вперед тем в большей степени, чем ближе vк с . Максимум излучения наблюдаетсяв направлении г90, определяемом уравнениемРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
